Logaritme – forklaring, typer, eksempler og anvendelser i matematik

Logaritmer blev først brugt i Indien i det 2. århundrede f.Kr. Den første, der brugte logaritmer i moderne tid, var den tyske matematiker Michael Stifel (omkring 1487-1567). I 1544 skrev han følgende ligninger ned: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}}} og q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}}{q^{n}}}=q^{m-n}}} . Dette er grundlaget for at forstå logaritmer. For Stifel skulle m {\displaystyle m} og n {\displaystyle n} være hele tal. John Napier (1550-1617) ønskede ikke denne begrænsning, men ønskede et interval for eksponenterne.

Ifølge Napier udtrykker logaritmer forhold: a {\displaystyle a} har samme forhold til b {\displaystyle b} , som c {\displaystyle c} til d {\displaystyle d} , hvis forskellen mellem deres logaritmer er ens. Matematisk set: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . I begyndelsen blev base e anvendt (selv om tallet endnu ikke var blevet navngivet). Henry Briggs foreslog at bruge 10 som base for logaritmer, da sådanne logaritmer er meget nyttige i astronomi.

En logaritme fortæller, hvilken eksponent (eller potens) der skal bruges til at danne et bestemt tal, så logaritmer er det omvendte (modsatte) af eksponering.

Ligesom en eksponentialfunktion består af tre dele, består en logaritme også af tre dele: en base, et argument og et svar (også kaldet potens).

Følgende er et eksempel på en eksponentialfunktion:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

I denne funktion er basen 2, argumentet er 3 og svaret er 8.

Denne eksponentielle ligning har en omvendt ligning, nemlig den logaritmiske ligning:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

I denne ligning er basen 2, argumentet er 8 og svaret er 3.

Addition har en omvendt operation: subtraktion. Multiplikation har også en omvendt operation: division. Eksponentiering har imidlertid faktisk to omvendte operationer: rod og logaritme. Grunden til, at dette er tilfældet, har at gøre med, at eksponentiationen ikke er kommutativ.

Følgende eksempel illustrerer dette:

• Hvis x+2=3, kan man bruge subtraktion til at finde ud af, at x=3-2. Det er det samme, hvis 2+x=3: man får også x=3-2. Det skyldes, at x+2 er det samme som 2+x.
• Hvis x - 2=3, så kan man ved hjælp af division finde ud af, at x= 3 2 {\textstyle {\frac {\frac {3}{2}}}} . Dette er det samme, hvis 2 - x=3: man får også x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} . Det skyldes, at x - 2 er det samme som 2 - x.
• Hvis x²=3, så kan man bruge (kvadrat)roden til at finde ud af, at x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}}} . Men hvis 2^x =3, kan man ikke bruge roden til at finde ud af x. Man skal i stedet bruge (binær)logaritmen for at finde ud af, at x=log₂ (3).
  Det skyldes, at 2^x normalt ikke er det samme som x² (f.eks. 2⁵ =32, men 5²=25).

Logaritmer kan gøre det lettere at gange og dividere store tal, fordi det at lægge logaritmer sammen er det samme som at gange, og at trække logaritmer fra hinanden er det samme som at dividere.

Før lommeregnere blev populære og almindelige, brugte man logaritmetabeller i bøger til at gange og dividere. De samme oplysninger i en logaritmetabel var tilgængelige på en regnestok, et redskab med logaritmer skrevet på den.

Ud over beregninger har logaritmen også mange andre anvendelser i det virkelige liv:

• Logaritmiske spiraler er almindelige i naturen. Eksempler herpå er bl.a. en nautilus' skal eller frøenes placering på en solsikke.
• I kemi er det negative af base-10-logaritmen af aktiviteten af hydroniumioner (H O₃⁺ , den form H⁺ antager i vand) det mål, der kaldes pH. Aktiviteten af hydroniumioner i neutralt vand er 10⁻⁷ mol/L ved 25 °C, hvilket giver en pH-værdi på 7. (Dette skyldes, at ligevægtskonstanten, produktet af koncentrationen af hydroniumioner og hydroxylioner, i vandopløsninger er 10⁻¹⁴ M² .)
• Richterskalaen måler jordskælvsintensiteten på en logaritmisk skala i base 10.
• I astronomi måler den tilsyneladende størrelsesgrad stjernernes lysstyrke logaritmisk, da øjet også reagerer logaritmisk på lysstyrken.
• Musikalske intervaller måles logaritmisk som halvtoner. Intervallet mellem to toner i halvtoner er basis-2^1/12 logaritmen af frekvensforholdet (eller tilsvarende 12 gange basis-2-logaritmen). Brøkdele halvtoner anvendes til ikke lige temperamenter. Især for at måle afvigelser fra den lige tempererede skala udtrykkes intervaller også i cents (hundrededele af en lige tempereret halvtone). Intervallet mellem to toner i cents er basis-2^1/1200 logaritmen af frekvensforholdet (eller 1200 gange basis-2-logaritmen). I MIDI er noderne nummereret på halvtoneskalaen (logaritmisk absolut nominel tonehøjde med C i midten på 60). Ved mikrosstemning til andre stemmesystemer defineres en logaritmisk skala, der udfylder intervallerne mellem halvtonerne i den lige tempererede skala på en kompatibel måde. Denne skala svarer til nodeangivelserne for hele halvtoner. (se microtuning i MIDI Archived 2008-02-12 at the Wayback Machine).

