N-te rod: definition, notation og regneregler

Lær n-te rod: klar definition, notation og regneregler med eksempler på kvadratrod, terningrod, potenser og radikallove — hurtig, forståelig guide.

Forfatter: Leandro Alegsa Oprettelsesdato: 17. maj 2021 Seneste opdatering: 16. oktober 2025

n-te rod af et tal r er et tal, som, hvis det ganges n gange med sig selv, giver r. Det kaldes også et radikal eller et radikalt udtryk. Man kan sige, at det er et tal k, for hvilket denne ligning er sand:

kⁿ = r $k^{n}=r$

Med andre ord er n-te rod et tal, der opløftet til potensen n giver radikanden r. For betydningen af potenser se eksponering. Notationen for den n-te rod af r er:

√[n]{r} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Hvis n er 2, er udtrykket en kvadratrod (ofte skrevet √r uden indeks). Hvis n er 3, kaldes det en terningrod eller kubikrod.

Eksempel

For eksempel:

√[3]{8} = 2 ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ , fordi 2³ = 8 $2^{3}=8$ .

I dette eksempel kaldes 8 radikanden, 3 er indekset, og selve tegnet √ med indeks kaldes radikalsymbol eller radikaltegn.

Notation og forbindelse til potenser

Rødder og potenser hænger tæt sammen. En vigtig regel er, at en n-te rod kan skrives som en potens med en brøk som eksponent:

√[b]{x^a} = x^a/b ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

Det betyder også:

(√[b]{x})^a = x^a/b
(x^a)^1/b = x^a/b
Især √[n]{x} = x^1/n.

Bemærk: Når vi taler om den «principielle» n-te rod, menes normalt den ikke-negative rod for r ≥ 0 og lige n. For n ulige og r reelt kan roden være negativ, fx √[3]{−8} = −2.

Regneregler

Generelle regneregler for radikaler (gælder under de sædvanlige betingelser for at undgå komplekse tal):

Produktreglen: √[n]{a b} = √[n]{a} × √[n]{b} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ .
Kvotientreglen: √[n]{a / b} = √[n]{a} / √[n]{b} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .

Disse regler gælder for n-te rødder når radikanderne er ikke-negative og n er lige (så vi forbliver i de reelle tal). Hvis man arbejder i de komplekse tal, gælder de formelt set også, men man skal være opmærksom på grenvalg (flere mulige værdier).

Særlige forhold og eksempler på forenkling

Hvis indekset er lige (fx 2, 4, …) accepteres kun ikke-negative radikander i de reelle tal. For r < 0 er der ingen reel lige rod.
For oddetalsindeks er der altid netop én reel rod, også for negative radikander (fx √[3]{−27} = −3).
Forenkling ved faktorisering: man kan trække faktorers perfekte potenser ud af roden. Fx √{50} = √{25·2} = 5√2. Generelt: √[n]{a·kⁿ} = k·√[n]{a} (hvor k er ikke-negativ i princippet).
Fjernelse af rod ved eksponentiering: (√[n]{x})ⁿ = x for x i domænet hvor udtrykket er defineret; omvendt √[n]{xⁿ} kan give |x| hvis n er lige og man tager den principielle rod.

Bemærkninger om flere løsninger

Ligningen kⁿ = r har i komplekse tal n løsninger (n komplekse n-te rødder). I de reelle tal er situationen:

Hvis n er ulige: én reel løsning.
Hvis n er lige og r > 0: to reelle løsninger ±√[n]{r}, men den principielle rod er den positive. Hvis r = 0: én løsning (0). Hvis r < 0: ingen reelle løsninger.

Til sidst er det nyttigt at huske de almindelige potensregneregler, som kombineret med ekvivalenten mellem rødder og brøkeksponenter gør mange beregninger nemmere: x^a·x^b = x^a+b, (x^a)^b = x^ab, og √[n]{x} = x^1/n.

Forenkling af

Dette er et eksempel på, hvordan man forenkler en radikal.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}}={\sqrt {4\ gange 2}}}={\sqrt {4}}}\ gange {\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Hvis to radikaler er ens, kan de kombineres. Det er tilfældet, når både indeks og radikander er ens.

2 2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}}+1{\sqrt {2}}}=3{\sqrt {2}}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}}-6{\sqrt[{3}]{7}}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Sådan finder du det perfekte kvadrat og rationaliserer nævneren.

8 x x x 3 = 8 x x x x x = 8 x = 8 x x × x x x = 8 x x x 2 = 8 x x x {\displaystyle {\frac {\frac {8x}{{{\sqrt {x}}}^{3}}}}={\frac {8{{\cancel {x}}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{{\sqrt {x}}}}\times {\frac {\frac {\sqrt {x}}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}{x}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Relaterede sider

Rationalisering (matematik)

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en n-te rod?

Svar: En n-te rod af et tal r er et tal, som, hvis det ganges n gange med sig selv, giver tallet r.

Sp: Hvordan skrives en n-te rod?

Svar: En n-te rod af et tal r skrives som r^(1/n).

Sp: Hvad er nogle eksempler på rødder?

Svar: Hvis indekset (n) er 2, er det radikale udtryk en kvadratrod. Hvis det er 3, er det en terningrod. Andre værdier af n betegnes ved hjælp af ordenstal som f.eks. fjerde rod og tiende rod.

Spørgsmål: Hvad angiver produktegenskaben for et radikale udtryk?

Svar: Produktegenskaben for et radikalt udtryk siger, at sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

Spørgsmål: Hvad siger kvotientegenskaben for et radikale udtryk?

Svar: Et radikalt udtryks kvotientegenskab siger, at sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), hvor b != 0.

Spørgsmål: Hvilke andre udtryk kan bruges til at betegne en n-te rod?

Svar: En n-te rod kan også omtales som en radikal eller et radikalt udtryk.