Fermats sidste sætning – erklæring, historie og Wiles' bevis (1995)

Fermats sidste sætning eller FLT er en meget berømt idé inden for matematik. Den siger, at:

Hvis n {\displaystyle n} er et helt tal større end 2, så har ligningen $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ingen løsninger, når x, y og z er naturlige tal.

Eller,

Det er umuligt at udtrykke to terninger i hele tal, som tilsammen udgør en tredje terning. Det er desuden umuligt med noget højere end kvadrater.

Det betyder, at der ikke findes eksempler, hvor x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} og z {\displaystyle z} $z$ er naturlige tal, dvs. hele tal større end nul, og hvor n {\displaystyle n} er et helt tal større end 2. Pierre de Fermat skrev om det i 1637 inde i sit eksemplar af en bog kaldet Arithmetica. Han sagde: "Jeg har et bevis for denne sætning, men der er ikke plads nok i denne margen". Der blev dog ikke fundet noget korrekt bevis i 357 år. Det blev endelig bevist i 1995. De fleste matematikere mener ikke, at Fermat rent faktisk nogensinde havde et bevis for dette sætning i margenen.

I sin oprindelige form er problemet som følger:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas exiguitas non caperet.

Præcis erklæring og enkelte bemærkninger

Fermats sidste sætning siger: for heltalsværdier x, y, z og et helt n > 2 findes der ingen positive heltal x, y, z, som opfylder xⁿ + yⁿ = zⁿ. Bemærk:

For n = 1 og n = 2 findes uendeligt mange løsninger (n = 2 er Pythagoras-sætningen og giver de kendte Pythagoræiske tripler).
Fermat viste selv (med metoden infinite descent) det særlige tilfælde n = 4. Det kan bruges til at reducere problemet til at undersøge kun primtal som eksponenter.

Historisk udvikling — udvalgte bidrag

Arbejdet med Fermats sidste sætning førte til mange vigtige opdagelser i talteori over flere århundreder. Nogle nøglebidrag:

Pierre de Fermat (1637) formulerede sætningen i margen til Arithmetica, sammen med sin berømte bemærkning om et "mirakuløst bevis".
Fermat beviste casen n = 4 og viste dermed, at det er nok at betrække primtalsfælder n.
Leonhard Euler beviste casen n = 3 (på 1700-tallet).
Dirichlet og Legendre bidrog med beviser for n = 5 i begyndelsen af 1800-tallet.
Sophie Germain udviklede teknikker, der løser mange primtalstilfælde ved at vise særlige divisibilitetsegenskaber; hendes arbejde gav verificerede tilfælde for en stor klasse af primtal.
Ernst Kummer i midten af 1800-tallet introducerede ideen om ideale tal (Kummers teori om cyklotomiske felter) og beviste sætningen for alle såkaldte regulære primtal, hvilket var et stort gennembrud i algebraisk talteori.

Vejen til det endelige bevis: fra Frey til Wiles

I 1980'erne dannede en ny og overraskende forbindelse mellem to tilsyneladende forskellige områder vejen til et endeligt bevis:

Frey (hellegouarch) kurven: Gerhard Frey observerede, at hvis der eksisterede en ikke-triviel løsning xⁿ + yⁿ = zⁿ (med n ≥ 3), så kunne man konstruere en elliptisk kurve med specielle egenskaber. Frey foreslog, at denne kurve ikke kunne være modulær (dvs. ikke svare til et modularform), hvilket ville være i konflikt med den forventede forbindelse mellem elliptiske kurver og modularformer.
Ribet (1986): Ken Ribet beviste, at hvis Freys kurve virkelig ikke var modulær, så ville det følge, at Taniyama–Shimura-formodningen (modularitetsformodningen) for semistabile elliptiske kurver ville medføre Fermats sidste sætning. Med andre ord reducerede Ribet FLT til et tilfælde af modularitetsformodningen.
Wiles (1993–1995): Andrew Wiles arbejdede målrettet på at bevise det nødvendige tilfælde af Taniyama–Shimura (modularitet) for semistabile elliptiske kurver. I 1993 annoncerede han et bevis, men der blev fundet en fejl i nogle tekniske argumenter. Sammen med Richard Taylor rettede han fejlen ved hjælp af forbedrede teknikker i Galois-repræsentationens deformationsteori. Den rettede og fuldstændige version blev offentliggjort i 1995.

Metoder og idéer i Wiles' bevis (kort)

Wiles' bevis er dybt forankret i moderne algebraisk talteori og anvender blandt andet:

Studiet af Galois-repræsentationer associeret til elliptiske kurver og modularformer.
Deformationsteori for Galois-repræsentationer og konstruktion af passende deformationsringe.
Relationer mellem Hecke-algebraer og deformationsringe (ofte omtalt som "R = T"-metoden), samt teknikker til at vise, at disse ringe er isomorfe i de behandlede tilfælde.

