Mængde (matematik): Definition, elementer og eksempler

Forestil dig, at sættet er en taske.

Element af

Der kan lægges forskellige ting i en pose. Senere vil et godt spørgsmål være, om en bestemt ting er i posen. Matematikere kalder dette element for. Noget er et element af en mængde, hvis denne ting kan findes i den pågældende pose. Det symbol, der bruges til dette, er ∈ {\displaystyle \in } :

a ∈ A {\displaystyle a\in {\mathit {A}}}} ,

hvilket betyder, at en {\displaystyle a} er i posen A {\displaystyle {\mathit {A}}} eller at en {\displaystyle a} er et element i A {\displaystyle {\mathit {A}}} .

I modsætning til en pose kan et sæt højst indeholde ét element af en given type. Så for et sæt af frugter gør det ingen forskel, om der er én appelsin, eller om der er 10 appelsiner.

Tomt sæt

Ligesom en pose kan et sæt også være tomt. En tom mængde er som en tom pose: den har intet i sig. Den "tomme mængde" kaldes også nulmængden og repræsenteres af symbolet ∅ {\displaystyle \varnothing } .

Universet

Hvis vi f.eks. betragter nogle sæt af amerikanske biler, f.eks. et sæt af alle Ford'er og et sæt af alle Dodges, kan vi også ønske at betragte hele sættet af amerikanske biler. I dette tilfælde vil man kalde mængden af alle amerikanske biler for et univers.

Med andre ord er et univers en samling af alle de elementer, som man ønsker at tage hensyn til i et givet problem. Universet benævnes normalt U {\displaystyle U} .

Sammenligning af sæt

Der kan sammenlignes to sæt. Det er som at kigge i to forskellige poser. Hvis de indeholder de samme ting, er de lige store. Det er ligegyldigt, i hvilken rækkefølge disse ting er.

F.eks. hvis A = { S t a n f o r d , S t a n l e y } {\displaystyle {\mathit {A}}}=\{Stanford,Stanley\}}} og B = { S t a n l e y , S t a n f o r d } {\displaystyle {\mathit {B}}}=\{Stanley,Stanford\}} , er mængderne de samme.

Mængdens kardinalitet

Når matematikere taler om en mængde, vil de nogle gange gerne vide, hvor stor en mængde er (eller hvad er mængdeens kardinalitet). Det gør de ved at tælle, hvor mange elementer der er i mængden (hvor mange genstande der er i posen). For endelige mængder er kardinaliteten et simpelt tal. Den tomme mængde har en kardinalitet på 0. Mængden { a p p p l e , o r a n g e } {\displaystyle \{apple,orange\}}} har en kardinalitet på 2.

To mængder har samme kardinalitet, hvis vi kan parre deres elementer - hvis vi kan samle to elementer, et fra hver mængde. Mængden { a p p p l e , o r a n g e } {\displaystyle \{apple,orange\}}} og mængden { s u n , m o o n } {\displaystyle \{sun,moon\}}} har samme kardinalitet. Vi kan f.eks. kombinere æble med sol og appelsin med måne. Rækkefølgen er ligegyldig. Det er muligt at parre alle elementer, og ingen af dem udelades. Men mængden { d o g , c a t , b i r d } {\displaystyle \{{dog,cat,bird\}}} og mængden { 5 , 6 } {\displaystyle \{5,6\}} har forskellig kardinalitet. Hvis vi forsøger at parre dem sammen, udelader vi altid et dyr.

Uendelig kardinalitet

Nogle gange er kardinalitet ikke et tal. Nogle gange har et sæt uendelig kardinalitet. Mængden af alle hele tal er en mængde med uendelig kardinalitet. Nogle mængder med uendelig kardinalitet er større (har en større kardinalitet) end andre. Der er f.eks. flere reelle tal end der er naturlige tal, hvilket betyder, at vi ikke kan parre mængden af hele tal og mængden af reelle tal, selv om vi arbejdede i al evighed.

Tælbarhed

Hvis man kan tælle elementerne i en mængde, kaldes den en tællelig mængde. Tælbare mængder omfatter alle mængder med et endeligt antal medlemmer. Tælbare mængder omfatter også nogle uendelige mængder, f.eks. de naturlige tal. Man kan tælle de naturlige tal med 1 , 2 , 3 ... {\displaystyle {1,2,3...}} . De naturlige tal har fået tilnavnet "de tællende tal", da det er dem, vi normalt bruger til at tælle ting med.

