Reelle tal

Et reelt tal er et rationelt eller irrationelt tal. Når folk siger "tal", mener de som regel "reelt tal". Det officielle symbol for reelle tal er et fed R eller et tavlefed R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

Nogle reelle tal kaldes positive. Et positivt tal er "større end nul". Reelle tal kan opfattes som en uendelig lang lineal. Der er et mærke for nul og alle andre tal i rækkefølge efter størrelse. I modsætning til en lineal findes der tal under nul. Disse kaldes negative reelle tal. Negative tal er "mindre end nul". De er som et spejlbillede af de positive tal, bortset fra at de er forsynet med minustegn (-), så de betegnes anderledes end de positive tal.

Der findes uendeligt mange reelle tal. Der findes ikke noget mindste eller største reelt tal. Uanset hvor mange reelle tal man tæller, er der altid flere, der skal tælles. Der er ingen tomme mellemrum mellem reelle tal. Det betyder, at hvis man tager to forskellige reelle tal, vil der altid være et tredje reelt tal mellem dem, uanset hvor tæt de to første tal ligger.

Hvis et positivt tal lægges sammen med et andet positivt tal, bliver tallet større. Nul er også et reelt tal. Hvis nul lægges til et tal, ændres tallet ikke. Hvis et negativt tal lægges til et andet tal, bliver dette tal mindre.

De virkelige tal er utællelige. Det betyder, at der ikke er nogen måde at sætte alle de reelle tal ind i en rækkefølge. Enhver sekvens af reelle tal vil mangle et reelt tal, selv om sekvensen er uendelig. Det gør de reelle tal specielle. Selv om der er uendeligt mange reelle tal og uendeligt mange hele tal, kan vi sige, at der er "flere" reelle tal end hele tal, fordi de hele tal er tællelige, og de reelle tal er utællelige.

Nogle enklere talsystemer er inden for de reelle tal. F.eks. er de rationale tal og de hele tal alle inden for de reelle tal. Der findes også mere komplicerede talsystemer end de reelle tal, f.eks. de komplekse tal. Ethvert reelt tal er et komplekst tal, men ikke ethvert komplekst tal er et reelt tal.

Forskellige typer af reelle tal

Der findes forskellige typer af reelle tal. Nogle gange taler man ikke om alle de reelle tal på én gang. Nogle gange er det kun særlige, mindre sæt af dem, der omtales. Disse mængder har særlige navne. De er:

Naturlige tal: Det er reelle tal, der ikke har nogen decimaler og er større end nul.
Hele tal: Det er positive reelle tal uden decimaler, og også nul. Naturlige tal er også hele tal.
Hele tal: Dette er reelle tal uden decimaler. De omfatter både positive og negative tal. Hele tal er også hele tal.
Rationale tal: Det er reelle tal, der kan skrives ned som brøker af hele tal. Hele tal er også rationale tal.
Transcendentale tal kan ikke fås ved at løse en ligning med hele tals komponenter.
Irrationelle tal: Det er reelle tal, der ikke kan skrives som en brøkdel af hele tal. Transcendentale tal er også irrationelle.

Tallet 0 (nul) er et særligt tal. Nogle gange betragtes det som en del af den delmængde, der skal tages i betragtning, og andre gange er det ikke det. Det er identitetselementet for addition og subtraktion. Det betyder, at addition eller subtraktion af nul ikke ændrer det oprindelige tal. For multiplikation og division er identitetselementet 1.

Et reelt tal, der ikke er rationelt, er 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . Dette tal er irrationelt. Hvis man tegner et kvadrat med sider, der er en enhed lange, vil længden af linjen mellem de modsatte hjørner være 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ .

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er et reelt tal?

A: Et reelt tal er ethvert rationelt eller irrationelt tal, som kan udtrykkes ved hjælp af decimalekspansion. Det er den mest almindelige type tal, der henvises til, når folk siger "tal".

Sp: Hvilket symbol repræsenterer reelle tal?

A: Det officielle symbol for reelle tal er et fed R, eller et tavlefed R-tog {\displaystyle \mathbb {R} } .

Spørgsmål: Hvordan er positive og negative tal forskellige?

A: Positive tal er "større end nul", mens negative tal er "mindre end nul" og har minustegn (-) påført dem, så de kan mærkes anderledes end de positive tal.

Spørgsmål: Er der flere reelle tal end hele tal?

Svar: Ja, der er uendeligt mange reelle tal, mens de hele tal er talbare. Det betyder, at selv om der er uendeligt mange af begge typer tal, er der stadig flere reelle tal end hele tal.

Spørgsmål: Er alle komplekse tal også reelle tal?

Svar: Nej, alle reelle tal er komplekse tal, men ikke alle komplekse tal er reelle tal. På samme måde er 3/7 et rationelt tal, men ikke et heltal.

Spørgsmål: Er det muligt at sætte alle de reelle tal i rækkefølge?

Svar: Nej, fordi mængden af alle reelle tal er utællelig, hvilket betyder, at uanset hvor lang rækkefølgen er, vil den altid udelade mindst ét af dem.