Euklids Elementer — Introduktion til euklidisk geometri og talteori
Euklids Elementer: Grundlæggende introduktion til euklidisk geometri og talteori — historie, aksiomer og nøglebegreber fra antikkens mest indflydelsesrige værk.
Euklids Elementer (undertiden: Elementerne, græsk: Στοιχεῖα Stoicheia) er et omfattende værk i matematik og geometri, skrevet af den antikke græske matematiker Euklid (ca. 325 f.Kr.–265 f.Kr.) i Alexandria (Egypten) omkring 300 f.Kr. Sættet består af 13 bind eller afsnit og er ofte blevet trykt som 13 separate bøger (nummereret I–XIII) frem for som én enkelt voluminøs tekst. Det er blevet oversat til latin med titlen "Euclidis Elementorum" og er den mest berømte matematiske tekst fra oldtiden.
Euklid samlede det meste af den geometri, som var kendt på hans tid, og hans Elementer er en af de vigtigste kilder til antikkens matematik. Lærebøger baseret på Euklid blev brugt i undervisningen i århundreder og har haft et langvarigt indtryk på opfattelsen af, hvad matematik og bevisførelse er. I bogen starter han fra et relativt lille sæt grundlæggende antagelser—både definitioner, aksiomer og postulater—og viser derefter egenskaber ved geometriske objekter og hele tal ved deduktive ræsonnementer.
Indhold og opbygning
Elementerne dækker et bredt spektrum af emner: plan geometri, proportioner, talteori og rumgeometri. Overordnet kan man skitsere temaerne i de 13 bøger sådan:
- Bog I: Grundlæggende egenskaber i plan geometri, konstruktioner med lineal og passer, kongruens, og Pythagoras' sætning.
- Bog II: Geometrisk algebra—sætninger der svarer til algebraiske identiteter ved hjælp af figurer.
- Bog III: Cirklens egenskaber.
- Bog IV: Konstruktion af regelmæssige polygoner.
- Bog V: Teorien om proportioner (Eudoxos’ tilgang), vigtig for at håndtere irrationelle størrelser.
- Bog VI: Anvendelse af proportionsteorien på ligedannede figurer og forhold.
- Bog VII–IX: Talteori for hele tal: division, største fælles divisor (Euklids algoritme), sammensatte og primtal, og en berømt bevisførelse for primtallenes uendelighed.
- Bog X: Klassifikation og studie af incommensurable (irrationelle) størrelser.
- Bog XI–XIII: Rumgeometri (større tredimensionale figurer) og en klassisk behandling af de fem regulære polyedre (Platonske legemer).
Aksiomer, postulater og metode
Euklid opstiller i begyndelsen en række definitioner, postulater (geometriske antagelser) og almindelige begreber (ofte kaldet common notions). Blandt de mest kendte er:
- De almindelige antagelser som logiske principper (fx hvis to størrelser er lige med en tredje, er de lige med hinanden).
- Postulater som tillader konstruktioner med lineal og passer (fx at man kan tegne en ret linje mellem to punkter, eller konstruere en cirkel med vilkårlig centrum og radius).
- Parallelpostulatet: en særlig antagelse om parallelle linjer, der historisk har spillet en afgørende rolle i udviklingen af ikke-euklidiske geometrier.
Metoden i Elementerne er streng deduktion: Euklid starter fra sine grundantalelser og bygger trinvis videre gennem propositionsbeviser. Denne axiomatisk-deduktive fremgangsmåde har sat standarden for senere matematisk praksis.
Vigtige resultater
- Euklids algoritme for at finde den største fælles divisor af to hele tal (en effektiv procedure, der stadig anvendes). (divisor og dele omtales i teksten.)
- Bevis for at der findes uendeligt mange primtal (en klassisk og elegant argumentation).
- Systematisk behandling af ligedannede figurer, forhold og anvendelse af proportionsteori til irrationelle størrelser.
- Præcision i konstruktioner med lineal og passer samt klassifikation af regulære polyedre.
Talteori i Elementerne
Udover geometri indeholder værket betydelige resultater i talteori. Euklid introducerer teknikker til at studere hele tal, herunder begreber som største fælles divisor og metoder til at bestemme den. Hans arbejde i bøgerne VII–IX demonstrerer, hvordan geometrisk tænkning kan anvendes på aritmetiske forhold og talens egenskaber.
Historisk betydning og efterliv
Det euklidiske system var i årtusinder den dominerende model for geometri og blev ofte betragtet som den eneste naturlige geometri. Opdagelsen af ikke-euklidiske geometrier i det 19. århundrede ændrede dette syn—man fandt konsistente geometrier, hvor paralllepostulatet ikke gælder—men Euklids fremstilling forblev et forbillede for axiomatisk tænkning.
Gennem middelalderen og renæssancen blev Elementerne oversat og kommenteret, først til syrisk og arabisk og senere til latin og moderne europæiske sprog. Tekstens klare struktur gjorde den til et standardværk i matematisk og videnskabelig uddannelse i århundreder. Moderne matematikere som David Hilbert har senere genformuleret og moderniseret de aksiomatiske grundlag, inspireret af netop Euklids tilgang.
