Talfølge | en række relaterede begivenheder, bevægelser eller genstande, der følger hinanden i en bestemt rækkefølge

En sekvens er et ord, der betyder "en række relaterede begivenheder, bevægelser eller elementer, der følger hinanden i en bestemt rækkefølge".

Det bruges i matematik og andre discipliner. I almindelig brug betyder det en række begivenheder, der følger efter hinanden. I matematik består en sekvens af flere ting, der er sat sammen, den ene efter den anden. Den rækkefølge, som tingene er i, har betydning. F.eks. er både (blå, rød, gul) og (gul, blå, rød) sekvenser, men de er ikke det samme. Sekvenser, der består af tal, kaldes også for forløb.

Der findes to slags sekvenser. Den ene slags er endeløse sekvenser, som har en ende. F.eks. er (1, 2, 3, 4, 4, 5) en endelig rækkefølge. Den anden slags er uendelige sekvenser, hvilket betyder, at de bliver ved og aldrig slutter. Et eksempel på en uendelig rækkefølge er rækkefølgen af alle lige tal, større end 0. Denne rækkefølge slutter aldrig: den starter med 2, 4, 6 osv. og man kan altid blive ved med at nævne lige tal.

Hvis en rækkefølge er endelig, er det let at sige, hvad den er: man kan simpelthen skrive alle tingene i rækkefølgen ned. Dette virker ikke for en uendelig rækkefølge. Så en anden måde at skrive en rækkefølge ned på er at skrive en regel, så man kan finde tingene et hvilket som helst sted, man ønsker. Reglen skal fortælle os, hvordan man finder tingen på det n-te sted, hvor n kan være et hvilket som helst naturligt tal. Det betyder, at en sekvens i virkeligheden er en særlig form for funktion med naturlige tal som domæne. Vi skriver nogle gange en sekvens som ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} $(a_{n})$ , hvor a n {\displaystyle a_{n}}} $a_{n}$ står for den n-te term i sekvensen.

Reglen kunne f.eks. være, at det, der står på n-te sted, er tallet 2×n (2 gange n). Dette fortæller os, hvad hele sekvensen er, selv om den aldrig slutter. Det første tal er 2×1, som er 2. Det andet tal er 2×2, eller 4. Hvis vi vil vide, hvad det 100-te tal er, kan vi blot beregne 2×100 og få 200. Uanset hvilken ting i sekvensen vi ønsker, kan reglen fortælle os, hvad det er.

Typer af sekvenser

Aritmetiske progressioner (AP)

I en aritmetisk progression er forskellen mellem et udtryk og det foregående udtryk altid en konstant.

Eksempel: $4,9,14,19,24,29,34,\ldots$

9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5 osv.

Så hvis man tager den første term som a og den konstante forskel som D, så er den generelle formel for aritmetisk rækkefølge $a_{n}=a+(n-1)D$ , hvor n er antallet af udtryk.

Geometriske progressioner (GP)

I en geometrisk progression er forholdet mellem et udtryk og det foregående udtryk altid konstant.

Eksempel: $3,6,12,24,48,96,192,\ldots$

6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, 48/24 = 2 osv.

Så hvis man tager a som det første udtryk og r som forholdet, så er den generelle formel for geometrisk progression $a_{n}=ar^{n-1}$ , hvor n er antallet af udtryk.

Harmoniske Progressioner (HP)

I en harmonisk progression er forskellen mellem den reciprokke værdi af et udtryk og den reciprokke værdi af det foregående udtryk en konstant.

Eksempel: $3,1.5,1,{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {3}{6}},{\tfrac {3}{7}},\ldots$

$(1/1.5)-(1/3)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/1)-(1/1.5)={\tfrac {1}{3}},\,\,\,(1/{\tfrac {3}{4}})-(1/1)={\tfrac {1}{3}}$ og så videre.

Serie

En serie er summen af alle termerne i en rækkefølge.

Den generelle formel til beregning af summen af en aritmetisk rækkefølge er

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

En geometrisk sekvens er $S={\tfrac {a}{1-r}}$ , hvis sekvensen er uendelig, og $S={\tfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ , hvis den er endelig.

Her er a den første term, d er den fælles forskel i aritmetisk rækkefølge, r er forholdet i geometrisk rækkefølge og n er antallet af termer.

Relaterede sider

Cauchy-sekvens
Grænse for en sekvens
Serie

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en sekvens?

A: En sekvens er et sæt relaterede begivenheder, bevægelser eller elementer, der følger hinanden i en bestemt rækkefølge.

Q: Hvordan bruges den?

A: Den bruges i matematik og andre discipliner. I almindelig sprogbrug betyder det en række begivenheder, der følger efter hinanden.

Sp: Hvilke to slags sekvenser findes der?

Svar: De to slags sekvenser er endelige sekvenser, som har en ende, og uendelige sekvenser, som aldrig ender.

Spørgsmål: Kan du give et eksempel på en uendelig sekvens?

Svar: Et eksempel på en uendelig rækkefølge er rækkefølgen af alle lige tal større end 0. Denne rækkefølge slutter aldrig; den starter med 2, 4, 6 og så videre.

Spørgsmål: Hvordan kan vi skrive en uendelig rækkefølge ned?

A: Vi kan skrive en uendelig rækkefølge ned ved at skrive en regel for at finde tingen et hvilket som helst sted, man ønsker. Reglen skal fortælle os, hvordan man finder tingen på det n-te sted, hvor n kan være et hvilket som helst naturligt tal.

Spørgsmål: Hvad står (a_n) for, når man skriver en rækkefølge ned?

Svar: (a_n) står for den n-te term i sekvensen.