Logaritmer til base 10 kaldes almindelige logaritmer. De skrives normalt uden basen. For eksempel:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

Dette er sandt, fordi:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }
 

Logaritmer til base e kaldes naturlige logaritmer. Tallet e er næsten 2,71828 og kaldes også den eulerske konstant efter matematikeren Leonhard Euler.

De naturlige logaritmer kan antage symbolerne log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} eller ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,} . Nogle forfattere foretrækker brugen af naturlige logaritmer som log ( x ) {\displaystyle \log(x)} , men nævner dette normalt på forordssider.

Logaritmer har mange egenskaber. For eksempel:

Egenskaber fra definitionen af en logaritme

Denne egenskab fremgår direkte af definitionen af en logaritme:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} For eksempel

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} , og

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{{\frac {1}{2}}}{\bigg )}=-1} , fordi 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {{1}{2}}}=2^{-1}}} .

Logaritmen til base b af et tal a er det samme som logaritmen af a divideret med logaritmen af b. Det vil sige,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}

Lad f.eks. a være 6 og b være 2. Med lommeregnere kan vi vise, at dette er sandt (eller i det mindste meget tæt på):

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962}

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}{0.301029}}\approx 2.584970}

Ovenstående resultater havde en lille fejl, men det skyldtes afrunding af tallene.

Da det er svært at forestille sig den naturlige logaritme, finder vi ud af, at den naturlige logaritme er en base-ten-logaritme:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0,434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0,434294}}}} , hvor 0,434294 er en tilnærmelse til logaritmen af e.

Operationer inden for logaritmeargumenter

Logaritmer, der multipliceres inden for deres argument, kan ændres på følgende måde:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

For eksempel,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

På samme måde kan logaritme, der dividerer inden for argumentet, blive til en logaritmedifferens (fordi det er den omvendte operation af multiplikation):

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{{\frac {a}{b}}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logaritmetabeller, regnestokke og historiske anvendelser

Før elektroniske computere blev logaritmer brugt hver dag af forskere. Logaritmer hjalp videnskabsmænd og ingeniører på mange områder, f.eks. inden for astronomi.

Før computerne var logaritmetabellen et vigtigt værktøj. I 1617 trykte Henry Briggs den første logaritmetabel. Det var kort efter Napiers grundlæggende opfindelse. Senere lavede folk tabeller med bedre omfang og præcision. Disse tabeller opregnede værdierne af log_b (x) og b^x for ethvert tal x inden for et bestemt område, med en bestemt præcision og for en bestemt base b (normalt b = 10). F.eks. indeholdt Briggs' første tabel de almindelige logaritmer for alle hele tal i intervallet 1-1000 med en præcision på 8 cifre.

Da funktionen f(x) = b^x er den omvendte funktion af log_b (x), er den blevet kaldt antilogaritmen. Folk brugte disse tabeller til at gange og dividere tal. En bruger slog f.eks. logaritmen op i tabellen for hvert af to positive tal. Ved at addere tallene fra tabellen fik man logaritmen for produktet. Antilogaritmefunktionen i tabellen ville derefter finde produktet ud fra dets logaritme.

Ved manuelle beregninger, der kræver præcision, er det meget hurtigere at foretage opslag af de to logaritmer, beregne summen eller forskellen af dem og slå antilogaritmen op end at udføre multiplikationen på tidligere måder.

Mange logaritmetabeller giver logaritmer ved at angive karakteristik og mantisse for x separat, dvs. den hele del og brøkdelen af log₁₀ (x). Karakteristikken for 10 - x er 1 plus karakteristikken for x, og deres betydningsangivelser er de samme. Dette udvider logaritmetabellernes anvendelsesområde: hvis man har en tabel med log₁₀ (x) for alle hele tal x fra 1 til 1000, kan logaritmen af 3542 tilnærmes ved

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354,2 ) = 1 + log 10 ( 354,2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,}

En anden vigtig anvendelse var regnestokken, et par logaritmisk opdelte skalaer, der blev brugt til beregninger, som illustreret her:

Tallene er markeret på glidende skalaer med afstande, der er proportionale med forskellen mellem deres logaritmer. Hvis den øverste skala skydes på passende vis, svarer det til mekanisk at lægge logaritmerne sammen. Hvis f.eks. afstanden fra 1 til 2 på den nederste skala lægges sammen med afstanden fra 1 til 3 på den øverste skala, fås et produkt på 6, som aflæses på den nederste del. Mange ingeniører og videnskabsmænd brugte regnestokke indtil 1970'erne. Forskere kan arbejde hurtigere ved hjælp af en regnestok end ved hjælp af en logaritmetabel.

• Euler-Mascheroni-konstant
• Sætningen om primtal