Hvad er reelle tal? Definition, egenskaber og eksempler

Lær hvad reelle tal er — definition, nøgleegenskaber og klare eksempler på rationelle, irrationelle, positive og negative tal.

Forfatter: Leandro Alegsa

25-10-2025 17:40

Et reelt tal er et rationelt eller irrationelt tal. Når man i daglig tale siger "tal", menes som regel "reelt tal". Det officielle symbol for mængden af reelle tal er et fed R eller et tavlefed R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

Man kan forestille sig de reelle tal som en uendelig lang lineal med et udpeget punkt for nul. På denne linje ligger de positive tal til højre for nul og de negative til venstre. Mellem enhver to forskellige reelle tal findes der altid andre reelle tal — der er altså ingen "huller".

Grundlæggende egenskaber

Lukket under de sædvanlige regnearter: Summen, forskellen, produktet og kvotienten (undtagen division med nul) af reelle tal er igen reelle tal.
Rækkefølge: De reelle tal er et ordnet felt: enhver to tal kan sammenlignes (større, mindre eller lig).
Tæthed: De rationelle såvel som de irrationelle tal er tætte i R, dvs. mellem to reelle tal findes altid et rationelt og et irrationelt tal.
Komplethed (suprema-egenskab): Enhver ikke-tom mængde af reelle tal, som er begrænset opad, har et mindst øvre grænse (et supremum). Denne egenskab adskiller de reelle tal fra de rationale tal.
Ingen største eller mindste: Der findes ikke noget største eller mindste reelt tal; mængden er ubegrænset i begge retninger.
Upåagtet uendelighedstyper: De reelle tal er utællelige (kontinuum), mens f.eks. de hele tal er tællelige. Man siger derfor, at der "er flere" reelle tal end hele tal.

Decimalrepræsentation og eksempler

Hvert reelt tal kan repræsenteres som en uendelig decimaludvikling. For rationelle tal er decimaludviklingen enten endelig eller periodisk (f.eks. 1/4 = 0,25 eller 1/3 = 0,333…), mens irrationale tal har ikke-periodiske, uendelige decimaler (f.eks. π ≈ 3,14159… eller e ≈ 2,71828…). Et vigtigt punkt er, at decimalrepræsentationen ikke altid er unik: fx er 1,000… = 0,999….

Eksempler på irrationale tal: √2 (kvadratroden af 2), π og e. Eksempler på rationelle tal: 1/2, −3, 0, 7.

Relation til andre talsystemer

Nogle enklere talsystemer ligger inden for de reelle tal: de rationale tal og de hele tal er delmængder af R. På den anden side findes der udvidelser af de reelle tal, fx de komplekse tal, hvor hvert reelt tal kan ses som et komplekst tal med imaginær del lig nul. Ethvert reelt tal er altså et komplekst tal, men ikke omvendt.

Matematisk konstruktion og betydning

Der er flere måder at bygge mængden af reelle tal formelt op på. To almindelige konstruktioner er:

Cauchy-sekvenser af rationale tal: Man identificerer reelle tal med grænserne af Cauchy-sekvenser af rationale tal og definerer ligeværdighed mellem sekvenser, der nærmer sig samme grænse.
Dedekind-snit: Man repræsenterer et reelt tal som en opdeling af de rationale tal i to ikke-tomme mængder, hvor alle elementer i den ene del er mindre end alle i den anden.

Begge konstruktioner fører til et komplet ordnet felt, og netop fuldstændigheden er det, som gør de reelle tal centrale i analyse og anvendt matematik (fx grænseværdier, kontinuitet og integration).

Praktiske konsekvenser og intuition

På tallinjen kan man til enhver afstand finde et realistisk tal; dette gør det muligt at måle kontinuerlige størrelser som længde, tid og temperatur med reelle tal.
Den aritmetiske og topologiske struktur af R er grundlaget for calculus (differential- og integralregning).
Selvom der er "ubegrænset mange" reelle tal, kan mange beregninger kun gives med tilnærmede decimaltal i praksis.

Opsummering

De reelle tal udgør et komplet, ordnet felt uden huller, med både rationelle og irrationelle elementer. De er fundamentet for størrelser, der varierer kontinuerligt, og deres egenskaber — især tæthed og komplethed — er afgørende for moderne matematik og dens anvendelser.

Forskellige typer af reelle tal

Der findes forskellige typer af reelle tal. Nogle gange taler man ikke om alle de reelle tal på én gang. Nogle gange er det kun særlige, mindre sæt af dem, der omtales. Disse mængder har særlige navne. De er:

Naturlige tal: Det er reelle tal, der ikke har nogen decimaler og er større end nul.
Hele tal: Det er positive reelle tal uden decimaler, og også nul. Naturlige tal er også hele tal.
Hele tal: Dette er reelle tal uden decimaler. De omfatter både positive og negative tal. Hele tal er også hele tal.
Rationale tal: Det er reelle tal, der kan skrives ned som brøker af hele tal. Hele tal er også rationale tal.
Transcendentale tal kan ikke fås ved at løse en ligning med hele tals komponenter.
Irrationelle tal: Det er reelle tal, der ikke kan skrives som en brøkdel af hele tal. Transcendentale tal er også irrationelle.

Tallet 0 (nul) er et særligt tal. Nogle gange betragtes det som en del af den delmængde, der skal tages i betragtning, og andre gange er det ikke det. Det er identitetselementet for addition og subtraktion. Det betyder, at addition eller subtraktion af nul ikke ændrer det oprindelige tal. For multiplikation og division er identitetselementet 1.

Et reelt tal, der ikke er rationelt, er 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . Dette tal er irrationelt. Hvis man tegner et kvadrat med sider, der er en enhed lange, vil længden af linjen mellem de modsatte hjørner være 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ .

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er et reelt tal?

A: Et reelt tal er ethvert rationelt eller irrationelt tal, som kan udtrykkes ved hjælp af decimalekspansion. Det er den mest almindelige type tal, der henvises til, når folk siger "tal".

Sp: Hvilket symbol repræsenterer reelle tal?

A: Det officielle symbol for reelle tal er et fed R, eller et tavlefed R-tog {\displaystyle \mathbb {R} } .

Spørgsmål: Hvordan er positive og negative tal forskellige?

A: Positive tal er "større end nul", mens negative tal er "mindre end nul" og har minustegn (-) påført dem, så de kan mærkes anderledes end de positive tal.

Spørgsmål: Er der flere reelle tal end hele tal?

Svar: Ja, der er uendeligt mange reelle tal, mens de hele tal er talbare. Det betyder, at selv om der er uendeligt mange af begge typer tal, er der stadig flere reelle tal end hele tal.

Spørgsmål: Er alle komplekse tal også reelle tal?

Svar: Nej, alle reelle tal er komplekse tal, men ikke alle komplekse tal er reelle tal. På samme måde er 3/7 et rationelt tal, men ikke et heltal.

Spørgsmål: Er det muligt at sætte alle de reelle tal i rækkefølge?

Svar: Nej, fordi mængden af alle reelle tal er utællelig, hvilket betyder, at uanset hvor lang rækkefølgen er, vil den altid udelade mindst ét af dem.

Søge