N-te rod: definition, notation og regneregler

Lær n-te rod: klar definition, notation og regneregler med eksempler på kvadratrod, terningrod, potenser og radikallove — hurtig, forståelig guide.

Forfatter: Leandro Alegsa

n-te rod af et tal r er et tal, som, hvis det ganges n gange med sig selv, giver r. Det kaldes også et radikal eller et radikalt udtryk. Man kan sige, at det er et tal k, for hvilket denne ligning er sand:

kn = r {\displaystyle k^{n}=r}

Med andre ord er n-te rod et tal, der opløftet til potensen n giver radikanden r. For betydningen af potenser se eksponering. Notationen for den n-te rod af r er:

√[n]{r} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}. Hvis n er 2, er udtrykket en kvadratrod (ofte skrevet √r uden indeks). Hvis n er 3, kaldes det en terningrod eller kubikrod.

Eksempel

For eksempel:

√[3]{8} = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}, fordi 23 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}.

I dette eksempel kaldes 8 radikanden, 3 er indekset, og selve tegnet √ med indeks kaldes radikalsymbol eller radikaltegn.

Notation og forbindelse til potenser

Rødder og potenser hænger tæt sammen. En vigtig regel er, at en n-te rod kan skrives som en potens med en brøk som eksponent:

√[b]{xa} = xa/b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}.

Det betyder også:

  • (√[b]{x})a = xa/b
  • (xa)1/b = xa/b
  • Især √[n]{x} = x1/n.

Bemærk: Når vi taler om den «principielle» n-te rod, menes normalt den ikke-negative rod for r ≥ 0 og lige n. For n ulige og r reelt kan roden være negativ, fx √[3]{−8} = −2.

Regneregler

Generelle regneregler for radikaler (gælder under de sædvanlige betingelser for at undgå komplekse tal):

  • Produktreglen: √[n]{a b} = √[n]{a} × √[n]{b} {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}.
  • Kvotientreglen: √[n]{a / b} = √[n]{a} / √[n]{b} {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}.

Disse regler gælder for n-te rødder når radikanderne er ikke-negative og n er lige (så vi forbliver i de reelle tal). Hvis man arbejder i de komplekse tal, gælder de formelt set også, men man skal være opmærksom på grenvalg (flere mulige værdier).

Særlige forhold og eksempler på forenkling

  • Hvis indekset er lige (fx 2, 4, …) accepteres kun ikke-negative radikander i de reelle tal. For r < 0 er der ingen reel lige rod.
  • For oddetalsindeks er der altid netop én reel rod, også for negative radikander (fx √[3]{−27} = −3).
  • Forenkling ved faktorisering: man kan trække faktorers perfekte potenser ud af roden. Fx √{50} = √{25·2} = 5√2. Generelt: √[n]{a·kn} = k·√[n]{a} (hvor k er ikke-negativ i princippet).
  • Fjernelse af rod ved eksponentiering: (√[n]{x})n = x for x i domænet hvor udtrykket er defineret; omvendt √[n]{xn} kan give |x| hvis n er lige og man tager den principielle rod.

Bemærkninger om flere løsninger

Ligningen kn = r har i komplekse tal n løsninger (n komplekse n-te rødder). I de reelle tal er situationen:

  • Hvis n er ulige: én reel løsning.
  • Hvis n er lige og r > 0: to reelle løsninger ±√[n]{r}, men den principielle rod er den positive. Hvis r = 0: én løsning (0). Hvis r < 0: ingen reelle løsninger.

Til sidst er det nyttigt at huske de almindelige potensregneregler, som kombineret med ekvivalenten mellem rødder og brøkeksponenter gør mange beregninger nemmere: xa·xb = xa+b, (xa)b = xab, og √[n]{x} = x1/n.

Zoom

Dette er y = x 3 {\displaystyle y={{\sqrt[{3}]{x}}} {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}. Det er en terningrod.

Zoom

Dette er grafen for y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} {\displaystyle y={\sqrt {x}}}. Det er en kvadratrod.

Forenkling af

Dette er et eksempel på, hvordan man forenkler en radikal.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}}={\sqrt {4\ gange 2}}}={\sqrt {4}}}\ gange {\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}}} {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}}

Hvis to radikaler er ens, kan de kombineres. Det er tilfældet, når både indeks og radikander er ens.

2 2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}}+1{\sqrt {2}}}=3{\sqrt {2}}}} {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}}

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}}-6{\sqrt[{3}]{7}}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}} {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}

Sådan finder du det perfekte kvadrat og rationaliserer nævneren.

8 x x x 3 = 8 x x x x x = 8 x = 8 x x × x x x = 8 x x x 2 = 8 x x x {\displaystyle {\frac {\frac {8x}{{{\sqrt {x}}}^{3}}}}={\frac {8{{\cancel {x}}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{{\sqrt {x}}}}\times {\frac {\frac {\sqrt {x}}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}{x}}} {\displaystyle {\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}

Relaterede sider

  • Rationalisering (matematik)

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en n-te rod?


Svar: En n-te rod af et tal r er et tal, som, hvis det ganges n gange med sig selv, giver tallet r.

Sp: Hvordan skrives en n-te rod?


Svar: En n-te rod af et tal r skrives som r^(1/n).

Sp: Hvad er nogle eksempler på rødder?


Svar: Hvis indekset (n) er 2, er det radikale udtryk en kvadratrod. Hvis det er 3, er det en terningrod. Andre værdier af n betegnes ved hjælp af ordenstal som f.eks. fjerde rod og tiende rod.

Spørgsmål: Hvad angiver produktegenskaben for et radikale udtryk?


Svar: Produktegenskaben for et radikalt udtryk siger, at sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

Spørgsmål: Hvad siger kvotientegenskaben for et radikale udtryk?


Svar: Et radikalt udtryks kvotientegenskab siger, at sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), hvor b != 0.

Spørgsmål: Hvilke andre udtryk kan bruges til at betegne en n-te rod?


Svar: En n-te rod kan også omtales som en radikal eller et radikalt udtryk.


Søge
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3