Disse teknikker var nye i den form, Wiles anvendte dem, og de krævede omfattende teknisk arbejde for at kontrollere lokale betingelser og løse det udsatte tekniske problem, der opstod efter den første meddelelse.

Efterbehandling og fuld modularitet

Wiles beviste modularitet for semistabile elliptiske kurver, hvilket var nok til at konkludere Fermats sidste sætning ved hjælp af Ribets resultat. Den fulde Taniyama–Shimura–Weil-formodning (nu kaldet modularitetssætningen) for alle elliptiske kurver over Q blev senere videreudviklet og fuldført af blandt andre Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond og Richard Taylor i begyndelsen af 2000'erne.

Betydning og konsekvenser

Fermats sidste sætning har haft stor betydning for matematikken, ikke kun som et enkeltstående resultat, men fordi forsøgene på at løse den førte til udviklingen af nye teorier og metoder i algebraisk talteori og teorien om elliptiske kurver og modularformer. Beviset demonstrerede også, hvordan dybe forbindelse mellem tilsyneladende forskellige områder af matematik kan føre til løsningen af klassiske problemer.

Fermats latinske påstand — oversættelse

Den latinske tekst i Fermats margenskrift kan oversættes til dansk omtrent således:

"At dele en kube i to kuber, eller et fjerdepotens (kvadratkvadrat) i to fjerdepotenser, og generelt ingen potens højere end anden i to potenser af samme navn, er tilladt; jeg har fundet en virkelig vidunderlig demonstration af denne sag; margenen er dog for trang til at rumme den."

De fleste historikere og matematikere mener i dag, at Fermat sandsynligvis ikke havde et korrekt og komplet bevis for den generelle sætning; i bedste fald kan han have haft en idé eller en ufuldstændig skitse, der virkede plausibel for nogle tilfælde.

Afsluttende bemærkning

Selvom Fermats sidste sætning er et afsluttet kapitel (sætningen er bevist), lever dens historie videre som et paradigme for, hvordan et enkelt spørgsmål kan drive udviklingen af hel ny matematik over århundreder. Beviset kræver moderne værktøjer, og det står som et af de mest kendte eksempler på, at spørgsmål med en simpel formulering kan have dybe og uventede forbindelser.

Pierre de Fermat

Oversigt

Fermats sidste sætning er en mere generel form af Pythagoras' sætning, som er en ligning, der siger:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Når a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ og c {\displaystyle c} $c$ er hele tal, kaldes dette en "pythagoræisk tripel". For eksempel $3^{2}+4^{2}=9+16=25$ , og da ${\sqrt[{2}]{25}}=5$ kan vi sige, at $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ er en pythagoræisk tripel. Fermats sidste sætning omskriver dette som

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

og hævder, at hvis man gør n {\displaystyle n} til et større helt tal end 2, så kan a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ og c {\displaystyle c} $c$ ikke alle være naturlige tal. F.eks. $3^{3}+4^{3}=27+64=91$ og ${\sqrt[{3}]{91}}=4.49794144528$ , og derfor er $3^{3}+4^{3}=4.49794144528^{3}$ er et eksempel, der bekræfter dette.

Om ligningens kvadratiske

x og y er to ukendte summer, der summerer den imaginære tredje sum z. På trods af at der er 4 termer: n, x, y & z, er n en funktion, der summerer summen af de ukendte summer. Nul mangler i denne ligning ved reglen "1 plus 1 er 2 og ikke mere", skrevet 1+1=2+0.

For at tydeliggøre dette er n kendt for at være en sum.

Bevis

Beviset blev ført for nogle værdier af n {\displaystyle n} , som f.eks. n = 3 {\displaystyle n=3} $n=3$ , n = 4 {\displaystyle n=4} $n=4$ , n = 5 {\displaystyle n=5} $n=5$ og n = 7 {\displaystyle n=7} $n=7$ , som blev forvaltet af mange matematikere, herunder Fermat, Euler og Sophie Germain. Da der imidlertid findes et uendeligt antal pythagoræiske tripler, da tallene tæller opad i al evighed, gjorde dette Fermats sidste sætning svær at bevise eller afkræfte; det fulde bevis skal vise, at ligningen ikke har nogen løsning for alle værdier af n {\displaystyle n} (når n {\displaystyle n} er et helt tal større end 2), men det er ikke muligt blot at kontrollere alle kombinationer af tal, hvis de fortsætter i al evighed.

