Fermattal (Fermat-tal): definition, eksempler og faktorisering

Fermattal: Lær definitionen, historien, konkrete eksempler og faktorisering af kendte Fermat-tal. Få indsigt i primfaktorer, egenskaber og kendte resultater.

Forfatter: Leandro Alegsa

03-02-2026 21:48

Et Fermat-tal er et særligt positivt heltal opkaldt efter Pierre de Fermat. De defineres ved formlen

F_n = 2^2ⁿ + 1 $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

Her er n et nonnegativt heltal (dvs. n = 0, 1, 2, ...). De første Fermat-tal er (sekvens A000215 i OEIS):

F0 = 2^2⁰ + 1 = 2¹ + 1 = 3
F1 = 2^2¹ + 1 = 2² + 1 = 5
F2 = 2^2² + 1 = 2⁴ + 1 = 17
F3 = 2^2³ + 1 = 2⁸ + 1 = 257
F4 = 2^2⁴ + 1 = 2¹⁶ + 1 = 65537
F5 = 2^2⁵ + 1 = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 2^2⁶ + 1 = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2^2⁷ + 1 = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2^2⁸ + 1 = 2²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Grundlæggende egenskaber

Parvis indbyrdes primiske: Fermat-tallene er parvis gensidigt primiske. Man har identiteten
F₀·F₁·...·F_n−1 = F_n − 2,
hvilket viser, at enhver fælles divisor af to forskellige Fermat-tal må dele 2, og da alle Fermat-tal er ulige, følger gcd = 1.
Ny primfaktor for hvert nyt tal: Af ovenstående identitet følger, at hvert F_n har mindst én primfaktor, som ikke deler noget F_k med k < n.
Orden af 2 modulo en primfaktor: Hvis et ulige primtal p deler F_n (dvs. p | 2^2ⁿ + 1), så er 2^2ⁿ ≡ −1 (mod p). Heraf følger, at multiplicativ orden af 2 modulo p er 2ⁿ⁺¹, og dermed deler 2ⁿ⁺¹ tallet p − 1. I sædvanlig form skrives derfor ofte: p ≡ 1 (mod 2ⁿ⁺¹).

Primiteter og faktorisering

Fermat-talene vakte tidligt interesse pga. Fermats formodning (se historie nedenfor). Faktisk er de eneste kendte Fermat-primtal F0, F1, F2, F3 og F4 (dvs. 3, 5, 17, 257 og 65537). Alle Fermat-tal med n ≥ 5 er kendt at være sammensatte (i hvert fald de første mange), og den første, som blev vist sammensat, er F5 (Euler fandt faktoren 641).

I 2007 var kun de første 12 Fermat-tal blevet fuldstændigt faktoriseret (skrevet som et produkt af primtal). Fakta om faktorisering af Fermat-tal er genstand for intensiv beregning og løbende forskning — der findes opdaterede lister over kendte primfaktorer under oversigter som "Prime Factors of Fermat Numbers".

Historie og betydning

Fermats påstand: Pierre de Fermat bemærkede i det 17. århundrede, at de første fem tal i rækken (n = 0..4) er primtal, og han formodede fejlagtigt, at alle tal af formen 2^2ⁿ + 1 måtte være prime. Denne formodning blev senere modbevist.
Euler: I 1732 viste Leonhard Euler, at F5 = 4294967297 er sammensat ved at finde primfaktoren 641.
Anvendelse — konstruktible polygoner: Der er en klassisk forbindelse mellem Fermat-primtal og konstruktion med lineal og passer: Et regulært n‑kant kan konstrueres med lineal og passer præcis når n = 2^k · p1 · p2 · ... · pr, hvor hver p_i er en distinkt Fermat‑prim. Derfor gør eksistensen (eller mangel på) Fermat‑primtal direkte indflydelse på, hvilke regulære polygoner der er klassisk konstruerbare.

Eksempler på faktorer og "mærkelige" observationer

F5 = 4294967297 = 641 × 6700417 (først fundne faktor fundet af Euler).
De listede faktoriseringer ovenfor for F6, F7 og F8 viser, at Fermat-tal hurtigt bliver meget store, men at de alligevel ofte har forholdsvis små primfaktorer sammenlignet med tallets størrelse.

Videre læsning og ressourcer

For en komplet og opdateret oversigt over kendte primfaktorer og faktoriseringer af Fermat-tal henvises til samlede databaser og projekter, der overvåger faktoriseringer. Se også sekvensen i OEIS og oversigter som "Prime Factors of Fermat Numbers".

Bemærk: Politik og status for fuldstændig faktorisering ændrer sig med tiden efterhånden som nye beregninger og metoder bliver tilgængelige; på nuværende tidspunkt (efter Fermats oprindelige arbejde og Eulers modbevisning) er det dog fastslået, at kun F0–F4 er Fermat-primer.

Interessante ting om Fermat-tallene

Der er ikke to Fermat-tal, der har fælles divisorer.
Fermat-tallene kan beregnes rekursivt: For at få det N-te tal skal du gange alle Fermat-tallene før det og lægge to til resultatet.

Hvad de anvendes til

I dag kan Fermat-tallene bruges til at generere tilfældige tal mellem 0 og en værdi N, som er en potens af 2.

Fermats formodning

Da Fermat studerede disse tal, formodede han, at alle Fermat-tallene var primtal. Dette blev bevist af Leonhard Euler, som faktoriserede F 5 {\displaystyle F_{5}}} $F_{5}$ i 1732.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er et Fermat-tal?

A: Et Fermat-tal er et særligt positivt tal opkaldt efter Pierre de Fermat. Det fremkommer ved formlen F_n = 2^2^(n) + 1, hvor n er et nonnegativt heltal.

Sp: Hvor mange Fermat-tal er der?

Svar: I 2007 er kun de første 12 Fermat-tal blevet fuldstændigt faktoriseret.

Spørgsmål: Hvad er de første ni Fermat-tal?

A: De første ni Fermat-tal er F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 184467440407370709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 3402823636692093846346337474607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), og F8 = 1157920208989237316195423570985008686879079078532699846656404056404039394545757584007913129639937 (123892636361552897 × 9346163971535797777769163558199606896584051237541638188580280321).

Sp: Hvad kan man sige om primtal af formen 2n + 1?

Svar: Hvis 2n + 1 er primtal, og n > 0, kan det påvises, at n må være en potens af to. Ethvert primtal af formen 2n + 1 er også et Fermat-tal, og sådanne primtal kaldes Fermat-rimtal. De eneste kendte Fermat-præmier er fra 0 til 4.

Spørgsmål: Hvor kan man finde faktoriseringer for alle 12 kendte faktoriserede Fermat-tal?

Svar: Faktoriseringer for alle 12 kendte faktoriserede Fermat-tal kan findes på Prime Factors of Fermat Numbers.

Spørgsmål: Hvem var Pierre de Fermaat?

Svar: Pierre de Fermaat var en indflydelsesrig fransk matematiker, der levede i det 17. århundrede, og hvis arbejde lagde en stor del af grundlaget for den moderne matematik. Han er bedst kendt for sine bidrag til sandsynlighedsteori og analytisk geometri samt for sin berømte sidste sætning, som forblev uløst indtil 1995, hvor den endelig blev bevist af Andrew Wiles ved hjælp af metoder fra algebraisk geometri.

Søge