Tal: definition, typer og anvendelser i matematik og dagligliv

Tal for personer

Der er forskellige måder at give tal symboler på. Disse metoder kaldes talsystemer. Det mest almindelige talsystem, som folk bruger, er talsystemet i base ti. Base ti-tallesystemet kaldes også decimaltallesystemet. Base ti-talsystemet er almindeligt, fordi folk har ti fingre og ti tæer. Der er 10 forskellige symboler {0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8 og 9}, som bruges i base ti-tallene. Disse ti symboler kaldes cifre.

Et symbol for et tal er sammensat af disse ti cifre. Cifrenes placering viser, hvor stort tallet er. F.eks. betyder tallet 23 i det decimale talsystem i virkeligheden (2 gange 10) plus 3. På samme måde betyder 101 1 gange hundrede (=100) plus 0 gange 10 (=0) plus 1 gange 1 (=1).

Tal for maskiner

Et andet talsystem er mere almindeligt for maskiner. Maskinernes talsystem kaldes det binære talsystem. Det binære talsystem kaldes også base 2-talsystemet. Der er to forskellige symboler (0 og 1), der anvendes i base to-tallesystemet. Disse to symboler kaldes bits.

Et symbol for et binært tal består af disse to bit-symboler. Bit-symbolernes placering viser, hvor stort tallet er. F.eks. betyder tallet 10 i det binære talsystem reelt 1 gange 2 plus 0, og 101 betyder 1 gange fire (=4) plus 0 gange to (=0) plus 1 gange 1 (=1). Det binære tal 10 er det samme som det decimale tal 2. Det binære tal 101 er det samme som det decimale tal 5.

Engelsk har særlige navne for nogle af tallene i det decimale talsystem, som er "potenser af ti". Alle disse ti-potenser i det decimale talsystem bruger kun symbolet "1" og symbolet "0". F.eks. er ti ti-taller det samme som ti gange ti eller hundrede. I symboler er det "10 × 10 = 100". Ti hundrede er også det samme som ti gange hundrede eller tusind. I symboler er det "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Nogle andre tiendedele af ti har også særlige navne:

• 1 - en
• 10 - ti
• 100 - et hundrede
• 1.000 - et tusind
• 1.000.000 - en million

Når der er tale om større tal end dette, er der to forskellige måder at benævne tallene på engelsk. Ved den "lange skala" gives der et nyt navn, hver gang tallet er en million gange større end det sidst nævnte tal. Det kaldes også "British Standard". Denne skala var tidligere almindelig i Storbritannien, men bruges ikke ofte i engelsktalende lande i dag. Den bruges stadig i nogle andre europæiske nationer.

En anden skala er den "korte skala", hvor der gives et nyt navn hver gang et tal er tusind gange større end det sidst nævnte tal. Denne skala er meget mere almindelig i de fleste engelsktalende lande i dag.

• 1.000.000.000.000 - en milliard (kort skala), en milliard (lang skala)
• 1.000.000.000.000.000.000 - en trillion (kort skala), en milliard (lang skala)
• 1.000.000.000.000.000.000.000 - en quadrillion (kort skala), en milliard (lang skala)

Naturlige tal

Naturlige tal er de tal, som vi normalt bruger til at tælle med: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 osv. Nogle mennesker siger, at 0 også er et naturligt tal. Mængden af alle naturlige tal skrives som N {\displaystyle \mathbb {N} } .

Et andet navn for disse tal er positive tal. Disse tal skrives nogle gange som +1 for at vise, at de er forskellige fra de negative tal. Men ikke alle positive tal er naturlige (f.eks. er 1 2 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{2}}}} positivt, men ikke naturligt).

Hvis 0 kaldes et naturligt tal, så er de naturlige tal det samme som de hele tal. Hvis 0 ikke kaldes et naturligt tal, er de naturlige tal det samme som tællende tal. Så hvis ordene "naturlige tal" ikke bruges, vil der være mindre forvirring om, hvorvidt nul er med eller ej. Men desværre er der nogle, der siger, at nul ikke er et helt tal, mens andre siger, at hele tal kan være negative. "Positive hele tal" og "ikke-negative hele tal" er en anden måde at medtage nul eller udelukke nul på, men kun hvis folk kender disse ord.

Negative tal

Negative tal er tal, der er mindre end nul.

En måde at tænke på negative tal på er ved at bruge en tallinje. Vi kalder et punkt på denne linje for nul. Derefter mærker vi (skriver navnet på) hver position på linjen efter, hvor langt til højre for nulpunktet vi befinder os. F.eks. er punkt et en centimeter til højre, og punkt to er to centimeter til højre.

Punktet en centimeter til venstre for nulpunktet kan imidlertid ikke være punkt et, da der allerede findes et punkt, der hedder et. Vi kalder derfor dette punkt minus et (-1, da det er en centimeter væk, men i den modsatte retning).

En tegning af en tallinje er vist nedenfor.

Alle normale matematiske operationer kan udføres med negative tal:

• At lægge et negativt tal til et andet er det samme som at fjerne det positive tal med de samme tal. F.eks. er 5 + (-3) det samme som 5 - 3, og det er lig med 2.
• At tage et negativt tal fra et andet er det samme som at addere det positive tal med de samme tal. F.eks. er 5 - (-3) det samme som 5 + 3 og er lig med 8.
• Hvis man multiplicerer to negative tal med hinanden, får man et positivt tal. F.eks. er -5 gange -3 15.
• Multiplikation af et negativt tal med et positivt tal eller multiplikation af et positivt tal med et negativt tal giver et negativt resultat. F.eks. er 5 gange -3 -15.