En engelsk matematiker ved navn Andrew Wiles fandt en løsning i 1995, 358 år efter at Fermat skrev om det. Richard Taylor hjalp ham med at finde løsningen. Beviset tog otte års forskning. Han beviste sætningen ved først at bevise modularitetssætningen, som dengang blev kaldt Taniyama-Shimura-konjekturen. Ved hjælp af Ribets sætning var han i stand til at give et bevis for Fermats sidste sætning. Han modtog Wolfskehl-prisen fra Göttingen Academy i juni 1997: den beløb sig til ca. 50.000 amerikanske dollars.

Efter et par års debat blev man enige om, at Andrew Wiles havde løst problemet. Andrew Wiles brugte en masse moderne matematik og skabte endda ny matematik, da han lavede sin løsning. Denne matematik var ukendt, da Fermat skrev sin berømte note, så de Fermat kunne ikke have brugt den. Dette får en til at tro, at de Fermat faktisk ikke havde en fuldstændig løsning på problemet.

Kritik af beviser

Vos Savant skrev i 1995, at Wiles' bevis burde afvises på grund af dets brug af ikke-euklidisk geometri. Hun sagde, at "beviskæden er baseret på hyperbolisk (Lobachevskij) geometri", og fordi denne geometri tillader ting som f.eks. kvadrering af cirklen, en "berømt umulighed", selv om det er muligt i hyperbolisk geometri, så "hvis vi forkaster en hyperbolisk metode til kvadrering af cirklen, bør vi også forkaste et hyperbolisk bevis for Fermats sidste sætning".

Bevis uden elliptisk

Når n er kendt som summen af to ordinale værdier, kan den ikke overstige den talte værdi 2, hvis den største værdi tages som 1 enhed.

Den britiske matematiker Andrew Wiles

Generalisering

Beals generaliseringsformodning, eller Beals formodning, der er fremsat af investor Andrew Beal, spørger, hvorfor der altid er fælles faktorer (som celler i batterier) i ligninger som denne, der har den generelle form aˣ+bʸ=cᶻ.

Mere læsning

Aczel, Amir (30. september 1996). Fermats sidste sætning: at afsløre hemmeligheden bag et gammelt matematisk problem. Four Walls Eight Windows. ISBN 978-1-568-58077-7.
Friberg, Joran (2007). Forbløffende spor af en babylonisk oprindelse i græsk matematik. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812704528.
Kleiner I (2000). "Fra Fermat til Wiles: Fermats sidste sætning bliver til en sætning" (PDF). Elem. Math. 55: 19-37. doi:10.1007/PL00000079. S2CID 53319514. Arkiveret fra originalen (PDF) den 2012-02-19. Hentet 2011-08-17.
Mordell L.J (1921). Tre forelæsninger om Fermats sidste sætning. Cambridge: Cambridge University Press.
Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Introduktion til moderne talteori (Encyclopedia of Mathematical Sciences. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3.
Ribenboim P (2000). Fermats sidste sætning for amatører. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387985084.
Singh, Simon (oktober 1998). Fermats gåde. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Fermats sidste sætning?

Svar: Fermats sidste sætning (FLT) siger, at hvis n er et helt tal større end 2, så har ligningen x^n + y^n = z^n ingen løsninger, når x, y og z er naturlige tal. Med andre ord er det umuligt at udtrykke to terninger, der tilsammen giver en tredje terning eller noget højere end kvadrater, i hele tal.

Spørgsmål: Hvornår blev FLT skrevet?

Svar: Pierre de Fermat skrev om FLT i 1637 inde i sit eksemplar af en bog kaldet Arithmetica.

Spørgsmål: Hvad sagde Fermat om sætningen?

Svar: Han sagde: "Jeg har et bevis for denne sætning, men der er ikke plads nok i denne margen".

Spørgsmål: Hvor lang tid tog det, før FLT blev bevist?

A: Det tog 357 år, før FLT blev bevist korrekt; det blev endelig gjort i 1995.

Spørgsmål: Tror matematikerne, at Fermat havde et egentligt bevis for sætningen?

Svar: De fleste matematikere mener ikke, at Fermat faktisk havde et marginalt bevis for dette sætningsteorem.

Spørgsmål: Hvad står der i det oprindelige problem?

A: Det oprindelige problem siger, at det er umuligt at dele cubum autem (en terning) i to terninger eller quadratoquadratum (et kvadratkvadrat) i to kvadratkvadrater, og generelt kan intet ud over kvadrater deles i to af samme navn, med demonstration, der er bemærkelsesværdig, men alligevel for stor til marginalstørrelsen.