En utællelig mængde er en uendelig mængde, der er umulig at tælle. Hvis vi forsøger at tælle elementerne, vil vi altid springe nogle af dem over. Det er ligegyldigt, hvilket skridt vi tager. Mængden af reelle tal er en utællelig mængde. Der findes mange andre utællelige mængder, selv et så lille interval som [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} .[3]

Subsets

Hvis du ser på mængden A = { a , b } {\displaystyle A=\{{a,b\}}} og mængden B = { a , b , c , d } {\displaystyle B=\{{a,b,c,d\}} kan man se, at alle elementer i den første mængde også er i den anden mængde.
 Vi siger: Vi siger også: { a , b } {\displaystyle \{a,b\}}} er en delmængde af { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b,c,d\}}
 Som en formel ser det således ud:
{ a , b } ⊆ { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b\}\subseteq \{a,b,c,d\}}

Når alle elementer i mængden A {\displaystyle A} også er elementer i mængden B {\displaystyle B} , kalder vi generelt A {\displaystyle A} for en delmængde af B {\displaystyle B} :
A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} .
Det læses normalt " A {\displaystyle A} er indeholdt i B {\displaystyle B} ."

Eksempel: Enhver Chevrolet er en amerikansk bil. Så mængden af alle Chevrolets er indeholdt i mængden af alle amerikanske biler.

Indstille operationer

Der er forskellige måder at kombinere sæt på.

Krydsninger

Skæringspunktet A ∩ B {\displaystyle A\cap B} mellem to mængder A {\displaystyle A} og B {\displaystyle B} er en mængde, der indeholder alle de elementer, der både er i mængde A {\displaystyle A} og i mængde B {\displaystyle B} på samme tid.

Eksempel: Når A {\displaystyle A} er mængden af alle billige biler, og B {\displaystyle B} er mængden af alle amerikanske biler, så er A ∩ B {\displaystyle A\cap B} mængden af alle billige amerikanske biler.

Fagforeninger

Foreningen A ∪ B {\displaystyle A\cup B} af to sæt A {\displaystyle A} og B {\displaystyle B} er et sæt, der indeholder alle de elementer, der er i sæt A {\displaystyle A} eller i sæt B {\displaystyle B} . Dette "eller" er den inkluderende disjunktion, så foreningen indeholder også de elementer, der er i mængde A {\displaystyle A} og i mængde B {\displaystyle B} . Det betyder i øvrigt, at skæringspunktet er en delmængde af foreningen: ( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) {\displaystyle (A\cap B)\subseteq (A\cap B)} .

Eksempel: Når A {\displaystyle A} er mængden af alle billige biler, og B {\displaystyle B} er mængden af alle amerikanske biler, så er A ∪ B {\displaystyle A\cup B} mængden af alle biler, uden alle dyre biler, der ikke er fra Amerika.

Supplerer

Komplement kan betyde to forskellige ting:

• Komplementet til A {\displaystyle A} er universet U {\displaystyle U} uden alle elementerne i A {\displaystyle A} :

A C = U ∖ A {\displaystyle A^{\rm {C}}=U\setminus A}
 Universet U {\displaystyle U} er mængden af alle de ting, du taler om.
Eksempel: Når U {\displaystyle U} er mængden af alle biler, og A {\displaystyle A} er mængden af alle billige biler,
så er A {\displaystyle A}^C mængden af alle dyre biler.

• Forskellen mellem A {\displaystyle A} og B {\displaystyle B} er mængden B {\displaystyle B} uden alle elementer fra A {\displaystyle A} :

B ∖ A {\displaystyle B\setminus A}
 Det kaldes også det relative supplement af A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} .
Eksempel: Når A {\displaystyle A} er mængden af alle billige biler, og B {\displaystyle B} er mængden af alle amerikanske biler, så er B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} mængden af alle dyre amerikanske biler.

Hvis du bytter om på mængderne i forskellen, bliver resultatet anderledes:
I eksemplet med bilerne er forskellen A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} mængden af alle billige biler, der ikke er fremstillet i USA.

De fleste matematikere bruger store italienske (normalt romerske) bogstaver til at skrive om mængder (f.eks. A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} ). De ting, der opfattes som elementer af mængder, skrives normalt med små romerske bogstaver.

En måde at vise en mængde på er ved at opstille en liste over dens medlemmer, adskilt af kommaer og med parenteser. For eksempel,

• X = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle X=\{{1,2,3\}}} er en mængde, som har medlemmerne 1, 2 og 3.

