Imaginære enhed | en talværdi, der kun eksisterer uden for de reelle tal

I matematik er den imaginære enhed eller i {\displaystyle i} $i$ , en talværdi, der kun findes uden for de reelle tal, og som bruges i algebra. Når vi multiplicerer den imaginære enhed med et reelt tal, kalder vi resultatet et imaginært tal. Selv om imaginære tal kan bruges til at løse en masse matematiske problemer, kan de ikke repræsenteres af en mængde af virkelige objekter.

Historie

De imaginære enheder blev opfundet for at besvare den polynomiske ligning x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , som normalt ikke har nogen løsning (se nedenfor). Udtrykket "imaginært" stammer fra René Descartes og var ment som en fornærmelse, da imaginære tal, ligesom nul og negative tal på andre tidspunkter i historien, blev anset for at være ubrugelige, da de ikke er naturlige. Det var først i de senere århundreder, at matematikere som Leonhard Euler, Augustin-Louis Cauchy og Carl Friedrich Gauss med deres arbejde ville bevise, at imaginære tal var meget vigtige for nogle områder af algebraen.

Definition

En almindelig regel for multiplikation og division af tal er, at hvis tegnene er forskellige, er resultatet negativt (f.eks. 4 × - 3 = - 12 {\displaystyle 4\times -3=-12} $4\times -3=-12$ ), men hvis begge tal har samme fortegn, er resultatet positivt (f.eks. 5 × 6 = 30 {\displaystyle 5\times 6=30} $5\times 6=30$ og - 10 × - 10 = 100 {\displaystyle -10\times -10=100} $-10\times -10=100$ ). Dette fører imidlertid til problemer med kvadratrodstal af negative tal, da to negative tal altid vil give et positivt tal:

2 × 2 = 2 2 2 = 4 {\displaystyle 2\times 2=2^{2}=4} $2\times 2=2^{2}=4$

så 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}}=2} ${\sqrt {4}}=2$

men - 4 ≠ - 2 {\displaystyle {\sqrt {-4}}\neq -2} ${\sqrt {-4}}\neq -2$

som - 2 × - 2 = ( - 2 ) 2 = 4 {\displaystyle -2\times -2=(-2)^{2}=4} $-2\times -2=(-2)^{2}=4$

For at udfylde dette værdiløft blev der lavet en imaginær enhed, som er defineret som i = - 1 {\displaystyle i={{\sqrt {-1}}}} $i={\sqrt {-1}}$ og i × i = i 2 = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ . Ved hjælp af imaginære tal kan vi løse vores sidste eksempel:

2 i × 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle 2i\times 2i=4i^{2}=-4} $2i\times 2i=4i^{2}=-4$

- 2 i × - 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle -2i\times -2i=4i^{2}=-4} $-2i\times -2i=4i^{2}=-4$

4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {\4}}}=2} ${\sqrt {4}}=2$ og - 4 = 2 i {\displaystyle {\sqrt {-4}}}=2i} ${\sqrt {-4}}=2i$

Kvadratrod af i

Selv om den imaginære enhed stammer fra løsningen af en kvadratisk ligning (en ligning, hvor den ukendte figur er kvadreret), kan vi spørge, om vi skal skabe nye talværdier som den imaginære enhed for at løse ligninger, hvor højere potenser af x {\displaystyle x} som x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ og x 4 {\displaystyle x^{4}} $x^{4}$ forekommer. For eksempel har ligningen x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ en fjerde potens af den ukendte variabel x {\displaystyle x} . Har vi brug for nye enheder som i {\displaystyle i} $i$ for at løse denne ligning?

Vi kunne også stille et lignende spørgsmål: Vi skulle skabe et nyt tal for at finde kvadratroden af -1, og vi kaldte dette nye tal i {\displaystyle i} $i$ . Er vi nødt til at oprette et nyt tal for at finde kvadratroden(erne) af i {\displaystyle i} ? $i$

Det viser sig, at svaret på begge disse spørgsmål er nej. Med hensyn til det andet spørgsmål kan kvadratrødderne af i {\displaystyle i} $i$ skrives i form af en realdel og en imaginærdel. Konkret kan kvadratrødderne af i {\displaystyle i} $i$ skrives som: ± i = ± 2 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}}(1+i)} $\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ . Vi kan kontrollere, at der virkelig er tale om kvadratrødderne af i {\displaystyle i} $i$ ved at kvadrere dem og se, om vi får i {\displaystyle i} $i$ :

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {\frac {1}{2}{2}}}(1+2i+i^{2}})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Vi kan også bemærke, at ( ± i ) 4 = ( i ) 2 = - 1 {\displaystyle (\pm {\sqrt {i}}})^{4}=(i)^{2}=-1} $(\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1$ , så ± i {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}} $\pm {\sqrt {i}}$ løser ligningen x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , hvilket delvist besvarer vores første spørgsmål - for ligningen x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ er løsningerne stadig komplekse tal (resultatet af at lægge et reelt tal og et imaginært tal sammen). Der er yderligere to løsninger for denne særlige ligning, x = ± 2 2 2 ( 1 - i ) {\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {2}}}{2}}}(1-i)} $x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)$ , og de er også komplekse tal. Der er ikke brug for nye tal som f.eks. den imaginære enhed for at løse ligningen.

Generelt kan enhver ligning, hvor den ukendte figur optræder med hele tals potenser, løses ved hjælp af komplekse tal, så når vi kender den imaginære enhed, kan vi løse enhver ligning af denne form. Dette resultat er så vigtigt, at det kaldes algebraens fundamentale sætning.

Potenser af i

Powers of i {\displaystyle i} $i$ eller i {\displaystyle i} $i$ følger et regelmæssigt og forudsigeligt mønster:

i - 4 = 1 {\displaystyle i^{-4}=1} $i^{-4}=1$

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

i 7 = - i {\displaystyle i^{7}=-i} $i^{7}=-i$

Som vist er værdierne 1 , i , - 1 , - 1 , - i {\displaystyle 1,i,-1,-i} $1,i,-1,-i$ hver gang vi multiplicerer med endnu et i {\displaystyle 1,i,-1,-i} $i$ og gentager derefter.

Relaterede sider

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er den imaginære enhed?

A: Den imaginære enhed er en talværdi, der kun eksisterer uden for de reelle tal, og som bruges i algebra.

Q: Hvordan bruger vi den imaginære enhed?

A: Vi multiplicerer den imaginære enhed med et reelt tal for at skabe et imaginært tal.

Spørgsmål: Hvad bruges imaginære tal til?

A: Imaginære tal kan bruges til at løse mange matematiske problemer.

Spørgsmål: Kan vi repræsentere et imaginært tal med virkelige genstande?

A: Nej, vi kan ikke repræsentere et imaginært tal med virkelige genstande.

Spørgsmål: Hvor kommer den imaginære enhed fra?

A: Den imaginære enhed stammer fra matematik og algebra.

Spørgsmål: Er den imaginære enhed en del af de reelle tal?

A: Nej, den eksisterer uden for de reelle tals område.

Spørgsmål: Hvordan beregner man et imaginært tal? Svar: Man beregner et imaginært tal ved at gange et reelt tal med den imaginære enhed.