Da det er umuligt at finde kvadratroden af et negativt tal for reelle tal (da negativ gange negativ er lig med positiv for reelle tal), har kvadratroden af -1 fået et særligt navn: i. Dette kaldes også den imaginære enhed.

Hele tal

Hele tal er alle de naturlige tal, alle deres modsætninger og tallet nul. Decimaltal og brøker er ikke hele tal.

Rationale tal

Rationale tal er tal, der kan skrives som brøker. Det betyder, at de kan skrives som a divideret med b, hvor tallene a og b er hele tal, og b ikke er nul.

Nogle rationale tal, f.eks. 1/10, har brug for et begrænset antal cifre efter decimalkommaet for at kunne skrives i decimalform. Tallet en tiendedel skrives i decimalform som 0,1. Tal, der skrives med en endelig decimalform, er rationelle tal. Nogle rationelle tal, f.eks. 1/11, kræver et uendeligt antal cifre efter decimalpunktet for at kunne skrives i decimalform. Der er et gentagende mønster i cifrene efter decimalkommaet. Tallet en ellevte skrives i decimalform som 0,09090909090909 ... .

En procentdel kan kaldes et rationelt tal, fordi en procentdel som 7% kan skrives som brøken 7/100. Det kan også skrives som decimaltallet 0,07. Nogle gange betragtes et forholdstal som et rationelt tal.

Irrationale tal

Irrationale tal er tal, der ikke kan skrives som brøker, men som ikke har imaginære dele (forklares senere).

Irrationale tal forekommer ofte i geometri. Hvis vi f.eks. har et kvadrat med sider på 1 meter, er afstanden mellem de modsatte hjørner kvadratroden af to, hvilket er lig med 1,414213 ... . Dette er et irrationelt tal. Matematikere har bevist, at kvadratroden af ethvert naturligt tal enten er et helt tal eller et irrationelt tal.

Et velkendt irrationelt tal er pi. Det er omkredsen (afstanden rundt om) af en cirkel divideret med diameteren (afstanden på tværs). Dette tal er det samme for alle cirkler. Tallet pi er ca. 3,1415926535 ... .

Et irrationelt tal kan ikke skrives fuldstændigt ned i decimalform. Det ville have et uendeligt antal cifre efter decimalkommaet, og i modsætning til 0,33333333 ... ville disse cifre ikke gentage sig i al evighed.

Reelle tal

Reelle tal er en betegnelse for alle de ovenfor nævnte talmængder:

• De rationale tal, herunder hele tal
• De irrationelle tal

De reelle tal udgør den reelle linje. Det er alle de tal, der ikke omfatter imaginære tal.

Imaginære tal

De imaginære tal er dannet af reelle tal multipliceret med tallet i. Dette tal er kvadratroden af minus et (-1).

Der findes ikke noget tal i de reelle tal, som, når det kvadreres, giver tallet -1. Derfor har matematikerne opfundet et tal. De kaldte dette tal for i, eller den imaginære enhed.

De imaginære tal fungerer efter de samme regler som de reelle tal:

• Summen af to imaginære tal findes ved at trække i'et ud (faktorisering). F.eks. 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Forskellen mellem to imaginære tal findes på samme måde. F.eks. 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Når du multiplicerer to imaginære tal, skal du huske, at i × i (i² ) er -1. F.eks. 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

De imaginære tal blev kaldt imaginære tal, fordi mange matematikere ikke troede, at de eksisterede, da de blev fundet første gang. Den person, der opdagede de imaginære tal, var Gerolamo Cardano i 1500-tallet. Den første, der brugte ordene imaginært tal, var René Descartes. De første personer, der brugte disse tal, var Leonard Euler og Carl Friedrich Gauss. Begge levede i det 18. århundrede.

Komplekse tal

Komplekse tal er tal, der har to dele; en real del og en imaginær del. Alle de taltyper, der er nævnt ovenfor, er også komplekse tal.

Komplekse tal er en mere generel form for tal. De komplekse tal kan tegnes på en talplan. Dette består af en linje for reelle tal og en linje for imaginære tal.

3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | | i|_ | | | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 6 | -i|_ .3-i | | | .-2-2-2i -2i|_ | | -3i|_ | | -3i|_ |

Al normal matematik kan udføres med komplekse tal:

• Hvis du vil addere to komplekse tal, skal du addere den reelle og den imaginære del hver for sig. For eksempel: (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• For at subtrahere et komplekst tal fra et andet, skal du subtrahere den reelle og imaginære del hver for sig. For eksempel: (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Det er mere kompliceret at gange to komplekse tal. Det er nemmest at beskrive det i generelle vendinger med to komplekse tal a + bi og c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

F.eks. (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transcendentale tal

Et reelt eller komplekst tal kaldes et transcendentalt tal, hvis det ikke kan fås som et resultat af en algebraisk ligning med hele koefficienter.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Det kan være meget vanskeligt at bevise, at et bestemt tal er transcendentalt. Hvert transcendentalt tal er også et irrationelt tal. De første, der så, at der fandtes transcendente tal, var Gottfried Wilhelm Leibniz og Leonhard Euler. Den første, der faktisk beviste, at der var transcendente tal, var Joseph Liouville. Han gjorde det i 1844.

Nogle velkendte transcendentale tal er bl.a.:

• e
• π
• e^a for algebraisk a ≠ 0
• 2 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}}

• Navne på tal på engelsk