Logaritmisk skala: Definition, anvendelser og eksempler
Logaritmisk skala — definition, anvendelser og eksempler: lær hvordan den bruges i jordskælv, lyd, lys og pH for at gøre store værdier overskuelige.
En logaritmisk skala er en skala, der anvendes, når der er et stort interval af størrelser. Almindelige anvendelser omfatter jordskælvsstyrke, lydstyrke, lysintensitet og pH-værdi af opløsninger. På en logaritmisk skala svarer lige afstande på skalaen til lige forhold (multipla) i den underliggende størrelse, ikke til lige forskelle som på en lineær skala.
Hvorfor bruge en logaritmisk skala?
Den er baseret på størrelsesordener i stedet for en standard lineær skala. Værdien af hvert mærke på skalaen er værdien ved det foregående mærke ganget med en konstant. Dette gør det muligt at vise meget små og meget store tal på samme diagram uden, at de små værdier bliver usynlige. Logaritmen komprimerer et bredt numerisk interval til et mere overskueligt interval, og gør multiplicative forhold lettere at sammenligne.
Egenskaber og matematik (enkelt forklaret)
- En logaritmisk skala bruger typisk en base, f.eks. base 10 (dekadisk), base e (naturlig) eller base 2. For base 10 er punkterne 1, 10, 100, 1000 osv. tilsvarende log10-værdier 0, 1, 2, 3.
- Hvis x er den oprindelige størrelse, så er det logaritmiske mål y = log_b(x). Det betyder, at multiplikation i x bliver addition i y: log_b(x·z) = log_b(x) + log_b(z).
- Konvertering mellem logaritmebaser: log_b(x) = log_k(x) / log_k(b).
- Negative logaritmiske værdier opstår, når x ligger mellem 0 og 1 (fx pH-værdier kan ses som negative logaritmer af H+ koncentrationen i visse enhedsvalg).
Almindelige anvendelser og eksempler
- Jordskælvsstyrke: Richterskalaen og andre magnitude-skalaer er logaritmiske, så et jordskælv på magnitude 5 er ti gange større i amplitude end et på magnitude 4.
- Lydstyrke (decibel): Lydstyrke måles ofte i decibel (dB), hvor effektrelationer omregnes ved logaritme: for effekt P gælder dB = 10 log10(P/P0), mens for amplitude (fx spænding) bruges 20 log10(V/V0).
- lysintensitet: Lysintensitet og fotometriske størrelser behandles ofte logaritmisk ved store dynamikområder.
- pH: pH-værdi er defineret som den negative ti-logaritme af hydrogenionkoncentrationen: pH = −log10[H+].
- Regnestokke: Regnestokke anvender logaritmiske skalaer, så man kan multiplicere eller dividere ved at lægge afstande på skalaerne sammen eller trække dem fra hinanden.
- Videnskab og økonomi: En log-skala gør trends ved eksponentiel vækst (fx bakterievækst, renteafkast, virusudbredelse) lineære, hvilket forenkler fortolkning og regressionsanalyse.
Sanseopfattelse og psykofysik
Nogle af vores sanser fungerer på en logaritmisk måde: ved at multiplicere den faktiske indgangsstyrke tilføjes en konstant til den opfattede signalstyrke — se Stevens' effektlov. Det gør logaritmiske skalaer for disse inputmængder særligt hensigtsmæssige. Især vores høresans opfatter lige store multipla af frekvenser som lige store forskelle i tonehøjde, hvilket er grunden til, at f.eks. musikintervallet opdeles logaritmisk (oktaver, semitoner).
Praktiske råd ved brug af logaritmiske skalaer
- Ved tegning af grafer: angiv klart om aksen er logaritmisk (base 10, base e osv.).
- Husk at nul eller negative værdier ikke kan afbildes direkte på en standard logaritmisk skala — man må forskyde, transformere eller bruge andre visualiseringsteknikker.
- Når data indeholder både meget små og meget store værdier, kan en log-skala fremhæve proportionelle forskelle og gøre mønstre (f.eks. potenslove) tydeligere.
- Ved tolkning: en lige linje i en log–lin-plot (logaritmisk x-akse, lineær y-akse) betyder en potenslov; en lige linje i et log–log-plot betyder, at data følger en potensfunktion.
Fordele og begrænsninger
- Fordele: komprimerer store intervaller, gør multiplicative forhold mere intuitive, fremhæver relative ændringer og eksponentiel adfærd.
