Eulers formel | ligning med komplekse tal og trigonometriske funktioner

Inden for kompleks analyse er Eulers formel, også kaldet Eulers relation, en ligning, der involverer komplekse tal og trigonometriske funktioner. Mere specifikt siger den, at

e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

hvor x er et reelt tal, e er Eulers tal og i er den imaginære enhed.

Den skaber en sammenhæng mellem trigonometriske funktioner og eksponentielle funktioner for komplekse tal. Den er opkaldt efter Leonhard Euler, som offentliggjorde den i 1748. Da han offentliggjorde den, sagde Euler, at vinklen skal være et reelt tal. Senere viste det sig, at formlen også virker, hvis vinklen ikke er et reelt tal, men et komplekst tal.

Når vinklen er π {\displaystyle \pi } $\pi$ og 2 π {\displaystyle 2\pi } $2\pi$ bliver Eulers formel e i π = - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} $e^{i\pi }=-1$ og e i 2 π = 1 {\displaystyle e^{i2\pi }=1} $e^{i2\pi }=1$ , henholdsvis.

Relaterede sider

Eulers identitet

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Eulers formel?

A: Eulers formel er en ligning, der involverer komplekse tal og trigonometriske funktioner, og som relaterer eksponentielle funktioner af komplekse tal til trigonometriske funktioner.

Sp: Hvem udgav Eulers formel?

Svar: Leonhard Euler udgav Eulers formel i 1748.

Spørgsmål: Virker formlen, når vinklen ikke er et reelt tal?

A: Ja, det viser sig, at formlen også virker, hvis vinklen er et komplekst tal.

Spørgsmål: Hvad sker der, når vinklen er pi?

Svar: Når vinklen er pi, bliver Eulers formel til e^iנ = -1.

Spørgsmål: Hvad sker der, når vinklen er 2pi?

Svar: Når vinklen er 2pi, bliver Eulers formel e^i2נ = 1.

Spørgsmål: Hvad repræsenterer "e" i denne ligning?

A: I denne ligning repræsenterer "e" Eulers tal.

Spørgsmål: Hvad repræsenterer "i" i denne ligning?

A: I denne ligning repræsenterer "i" den imaginære enhed.