En anden måde, som kaldes sætbyggernotationen, er ved at angive, hvad der gælder for mængdens medlemmer, f.eks. på denne måde:

• {x | x er et naturligt tal & x < 4}.

På talt engelsk lyder det sådan: "mængden af alle x, således at x er et naturligt tal og x er mindre end fire". Symbolet [ipe "|" betyder "sådan at" eller "så at".

Den tomme mængde skrives på en særlig måde: ∅ {\displaystyle \emptyset } , ∅ {\displaystyle \varnothing } eller { } { {\displaystyle \{\}} .

Når objekt a er medlem af mængden A {\displaystyle A} skrives det som:

• a ∈ A.

På talt engelsk lyder det sådan: "a er et medlem af A {\displaystyle A} ".

For at illustrere operationer på mængder bruger matematikere Venn-diagrammer. Venn-diagrammer bruger cirkler til at vise de enkelte mængder. Universet er afbildet med et rektangel. Resultaterne af operationer vises som farvede områder. I illustrationen af operationen skæringspunktet viser venstre cirkel mængden A {\displaystyle A} og højre cirkel mængden B {\displaystyle B} .

Nogle mængder er meget vigtige for matematikken. De bruges meget ofte. Et af disse er den tomme mængde. Mange af disse specielle mængder er skrevet med tavlefed skrifttype, og disse omfatter bl.a:

• P {\displaystyle \mathbb {P} } , der betegner mængden af alle primtal.
• N {\displaystyle \mathbb {N} } , der betegner mængden af alle naturlige tal. Det vil sige, at N {\displaystyle \mathbb {N} } = {1, 2, 3, ...}, eller nogle gange N {\displaystyle \mathbb {N} } = {0, 1, 2, 3, ...}.
• Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , der betegner mængden af alle hele tal (positive, negative eller nul). Så Z {\displaystyle \mathbb {Z} } = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , der betegner mængden af alle rationale tal (dvs. mængden af alle rigtige og ukorrekte brøker). Så Q = { a b | a , b ∈ Z , b ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{{\begin{matrix}{\frac {a}{b}{b}}}\end{matrix}}}|a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}}} , hvilket betyder alle brøker a b {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{b}}}\end{matrix}}}} hvor a og b er i mængden af alle hele tal og b ikke er lig med 0. For eksempel 1 4 ∈ Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{4}}}\end{matrix}}}\i \mathbb {Q} } og 11 6 ∈ Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {11}{6}}}\end{matrix}}}\in \mathbb {Q} } . Alle hele tal er i dette sæt, da hvert helt tal a kan udtrykkes som brøken a 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{1}}}\end{matrix}}}} .
• R {\displaystyle \mathbb {R} } , der betegner mængden af alle reelle tal. Denne mængde omfatter alle rationale tal samt alle irrationale tal (dvs. tal, der ikke kan omskrives som brøker, såsom π , {\displaystyle \pi ,} e , {\displaystyle e,} og √2).
• C {\displaystyle \mathbb {C} } , der betegner mængden af alle komplekse tal.

Hver af disse talmængder har et uendeligt antal elementer, og P ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} } .

Matematikeren Bertrand Russell fandt ud af, at der er problemer med den uformelle definition af mængder. Han udtrykte dette i et paradoks kaldet Russell's paradoks. En lettere forståelig version, der er tættere på virkeligheden, kaldes Barber-paradokset.

Barber-paradokset

Der er en lille by et eller andet sted. I den by er der en barber. Alle mænd i byen kan ikke lide skæg, så enten barberer de sig selv, eller også går de hen til barberen for at blive barberet af ham.

Vi kan derfor udtale os om barberen selv: Barberen barberer alle mænd, der ikke barberer sig selv. Han barberer kun disse mænd (da de andre barberer sig selv og ikke har brug for en barber til at barbere sig).

Dette rejser naturligvis spørgsmålet: Hvad gør barberen hver morgen for at se glatbarberet ud? Dette er paradokset.

Hvis barberen barberer sig selv, kan han ikke være barber, da en barber ikke barberer sig selv. Hvis han ikke barberer sig selv, falder han ind under kategorien af dem, der ikke barberer sig selv, og kan derfor ikke være barber.

• Cantor-sæt
• Gruppeteori
• Åbent sæt
• Relation
• mængdelære