Komplekse tal
Et komplekst tal er et tal, men det adskiller sig fra almindelige tal på mange måder. Et komplekst tal er sammensat af to tal, der kombineres sammen. Den første del er et reelt tal. Den anden del af et komplekst tal er et imaginært tal. Det vigtigste imaginære tal kaldes i {\displaystyle i}
, defineret som et tal, der bliver -1, når det kvadreres ("kvadreret" betyder "ganget med sig selv"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Alle de andre imaginære tal er i {\displaystyle i} ganget med et reelt tal, på samme måde som alle reelle tal kan opfattes som 1 ganget med et andet tal. Aritmetiske funktioner såsom addition, subtraktion, multiplikation og division kan anvendes med komplekse tal. De følger også kommutative, associative og distributive egenskaber, ligesom reelle tal.
De komplekse tal blev opdaget, da man forsøgte at løse særlige ligninger med eksponenter i dem. Disse begyndte at give matematikerne reelle problemer. Til sammenligning er det ved hjælp af negative tal muligt at finde x i ligningen a + x = b {\displaystyle a+x=b}
for alle reelle værdier af a og b, men hvis x kun må være positive tal, er det undertiden umuligt at finde et positivt x, som i ligningen 3 + x = 1.
Med eksponering er der en vanskelighed, der skal overvindes. Der findes ikke noget reelt tal, der giver -1, når det kvadreres. Med andre ord har -1 (eller ethvert andet negativt tal) ingen reel kvadratrod. Der findes f.eks. ikke noget reelt tal x {\displaystyle x}
, der løser ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. For at løse dette problem indførte matematikerne et symbol i og kaldte det et imaginært tal. Det er det imaginære tal, der vil give -1, når det kvadreres.
De første matematikere, der tænkte på dette, var sandsynligvis Gerolamo Cardano og Raffaele Bombelli. De levede i det 16. århundrede. Det var sandsynligvis Leonhard Euler, der indførte skrivning i {\displaystyle \mathrm {i} }
for dette tal.
Alle komplekse tal kan skrives som a + b i {\displaystyle a+bi} 
(eller a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), hvor a kaldes den reelle del af tallet, og b kaldes den imaginære del. Vi skriver ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} 
eller Re ( z ) {\displaystyle \operatornavn {Re} (z)} 
for den reelle del af et komplekst tal z {\displaystyle z}
. Så hvis z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, skriver vi a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatornavn {Re} (z)}
. På samme måde skriver vi ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} 
eller Im ( z ) {\displaystyle \operatornavn {Im} (z)} 
for den imaginære del af et komplekst tal z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatornavn {Im} (z)} 
, for det samme z. Ethvert reelt tal er også et komplekst tal; det er et komplekst tal z med ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Det komplekse tal kan også skrives som et ordnet par, (a, b). Både a og b er reelle tal. Ethvert reelt tal kan simpelthen skrives som a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
eller som parret (a, 0).
Nogle gange skrives j {\displaystyle j}
i stedet for i {\displaystyle i} . Inden for elektroteknik betyder i {\displaystyle i} elektrisk strøm. At skrive i {\displaystyle i} kan give en masse problemer, fordi nogle tal i elektroteknik er komplekse tal.
Mængden af alle komplekse tal skrives normalt som C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
Operationer over komplekse tal
Addition, subtraktion, multiplikation, division, så længe divisoren ikke er nul, og eksponentiering (opgradering af tal til eksponenter) er alle mulige med komplekse tal. Nogle andre beregninger er også mulige med komplekse tal.
Reglen for addition og subtraktion af komplekse tal er ret enkel:
Lad z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} 
, så er z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, og z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Multiplikation er en smule anderledes:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
En anden bemærkelsesværdig operation for komplekse tal er konjugation. Et komplekst konjugat z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}}}
til z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} er a - b i {\displaystyle a-bi}}
. Det er ret simpelt, men er vigtigt for beregninger, fordi z × z ¯ {\displaystyle z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}}
hører til de reelle tal for alle komplekse z {\displaystyle z} :
z z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} 
.
Vi kan bruge dette til at lave division:
1 z = z ¯ z z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {\frac {1}{z}}}={\frac {\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}}=w({\frac {1}{z}}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}}-{\frac {b}{a^{{2}+b^{2}}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Andre former for beskrivelse af komplekse tal
Komplekse tal kan vises på et såkaldt komplekst plan. Hvis man har et tal z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , kan man gå til et punkt på den reelle akse og til b på den imaginære akse og tegne en vektor fra ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} 
til ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}
. Længden af denne vektor kan beregnes ved hjælp af Pythagoras' sætning og vinklen mellem den positive reelle akse og denne vektor mod uret. Længden af en vektor for et tal z {\displaystyle z} kaldes dens modulus (skrevet som | z | {\displaystyle |z|}
), og vinklen kaldes dens argument ( arg z {\displaystyle \arg z}
).
Dette fører til den trigonometriske form for beskrivelse af komplekse tal: ved definitionerne af sinus og cosinus gælder det for alle z {\displaystyle z}, at
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Dette hænger nøje sammen med De Moivre's formel.
Der findes endnu en anden form, den såkaldte eksponentialform.
Et komplekst tal kan visuelt vises som to tal, der danner en vektor på et Argand-diagram, der repræsenterer det komplekse plan.
Konklusion
Med tilføjelsen af komplekse tal til matematikken har alle polynomier med komplekse koefficienter rødder, som er komplekse tal. Den vellykkede tilføjelse af de komplekse tal til matematikken var også med til at åbne en vej til skabelsen af andre slags tal, som kunne løse og hjælpe med at forklare mange forskellige problemer, f.eks. hyperkomplekse tal, sedenion, hyperreelle tal, surreelle tal og mange andre. Se typer af tal.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er et komplekst tal?
A: Et komplekst tal er et tal, der består af to dele, hvoraf den første del er et reelt tal og den anden del er et imaginært tal.
Spørgsmål: Hvad er det vigtigste imaginære tal?
A: Det vigtigste imaginære tal hedder i, som er defineret som et tal, der bliver -1, når det kvadreres.
Spørgsmål: Hvordan anvendes aritmetiske funktioner med komplekse tal?
Svar: Aritmetiske funktioner såsom addition, subtraktion, multiplikation og division kan anvendes med komplekse tal. De følger også kommutative, associative og distributive egenskaber ligesom reelle tal.
Spørgsmål: Hvilket symbol repræsenterer mængden af komplekse tal?
Svar: Mængden af komplekse tal repræsenteres ofte ved hjælp af symbolet C.
Spørgsmål: Hvorfor blev komplekse tal opdaget?
Svar: De komplekse tal blev opdaget i forbindelse med forsøg på at løse særlige ligninger med eksponenter, fordi de gav matematikere reelle problemer.
Spørgsmål: Hvem indførte skrivning i for denne type tal?
Svar: Det var sandsynligvis Leonhard Euler, der indførte skrivning af i for denne type tal.
Spørgsmål: Hvordan kan et komplekst tal skrives som et ordnet par?
Svar: Et komplekst tal kan skrives som et ordnet par (a, b), hvor både a og b er reelle tal.
