Fermatprimtal

Et Fermat-tal er et særligt positivt tal. Fermat-tallene er opkaldt efter Pierre de Fermat. Den formel, der genererer dem, er

F n = 2 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{2^{{\overset {n}{}}}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

hvor n er et nonnegativt heltal. De første ni Fermat-tal er (sekvens A000215 i OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = ²¹⁶ + 1 = 65537

F5 = ²³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = ²⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = ²¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

I 2007 er kun de første 12 Fermat-tal blevet fuldstændigt faktoriseret. (skrevet som et produkt af primtal) Disse faktoriseringer kan findes på Prime Factors of Fermat Numbers.

Hvis 2n + 1 er primtal, og n > 0, kan man vise, at n må være en potens af to. Ethvert primtal af formen 2n + 1 er et Fermat-tal, og sådanne primtal kaldes Fermat-rimtal. De eneste kendte Fermat-præmier er F0,...,F4.

Interessante ting om Fermat-tallene

Der er ikke to Fermat-tal, der har fælles divisorer.
Fermat-tallene kan beregnes rekursivt: For at få det N-te tal skal du gange alle Fermat-tallene før det og lægge to til resultatet.

Hvad de anvendes til

I dag kan Fermat-tallene bruges til at generere tilfældige tal mellem 0 og en værdi N, som er en potens af 2.

Fermats formodning

Da Fermat studerede disse tal, formodede han, at alle Fermat-tallene var primtal. Dette blev bevist af Leonhard Euler, som faktoriserede F 5 {\displaystyle F_{5}}} $F_{5}$ i 1732.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er et Fermat-tal?

A: Et Fermat-tal er et særligt positivt tal opkaldt efter Pierre de Fermat. Det fremkommer ved formlen F_n = 2^2^(n) + 1, hvor n er et nonnegativt heltal.

Sp: Hvor mange Fermat-tal er der?

Svar: I 2007 er kun de første 12 Fermat-tal blevet fuldstændigt faktoriseret.

Spørgsmål: Hvad er de første ni Fermat-tal?

A: De første ni Fermat-tal er F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 184467440407370709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 3402823636692093846346337474607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), og F8 = 1157920208989237316195423570985008686879079078532699846656404056404039394545757584007913129639937 (123892636361552897 × 9346163971535797777769163558199606896584051237541638188580280321).

Sp: Hvad kan man sige om primtal af formen 2n + 1?

Svar: Hvis 2n + 1 er primtal, og n > 0, kan det påvises, at n må være en potens af to. Ethvert primtal af formen 2n + 1 er også et Fermat-tal, og sådanne primtal kaldes Fermat-rimtal. De eneste kendte Fermat-præmier er fra 0 til 4.

Spørgsmål: Hvor kan man finde faktoriseringer for alle 12 kendte faktoriserede Fermat-tal?

Svar: Faktoriseringer for alle 12 kendte faktoriserede Fermat-tal kan findes på Prime Factors of Fermat Numbers.

Spørgsmål: Hvem var Pierre de Fermaat?

Svar: Pierre de Fermaat var en indflydelsesrig fransk matematiker, der levede i det 17. århundrede, og hvis arbejde lagde en stor del af grundlaget for den moderne matematik. Han er bedst kendt for sine bidrag til sandsynlighedsteori og analytisk geometri samt for sin berømte sidste sætning, som forblev uløst indtil 1995, hvor den endelig blev bevist af Andrew Wiles ved hjælp af metoder fra algebraisk geometri.