Udgivelser og tekster
Der findes mange manuskripter, oversættelser og udgaver af Elementerne. Teksten har været genstand for kommentarer og kritiske udgaver fra antikken til i dag. Moderne kritiske udgaver og oversættelser (bl.a. engelske videnskabelige udgaver) har gjort det lettere at studere Euklids originale argumenter og historiske kontekst.
Elementerne er ikke kun et historisk dokument: det er et eksempel på systematisk, logisk opbygget matematik, som fortsat undervises og studeres for sin metode, sine resultater og sin store historiske betydning.
Titelbladet til Sir Henry Billingsleys første engelske udgave af Euklids Elementer fra 1570.
Tilføjet bind XIV og XV
I oldtiden blev skrifter af og til tilskrevet berømte forfattere, men de var ikke skrevet af dem. Det er på denne måde, at de apokryfe bøger XIV og XV i Elementerne undertiden blev inkluderet i samlingen. Den falske bog XIV blev sandsynligvis skrevet af Hypsikles på grundlag af en afhandling af Apollonius af Perga. Bogen fortsætter Euklids sammenligning af regulære faste legemer indskrevet i kugler. Det vigtigste resultat er, at forholdet mellem dodekaederets og icosaederets overflader indskrevet i samme kugle er det samme som forholdet mellem deres rumfang.
Den falske Bog XV er sandsynligvis skrevet, i det mindste delvist, af Isidore af Milet. Denne bog omhandler emner som at tælle antallet af kanter og faste vinkler i de regulære faste legemer og at finde målene for dihedrale vinkler på flader, der mødes ved en kant.
Udgaver
- 1460'erne, Regiomontanus (ufuldstændig)
- 1533, editio princeps af Simon Grynäus
- 1557, af Jean Magnien og Pierre de Montdoré, anmeldt af Stephanus Gracilis (kun forslag, ingen fuldstændige korrekturlister, indeholder det græske original og den latinske oversættelse)
- 1572, Commandinus
- 1574, Christoph Clavius
Oversættelser
- 1505, Bartolomeo Zamberti (latin)
- 1543, Venturino Ruffinelli (italiensk)
- 1555, Johann Scheubel (tysk)
- 1557, Jean Magnien og Pierre de Montdoré, revideret af Stephanus Gracilis (græsk til latin)
- 1562, Jacob Kündig (tysk)
- 1564, Pierre Forcadel de Béziers (fransk)
- 1570, Henry Billingsley (engelsk)
- 1576, Rodrigo de Zamorano (spansk)
- 1594, Typografia Medicea (udgave af den arabiske oversættelse af Nasir al-Din al-Tusi)
- 1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (kinesisk)
- 1660, Isaac Barrow (engelsk)
- 1720'erne Jagannatha Samrat (sanskrit, baseret på den arabiske oversættelse af Nasir al-Din al-Tusi)
- 1738, Ivan Satarov (russisk fra fransk)
- 1780, Baruch Ben-Yaakov Mshkelab (hebraisk)
- 1807, Józef Czech (polsk baseret på græske, latinske og engelske udgaver)
I øjeblikket i trykken
Euclid's Elements - Alle tretten bøger i ét bind, baseret på Heaths oversættelse, Green Lion Press, ISBN 978-1-888009-18-7.
Elementerne: Books I-XIII-Complete and Unabridged (2006), oversat af Sir Thomas Heath, Barnes & Noble, ISBN 978-0-7607-6312-4.
Den italienske jesuit Matteo Ricci (til venstre) og den kinesiske matematiker Xu Guangqi (til højre) udgav den kinesiske udgave af Euklids Elementer (幾何原本 ) i 1607.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvem skrev Euklids Elementer?
Svar: Euklid (ca. 325 f.Kr. - 265 f.Kr.), en gammel græsk matematiker, skrev Euklids Elementer.
Spørgsmål: Hvornår blev den skrevet?
Svar: Den blev skrevet i Alexandria i Egypten omkring 300 f.Kr.
Spørgsmål: Hvad er titlen på den latinske oversættelse af Euklids Elementer?
Svar: Den latinske oversættelse af Euklids Elementer har titlen "Euclidis Elementorum".
Spørgsmål: Hvilke emner er dækket i bogen?
A: De emner, der behandles i bogen, omfatter geometri, perspektiv, keglesnit, sfærisk geometri, kvadratiske flader og talteori.
Spørgsmål: Hvad gør Euklid med et lille sæt aksiomer?
A: Med et lille sæt af aksiomer viser Euklid egenskaberne ved geometriske objekter og hele tal.
Spørgsmål: Hvad er den største fælles divisor?
A: Den største fælles divisor (GCD) er det største tal, der kan dele lige meget i to givne tal.
Spørgsmål: Hvordan omtales nutidens geometriske system i forhold til det, der i oldtiden blev kaldt "geometri"?
A: Nutidens geometriske system kaldes euklidisk geometri for at adskille det fra andre ikke-euklidiske geometrier, som matematikere opdagede i det 19. århundrede.
Søge