Et Fermat-tal er et særligt positivt heltal opkaldt efter Pierre de Fermat. De defineres ved formlen

Fn = 22n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}

Her er n et nonnegativt heltal (dvs. n = 0, 1, 2, ...). De første Fermat-tal er (sekvens A000215 i OEIS):

  • F0 = 220 + 1 = 21 + 1 = 3
  • F1 = 221 + 1 = 22 + 1 = 5
  • F2 = 222 + 1 = 24 + 1 = 17
  • F3 = 223 + 1 = 28 + 1 = 257
  • F4 = 224 + 1 = 216 + 1 = 65537
  • F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
  • F6 = 226 + 1 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
  • F7 = 227 + 1 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
  • F8 = 228 + 1 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Grundlæggende egenskaber

  • Parvis indbyrdes primiske: Fermat-tallene er parvis gensidigt primiske. Man har identiteten
    F0·F1·...·Fn−1 = Fn − 2,
    hvilket viser, at enhver fælles divisor af to forskellige Fermat-tal må dele 2, og da alle Fermat-tal er ulige, følger gcd = 1.
  • Ny primfaktor for hvert nyt tal: Af ovenstående identitet følger, at hvert Fn har mindst én primfaktor, som ikke deler noget Fk med k < n.
  • Orden af 2 modulo en primfaktor: Hvis et ulige primtal p deler Fn (dvs. p | 22n + 1), så er 22n ≡ −1 (mod p). Heraf følger, at multiplicativ orden af 2 modulo p er 2n+1, og dermed deler 2n+1 tallet p − 1. I sædvanlig form skrives derfor ofte: p ≡ 1 (mod 2n+1).

Primiteter og faktorisering

Fermat-talene vakte tidligt interesse pga. Fermats formodning (se historie nedenfor). Faktisk er de eneste kendte Fermat-primtal F0, F1, F2, F3 og F4 (dvs. 3, 5, 17, 257 og 65537). Alle Fermat-tal med n ≥ 5 er kendt at være sammensatte (i hvert fald de første mange), og den første, som blev vist sammensat, er F5 (Euler fandt faktoren 641).

I 2007 var kun de første 12 Fermat-tal blevet fuldstændigt faktoriseret (skrevet som et produkt af primtal). Fakta om faktorisering af Fermat-tal er genstand for intensiv beregning og løbende forskning — der findes opdaterede lister over kendte primfaktorer under oversigter som "Prime Factors of Fermat Numbers".

Historie og betydning

  • Fermats påstand: Pierre de Fermat bemærkede i det 17. århundrede, at de første fem tal i rækken (n = 0..4) er primtal, og han formodede fejlagtigt, at alle tal af formen 22n + 1 måtte være prime. Denne formodning blev senere modbevist.
  • Euler: I 1732 viste Leonhard Euler, at F5 = 4294967297 er sammensat ved at finde primfaktoren 641.
  • Anvendelse — konstruktible polygoner: Der er en klassisk forbindelse mellem Fermat-primtal og konstruktion med lineal og passer: Et regulært n‑kant kan konstrueres med lineal og passer præcis når n = 2k · p1 · p2 · ... · pr, hvor hver p_i er en distinkt Fermat‑prim. Derfor gør eksistensen (eller mangel på) Fermat‑primtal direkte indflydelse på, hvilke regulære polygoner der er klassisk konstruerbare.

Eksempler på faktorer og "mærkelige" observationer

  • F5 = 4294967297 = 641 × 6700417 (først fundne faktor fundet af Euler).
  • De listede faktoriseringer ovenfor for F6, F7 og F8 viser, at Fermat-tal hurtigt bliver meget store, men at de alligevel ofte har forholdsvis små primfaktorer sammenlignet med tallets størrelse.

Videre læsning og ressourcer

For en komplet og opdateret oversigt over kendte primfaktorer og faktoriseringer af Fermat-tal henvises til samlede databaser og projekter, der overvåger faktoriseringer. Se også sekvensen i OEIS og oversigter som "Prime Factors of Fermat Numbers".

Bemærk: Politik og status for fuldstændig faktorisering ændrer sig med tiden efterhånden som nye beregninger og metoder bliver tilgængelige; på nuværende tidspunkt (efter Fermats oprindelige arbejde og Eulers modbevisning) er det dog fastslået, at kun F0–F4 er Fermat-primer.