Potens (matematik) | en aritmetisk operation på tal

I matematik er eksponentiering (potens) en aritmetisk operation på tal. Den kan opfattes som gentagen multiplikation, ligesom multiplikation kan opfattes som gentagen addition.

Generelt gælder det, at to tal x {\displaystyle x} og y {\displaystyle y} kan eksponentieringen af x {\displaystyle x} og y {\displaystyle y} skrives som x y {\displaystyle x^{y}}} $x^{y}$ og læses som " x {\displaystyle x} hævet til potens af y {\displaystyle y} ", eller " x {\displaystyle x} til y {\displaystyle y} e potens". Der har tidligere været anvendt andre metoder til matematisk notation. Når det øverste indeks ikke kan skrives, kan man skrive potenser ved hjælp af ^- eller **-tegnene, således at 2^4 eller 2**4 betyder 2 4 {\displaystyle 2^{4}}} $2^{4}$ .

Her kaldes tallet x {\displaystyle x} for basen, og tallet y {\displaystyle y} for eksponenten. For eksempel i 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ er 2 basen og 4 eksponenten.

For at beregne 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ skal man blot gange 4 kopier af 2. Så 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , og resultatet er 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ . Ligningen kan læses højt som "2 opløftet til 4 er lig med 16".

Flere eksempler på eksponering er:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ for ethvert tal x

Hvis eksponenten er lig med 2, kaldes potensen for kvadratisk, fordi arealet af et kvadrat beregnes ved hjælp af en 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Så

x 2 {\displaystyle x^{2}}} $x^{2}$ er kvadratet på x {\displaystyle x}

På samme måde, hvis eksponenten er lig med 3, kaldes potensen for terning, fordi kubens volumen beregnes ved hjælp af en 3 {\displaystyle a^{3}} $a^{3}$ . Så

x 3 {\displaystyle x^{3}}} $x^{3}$ er terningen af x {\displaystyle x}

Hvis eksponenten er lig med -1, er potensen simpelthen den reciprokke værdi af basen. Så

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Hvis eksponenten er et heltal mindre end 0, er potensen den reciprokke potens hævet til den modsatte eksponent. For eksempel:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {\frac {1}{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Hvis eksponenten er lig med 1 2 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{2}}}} ${\tfrac {1}{2}}$ er resultatet af eksponeringen kvadratroden af basen, med x 1 2 = x . {\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}}={\sqrt {x}}.} $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ For eksempel:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}}={\sqrt {4}}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

På samme måde, hvis eksponenten er 1 n {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{n}}} ${\tfrac {1}{n}}$ , så er resultatet den niende rod, hvor:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}={\sqrt[{n}]{a}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Hvis eksponenten er et rationelt tal p q {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {p}{q}}} ${\tfrac {p}{q}}$ , så er resultatet den q-te rod af basen opløftet til potensen af p:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

I nogle tilfælde er eksponenten måske ikke engang rationel. For at hæve en base a til en irrationel x-te potens bruger vi en uendelig række af rationale tal (x_n ), hvis grænse er x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

som denne:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Der er nogle regler, som gør det lettere at beregne eksponenter:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{{n}}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Det er muligt at beregne eksponentiering af matricer. I dette tilfælde skal matricen være kvadratisk. F.eks. I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Kommutativitet

Både addition og multiplikation er kommutative. F.eks. er 2+3 det samme som 3+2, og 2 - 3 er det samme som 3 - 2. Selv om eksponentiation er gentagen multiplikation, er den ikke kommutativ. F.eks. er 2³=8, men 3²=9.

Omvendte operationer

Addition har en omvendt operation: subtraktion. Multiplikation har også en omvendt operation: division.

Men eksponentiering har to omvendte operationer: Roden og logaritmen. Dette er tilfældet, fordi eksponentieringen ikke er kommutativ. Det kan du se i dette eksempel:

Hvis du har x+2=3, kan du bruge subtraktion til at finde ud af, at x=3-2. Det er det samme, hvis du har 2+x=3: Du får også x=3-2. Det skyldes, at x+2 er det samme som 2+x.
Hvis du har x - 2=3, så kan du bruge division til at finde ud af, at x= 3 2 {\textstyle {\frac {\frac {3}{2}}}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Det er det samme, hvis du har 2 - x=3: Du får også x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Det skyldes, at x - 2 er det samme som 2 - x
Hvis du har x²=3, så bruger du (kvadrat)roden til at finde ud af x: du får resultatet at x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Hvis du derimod har 2^x =3, kan du ikke bruge roden til at finde ud af x. Du skal i stedet bruge den (binære) logaritme til at finde ud af x: du får resultatet x=log₂ (3).

Relaterede sider

Exponent
Eksponentialfunktion
Eksponentiering ved kvadrering
Tetration

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er eksponentiering?

A: Eksponentiering er en aritmetisk operation på tal, der kan opfattes som gentagen multiplikation.

Spørgsmål: Hvordan skrives eksponering?

A: Eksponentiering skrives normalt som x^y, hvor x er basen og y er eksponenten. Den kan også skrives med ^- eller **-tegnene, f.eks. 2^4 eller 2**4.

Spørgsmål: Hvad er nogle eksempler på eksponering?

A: Eksempler på eksponering er 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 for hvert tal x; og 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Sp: Hvad betyder det, når eksponenten er lig med -1?

Svar: Når eksponenten er lig med -1, er potensen simpelthen den reciprokke af basen (x^(-1) = 1/x).

Spørgsmål: Hvordan beregner man en irrationel potens af en base?

Svar: For at hæve en base a til en irrationel x-te potens bruger vi en uendelig række af rationale tal (xn), hvis grænse er x (a^x = lim n->uendelig a^(x_n))).

Spørgsmål: Er der nogen regler, der gør det lettere at beregne eksponenter?

A: Ja, der er flere regler, som gør det lettere at beregne eksponenter. Disse omfatter (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); osv.