Et reelt tal er et rationelt eller irrationelt tal. Når man i daglig tale siger "tal", menes som regel "reelt tal". Det officielle symbol for mængden af reelle tal er et fed R eller et tavlefed R {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {R} }.

Man kan forestille sig de reelle tal som en uendelig lang lineal med et udpeget punkt for nul. På denne linje ligger de positive tal til højre for nul og de negative til venstre. Mellem enhver to forskellige reelle tal findes der altid andre reelle tal — der er altså ingen "huller".

Grundlæggende egenskaber

  • Lukket under de sædvanlige regnearter: Summen, forskellen, produktet og kvotienten (undtagen division med nul) af reelle tal er igen reelle tal.
  • Rækkefølge: De reelle tal er et ordnet felt: enhver to tal kan sammenlignes (større, mindre eller lig).
  • Tæthed: De rationelle såvel som de irrationelle tal er tætte i R, dvs. mellem to reelle tal findes altid et rationelt og et irrationelt tal.
  • Komplethed (suprema-egenskab): Enhver ikke-tom mængde af reelle tal, som er begrænset opad, har et mindst øvre grænse (et supremum). Denne egenskab adskiller de reelle tal fra de rationale tal.
  • Ingen største eller mindste: Der findes ikke noget største eller mindste reelt tal; mængden er ubegrænset i begge retninger.
  • Upåagtet uendelighedstyper: De reelle tal er utællelige (kontinuum), mens f.eks. de hele tal er tællelige. Man siger derfor, at der "er flere" reelle tal end hele tal.

Decimalrepræsentation og eksempler

Hvert reelt tal kan repræsenteres som en uendelig decimaludvikling. For rationelle tal er decimaludviklingen enten endelig eller periodisk (f.eks. 1/4 = 0,25 eller 1/3 = 0,333…), mens irrationale tal har ikke-periodiske, uendelige decimaler (f.eks. π ≈ 3,14159… eller e ≈ 2,71828…). Et vigtigt punkt er, at decimalrepræsentationen ikke altid er unik: fx er 1,000… = 0,999….

Eksempler på irrationale tal: √2 (kvadratroden af 2), π og e. Eksempler på rationelle tal: 1/2, −3, 0, 7.

Relation til andre talsystemer

Nogle enklere talsystemer ligger inden for de reelle tal: de rationale tal og de hele tal er delmængder af R. På den anden side findes der udvidelser af de reelle tal, fx de komplekse tal, hvor hvert reelt tal kan ses som et komplekst tal med imaginær del lig nul. Ethvert reelt tal er altså et komplekst tal, men ikke omvendt.

Matematisk konstruktion og betydning

Der er flere måder at bygge mængden af reelle tal formelt op på. To almindelige konstruktioner er:

  • Cauchy-sekvenser af rationale tal: Man identificerer reelle tal med grænserne af Cauchy-sekvenser af rationale tal og definerer ligeværdighed mellem sekvenser, der nærmer sig samme grænse.
  • Dedekind-snit: Man repræsenterer et reelt tal som en opdeling af de rationale tal i to ikke-tomme mængder, hvor alle elementer i den ene del er mindre end alle i den anden.

Begge konstruktioner fører til et komplet ordnet felt, og netop fuldstændigheden er det, som gør de reelle tal centrale i analyse og anvendt matematik (fx grænseværdier, kontinuitet og integration).

Praktiske konsekvenser og intuition

  • På tallinjen kan man til enhver afstand finde et realistisk tal; dette gør det muligt at måle kontinuerlige størrelser som længde, tid og temperatur med reelle tal.
  • Den aritmetiske og topologiske struktur af R er grundlaget for calculus (differential- og integralregning).
  • Selvom der er "ubegrænset mange" reelle tal, kan mange beregninger kun gives med tilnærmede decimaltal i praksis.

Opsummering

De reelle tal udgør et komplet, ordnet felt uden huller, med både rationelle og irrationelle elementer. De er fundamentet for størrelser, der varierer kontinuerligt, og deres egenskaber — især tæthed og komplethed — er afgørende for moderne matematik og dens anvendelser.