Primtalssætningen
Primtalssætningen er en sætning fra talteorien. Primtal er ikke jævnt fordelt over hele talområdet. Sætningen formaliserer ideen om, at sandsynligheden for at ramme et primtal mellem 1 og et givet tal bliver mindre, når tallene vokser. Denne sandsynlighed er ca. n/ln(n), hvor ln(n) er den naturlige logaritmefunktion. Det betyder, at sandsynligheden for at ramme et primtal med 2n cifre er ca. halvt så stor som med n cifre. F.eks. er der blandt de positive hele tal med højst 1000 cifre ca. 1 ud af 2300 primtal (ln 101000 ≈ 2302,6), mens der blandt positive hele tal med højst 2000 cifre er ca. 1 ud af 4600 primtal (ln 102000 ≈ 4605,2). Med andre ord er den gennemsnitlige afstand mellem på hinanden følgende primtal blandt de første N hele tal ca. ln(N).
Den 15-årige Carl Friedrich Gauss havde i 1793 mistanke om, at der var en sammenhæng mellem primtal og logaritmer. Adrien-Marie Legendre havde også mistanke om en sådan forbindelse i 1798. Jacques Hadamard og Charles-Jean de La Vallée Poussin beviste primtalssætningen i 1896, over et århundrede efter Gauss.
Spørgsmål og svar
Q: Hvad er primtalssætningen?
A: Primtalssætningen er en sætning fra talteorien, der forklarer, hvordan primtal er fordelt over talområdet.
Q: Er primtal jævnt fordelt over talrækken?
A: Nej, primtal er ikke jævnt fordelt over talområdet.
Q: Hvad formaliserer primtalssætningen?
A: Primtalssætningen formaliserer ideen om, at sandsynligheden for at ramme et primtal mellem 1 og et givet tal bliver mindre, når tallene vokser.
Q: Hvad er sandsynligheden for at ramme et primtal mellem 1 og et givent tal?
A: Sandsynligheden for at ramme et primtal mellem 1 og et givent tal er ca. n/ln(n), hvor ln(n) er den naturlige logaritmefunktion.
Q: Er sandsynligheden for at ramme et primtal med 2n cifre større end sandsynligheden for at ramme et primtal med n cifre?
A: Nej, sandsynligheden for at ramme et primtal med 2n cifre er cirka halvt så stor som sandsynligheden for at ramme et primtal med n cifre.
Q: Hvem beviste primtalssætningen?
A: Jacques Hadamard og Charles-Jean de La Vallée Poussin beviste primtalssætningen i 1896, over et århundrede efter at Gauss i 1793 fik mistanke om en forbindelse mellem primtal og logaritmer.
Q: Hvad er den gennemsnitlige afstand mellem på hinanden følgende primtal blandt de første N heltal?
A: Den gennemsnitlige afstand mellem på hinanden følgende primtal blandt de første N heltal er omtrent ln(N).
