Et komplekst tal er et tal, men det adskiller sig fra almindelige tal på mange måder. Et komplekst tal er sammensat af to tal, der kombineres sammen. Den første del er et reelt tal. Den anden del af et komplekst tal er et imaginært tal. Det vigtigste imaginære tal kaldes i {\displaystyle i}{\displaystyle i} , defineret som et tal, der bliver -1, når det kvadreres ("kvadreret" betyder "ganget med sig selv"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. Alle de andre imaginære tal er i {\displaystyle i} {\displaystyle i}ganget med et reelt tal, på samme måde som alle reelle tal kan opfattes som 1 ganget med et andet tal. Aritmetiske funktioner såsom addition, subtraktion, multiplikation og division kan anvendes med komplekse tal. De følger også kommutative, associative og distributive egenskaber, ligesom reelle tal.

De komplekse tal blev opdaget, da man forsøgte at løse særlige ligninger med eksponenter i dem. Disse begyndte at give matematikerne reelle problemer. Til sammenligning er det ved hjælp af negative tal muligt at finde x i ligningen a + x = b {\displaystyle a+x=b}{\displaystyle a+x=b} for alle reelle værdier af a og b, men hvis x kun må være positive tal, er det undertiden umuligt at finde et positivt x, som i ligningen 3 + x = 1.

Med eksponering er der en vanskelighed, der skal overvindes. Der findes ikke noget reelt tal, der giver -1, når det kvadreres. Med andre ord har -1 (eller ethvert andet negativt tal) ingen reel kvadratrod. Der findes f.eks. ikke noget reelt tal x {\displaystyle x}x, der løser ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}{\displaystyle (x+1)^{2}=-9} . For at løse dette problem indførte matematikerne et symbol i og kaldte det et imaginært tal. Det er det imaginære tal, der vil give -1, når det kvadreres.

De første matematikere, der tænkte på dette, var sandsynligvis Gerolamo Cardano og Raffaele Bombelli. De levede i det 16. århundrede. Det var sandsynligvis Leonhard Euler, der indførte skrivning i {\displaystyle \mathrm {i} }{\displaystyle \mathrm {i} } for dette tal.

Alle komplekse tal kan skrives som a + b i {\displaystyle a+bi} {\displaystyle a+bi}(eller a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}{\displaystyle a+b\cdot i} ), hvor a kaldes den reelle del af tallet, og b kaldes den imaginære del. Vi skriver ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} {\displaystyle \Re (z)}eller Re ( z ) {\displaystyle \operatornavn {Re} (z)} {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}for den reelle del af et komplekst tal z {\displaystyle z}{\displaystyle z} . Så hvis z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}{\displaystyle z=a+bi} , skriver vi a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatornavn {Re} (z)}{\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} . På samme måde skriver vi ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} {\displaystyle \Im (z)}eller Im ( z ) {\displaystyle \operatornavn {Im} (z)} {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}for den imaginære del af et komplekst tal z {\displaystyle z}{\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatornavn {Im} (z)} {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}, for det samme z. Ethvert reelt tal er også et komplekst tal; det er et komplekst tal z med ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}{\displaystyle \Im (z)=0} .

Det komplekse tal kan også skrives som et ordnet par, (a, b). Både a og b er reelle tal. Ethvert reelt tal kan simpelthen skrives som a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}{\displaystyle a+0\cdot i} eller som parret (a, 0).

Nogle gange skrives j {\displaystyle j}{\displaystyle j} i stedet for i {\displaystyle i}{\displaystyle i} . Inden for elektroteknik betyder i {\displaystyle i}{\displaystyle i} elektrisk strøm. At skrive i {\displaystyle i}{\displaystyle i} kan give en masse problemer, fordi nogle tal i elektroteknik er komplekse tal.

Mængden af alle komplekse tal skrives normalt som C {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {C} }.

Aritmetiske operationer og vigtige begreber

Her følger en oversigt over de mest anvendte operationer og begreber for komplekse tal. Lad z = a + b i og w = c + d i, hvor a, b, c og d er reelle tal.

  • Addition og subtraktion: z + w = (a + c) + (b + d) i, og z − w = (a − c) + (b − d) i.
  • Multiplikation: z · w = (a c − b d) + (a d + b c) i.
  • Kompleks konjugat: den komplekse konjugerede til z skrives ofte z̄ og er z̄ = a − b i. Konjugatet ændrer tegnet på den imaginære del.
  • Modulus (størrelse): |z| = sqrt(a2 + b2). Det svarer til afstanden fra origo i det komplekse plan.
  • Division: For w ≠ 0 kan man dividere ved at gange tæller og nævner med konjugatet af nævneren:
    z / w = (z · w̄) / |w|2.

Geometrisk fortolkning (Argand-plan)

Et komplekst tal z = a + b i kan ses som punktet (a, b) i et koordinatsystem kaldet det komplekse plan eller Argand-diagrammet. Den vandrette akse er den reelle akse, den lodrette er den imaginære akse. I denne fremstilling har vi brug for argumentet (vinklen) θ = arg(z), og modulus r = |z|. Man kan derfor skrive z i polær form:

z = r (cos θ + i sin θ).

Ved hjælp af Euler's formel skriver man ofte:

z = r e^{iθ} = r (cos θ + i sin θ),

hvor e^{iθ} = cos θ + i sin θ. Multiplikation af komplekse tal svarer i polær form til at multiplicere modulus og lægge argumenterne sammen: hvis z1 = r1 e^{iθ1} og z2 = r2 e^{iθ2}, så z1 z2 = (r1 r2) e^{i(θ1+θ2)}. Division svarer til at dividere modulus og trække argumenterne fra hinanden.

Algebraiske egenskaber og anvendelser

  • Feltstruktur: Mængden C af komplekse tal danner et felt; det betyder, at addition, subtraktion, multiplikation og division (undtagen med 0) er defineret og opfylder de vanlige regneregler.
  • Algebraisk lukket: Ifølge det fundamentale algebraiske sætning har hvert ikke-konstant polynomium med komplekse koefficienter mindst ét komplekst rod. Faktisk kan et polynomium af grad n faktoriseres fuldstændigt i n lineære faktorer over C.
  • Rummets struktur: C kan også betragtes som et todimensionelt vektorrum over R med basis {1, i}.
  • Rødder og potensregning: Ethvert ikke-nul komplekst tal har n forskellige n-te rødder, som ligger jævnt fordelt i en cirkel i det komplekse plan.

Anvendelser

Komplekse tal bruges bredt inden for matematik, fysik og teknik. Eksempler:

  • Elektroteknik: vekselstrøm og impedans beregnes ofte med komplekse tal, hvor j (eller i) bruges til den imaginære enhed.
  • Differentialligninger og signalbehandling: Fourier- og Laplace-transformationer bruger komplekse tal for at beskrive frekvensindhold.
  • Teoretisk fysik: kvantemekanik og bølgeteori anvender komplekse amplituder.
  • Matematisk analyse: kompleks funktionsteori (funktioner af en kompleks variabel) har mange stærke resultater, som ikke har direkte ækvivalenter i den reelle analyse.

Afsluttende bemærkninger

Komplekse tal er altså en naturlig udvidelse af de reelle tal, indført for at gøre det muligt at løse ligninger, der ellers ikke har løsninger i R. De kombinerer algebraiske, geometriske og analytiske egenskaber og udgør et centralt værktøj i både teori og anvendelse inden for naturvidenskab og teknik.