N-te rod: definition, notation og regneregler
Lær n-te rod: klar definition, notation og regneregler med eksempler på kvadratrod, terningrod, potenser og radikallove — hurtig, forståelig guide.
n-te rod af et tal r er et tal, som, hvis det ganges n gange med sig selv, giver r. Det kaldes også et radikal eller et radikalt udtryk. Man kan sige, at det er et tal k, for hvilket denne ligning er sand:
kn = r
Med andre ord er n-te rod et tal, der opløftet til potensen n giver radikanden r. For betydningen af potenser se eksponering. Notationen for den n-te rod af r er:
√[n]{r} . Hvis n er 2, er udtrykket en kvadratrod (ofte skrevet √r uden indeks). Hvis n er 3, kaldes det en terningrod eller kubikrod.
Eksempel
For eksempel:
√[3]{8} = 2 , fordi 23 = 8
.
I dette eksempel kaldes 8 radikanden, 3 er indekset, og selve tegnet √ med indeks kaldes radikalsymbol eller radikaltegn.
Notation og forbindelse til potenser
Rødder og potenser hænger tæt sammen. En vigtig regel er, at en n-te rod kan skrives som en potens med en brøk som eksponent:
√[b]{xa} = xa/b .
Det betyder også:
- (√[b]{x})a = xa/b
- (xa)1/b = xa/b
- Især √[n]{x} = x1/n.
Bemærk: Når vi taler om den «principielle» n-te rod, menes normalt den ikke-negative rod for r ≥ 0 og lige n. For n ulige og r reelt kan roden være negativ, fx √[3]{−8} = −2.
Regneregler
Generelle regneregler for radikaler (gælder under de sædvanlige betingelser for at undgå komplekse tal):
- Produktreglen: √[n]{a b} = √[n]{a} × √[n]{b}
.
- Kvotientreglen: √[n]{a / b} = √[n]{a} / √[n]{b}
.
Disse regler gælder for n-te rødder når radikanderne er ikke-negative og n er lige (så vi forbliver i de reelle tal). Hvis man arbejder i de komplekse tal, gælder de formelt set også, men man skal være opmærksom på grenvalg (flere mulige værdier).
Særlige forhold og eksempler på forenkling
- Hvis indekset er lige (fx 2, 4, …) accepteres kun ikke-negative radikander i de reelle tal. For r < 0 er der ingen reel lige rod.
- For oddetalsindeks er der altid netop én reel rod, også for negative radikander (fx √[3]{−27} = −3).
- Forenkling ved faktorisering: man kan trække faktorers perfekte potenser ud af roden. Fx √{50} = √{25·2} = 5√2. Generelt: √[n]{a·kn} = k·√[n]{a} (hvor k er ikke-negativ i princippet).
- Fjernelse af rod ved eksponentiering: (√[n]{x})n = x for x i domænet hvor udtrykket er defineret; omvendt √[n]{xn} kan give |x| hvis n er lige og man tager den principielle rod.
Bemærkninger om flere løsninger
Ligningen kn = r har i komplekse tal n løsninger (n komplekse n-te rødder). I de reelle tal er situationen:
- Hvis n er ulige: én reel løsning.
- Hvis n er lige og r > 0: to reelle løsninger ±√[n]{r}, men den principielle rod er den positive. Hvis r = 0: én løsning (0). Hvis r < 0: ingen reelle løsninger.
Til sidst er det nyttigt at huske de almindelige potensregneregler, som kombineret med ekvivalenten mellem rødder og brøkeksponenter gør mange beregninger nemmere: xa·xb = xa+b, (xa)b = xab, og √[n]{x} = x1/n.
Forenkling af
Dette er et eksempel på, hvordan man forenkler en radikal.
8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}}={\sqrt {4\ gange 2}}}={\sqrt {4}}}\ gange {\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}}}
Hvis to radikaler er ens, kan de kombineres. Det er tilfældet, når både indeks og radikander er ens.
2 2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}}+1{\sqrt {2}}}=3{\sqrt {2}}}}
2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}}-6{\sqrt[{3}]{7}}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}}
Sådan finder du det perfekte kvadrat og rationaliserer nævneren.
8 x x x 3 = 8 x x x x x = 8 x = 8 x x × x x x = 8 x x x 2 = 8 x x x {\displaystyle {\frac {\frac {8x}{{{\sqrt {x}}}^{3}}}}={\frac {8{{\cancel {x}}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{{\sqrt {x}}}}\times {\frac {\frac {\sqrt {x}}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}{x}}}
Relaterede sider
- Rationalisering (matematik)
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er en n-te rod?
Svar: En n-te rod af et tal r er et tal, som, hvis det ganges n gange med sig selv, giver tallet r.
Sp: Hvordan skrives en n-te rod?
Svar: En n-te rod af et tal r skrives som r^(1/n).
Sp: Hvad er nogle eksempler på rødder?
Svar: Hvis indekset (n) er 2, er det radikale udtryk en kvadratrod. Hvis det er 3, er det en terningrod. Andre værdier af n betegnes ved hjælp af ordenstal som f.eks. fjerde rod og tiende rod.
Spørgsmål: Hvad angiver produktegenskaben for et radikale udtryk?
Svar: Produktegenskaben for et radikalt udtryk siger, at sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).
Spørgsmål: Hvad siger kvotientegenskaben for et radikale udtryk?
Svar: Et radikalt udtryks kvotientegenskab siger, at sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), hvor b != 0.
Spørgsmål: Hvilke andre udtryk kan bruges til at betegne en n-te rod?
Svar: En n-te rod kan også omtales som en radikal eller et radikalt udtryk.
Søge