- Begrænsninger: ikke egnet til data med nul eller negative værdier uden forbehandling; kan være forvirrende for læsere, der ikke er vant til at tænke i forholdstal i stedet for forskelle.
Samlet set er en logaritmisk skala et kraftfuldt værktøj, når man arbejder med størrelser, der spænder over mange størrelsesordener, eller når forhold og vækstrater er det centrale i analysen.
En log-skala gør det nemt at sammenligne værdier, der dækker et stort område, som f.eks. på dette kort
De to logaritmiske skalaer på en regnestok
Eksempler
Velkendte eksempler på sådanne skalaer er:
- Richter magnitude-skalaen og momentmagnitude-skalaen (MMS) for styrken af jordskælv og bevægelser i jorden.
- bel og decibel og neper for akustisk effekt (lydstyrke) og elektrisk effekt;
- tæller f-stops for forholdstal for fotografisk eksponering;
- at klassificere lave sandsynligheder efter antallet af "niere" i decimaludvidelsen af sandsynligheden for, at de ikke sker: f.eks. er et system, der vil fejle med en sandsynlighed på 10−599,999 % pålideligt: "fem nier".
- Entropi i termodynamikken.
- Information i informationsteori.
- Kurver for partikelstørrelsesfordeling i jord
Nogle logaritmiske skalaer er udformet således, at store værdier (eller forhold) af den underliggende størrelse svarer til små værdier af det logaritmiske mål. Eksempler på sådanne skalaer er:
- pH for surhedsgrad;
- stjernestørrelsesskala for stjernernes lysstyrke;
En logaritmisk skala er også en grafisk skala på den ene eller begge sider af en graf, hvor et tal x er trykt i en afstand c-log(x) fra det punkt, der er markeret med tallet 1. En regnestok har logaritmiske skalaer, og nomogrammer anvender ofte logaritmiske skalaer. På en logaritmisk skala repræsenteres en lige stor forskel i størrelsesorden ved en lige stor afstand. Det geometriske gennemsnit af to tal ligger midt imellem tallene.
Logaritmisk millimeterpapir var før computergrafikken et grundlæggende videnskabeligt værktøj. Plotter på papir med en logaritmisk skala kan vise eksponentielle love og på log-log-papir potenslove som lige linjer (se semilog-graf, log-log-log-graf).
Spørgsmål og svar
Q: Hvad er en logaritmisk skala?
A: En logaritmisk skala er en skala, der bruges, når der er et stort udvalg af mængder.
Q: Hvad er nogle eksempler på ting, der kan måles på en logaritmisk skala?
A: Jordskælvsstyrke, lydstyrke, lysintensitet, spredningshastighed for epidemier og pH i opløsninger kan alle måles på en logaritmisk skala.
Q: Hvordan adskiller en logaritmisk skala sig fra en standard lineær skala?
A: En logaritmisk skala er baseret på størrelsesordener i stedet for en standard lineær skala. Værdien af hvert mærke på skalaen er værdien ved det foregående mærke ganget med en konstant.
Q: Hvad er fordelen ved at bruge en logaritmisk skala?
A: Den logaritmiske skala kan reducere et stort interval af værdier til et mere håndterbart interval, hvilket kan være nyttigt, når man har at gøre med data, der dækker et bredt interval af værdier.
Q: Hvad er Stevens' potenslov, og hvordan forholder den sig til logaritmiske skalaer?
A: Stevens' potenslov beskriver, hvordan nogle af vores sanser fungerer på en logaritmisk måde, hvor multiplikation af den faktiske inputstyrke tilføjer en konstant til den opfattede signalstyrke. Det gør logaritmiske skalaer for disse inputstørrelser særligt hensigtsmæssige.
Q: Hvorfor er en logaritmisk skala særlig nyttig til måling af lydstyrke?
A: Vores høresans opfatter lige store multipla af frekvenser som lige store forskelle i tonehøjde, så en logaritmisk skala kan nøjagtigt repræsentere dette forhold mellem lydfrekvens og opfattet lydstyrke.
Q: Hvad er forholdet mellem små multipla af den underliggende mængde og det logaritmiske mål på de fleste logaritmiske skalaer?
A: På de fleste logaritmiske skalaer svarer små multipler (eller forholdstal) af den underliggende mængde til små (muligvis negative) værdier af det logaritmiske mål.
Søge