Fermats sidste sætning | en meget berømt idé i matematik

Fermats sidste sætning eller FLT er en meget berømt idé inden for matematik. Den siger, at:

Hvis n {\displaystyle n} er et helt tal større end 2, så har ligningen $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ingen løsninger, når x, y og z er naturlige tal.

Eller,

Det er umuligt at udtrykke to terninger i hele tal, som tilsammen udgør en tredje terning. Det er desuden umuligt med noget højere end kvadrater.

Det betyder, at der ikke findes eksempler, hvor x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} og z {\displaystyle z} $z$ er naturlige tal, dvs. hele tal større end nul, og hvor n {\displaystyle n} er et helt tal større end 2. Pierre de Fermat skrev om det i 1637 inde i sit eksemplar af en bog kaldet Arithmetica. Han sagde: "Jeg har et bevis for denne sætning, men der er ikke plads nok i denne margen". Der blev dog ikke fundet noget korrekt bevis i 357 år. Det blev endelig bevist i 1995. De fleste matematikere mener ikke, at Fermat rent faktisk nogensinde havde et bevis for dette sætning i margenen.

I sin oprindelige form er problemet som følger:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas exiguitas non caperet.

Pierre de Fermat

Oversigt

Fermats sidste sætning er en mere generel form af Pythagoras' sætning, som er en ligning, der siger:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Når a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ og c {\displaystyle c} $c$ er hele tal, kaldes dette en "pythagoræisk tripel". For eksempel $3^{2}+4^{2}=9+16=25$ , og da ${\sqrt[{2}]{25}}=5$ kan vi sige, at $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ er en pythagoræisk tripel. Fermats sidste sætning omskriver dette som

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

og hævder, at hvis man gør n {\displaystyle n} til et større helt tal end 2, så kan a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ og c {\displaystyle c} $c$ ikke alle være naturlige tal. F.eks. $3^{3}+4^{3}=27+64=91$ og ${\sqrt[{3}]{91}}=4.49794144528$ , og derfor er $3^{3}+4^{3}=4.49794144528^{3}$ er et eksempel, der bekræfter dette.

Om ligningens kvadratiske

x og y er to ukendte summer, der summerer den imaginære tredje sum z. På trods af at der er 4 termer: n, x, y & z, er n en funktion, der summerer summen af de ukendte summer. Nul mangler i denne ligning ved reglen "1 plus 1 er 2 og ikke mere", skrevet 1+1=2+0.

For at tydeliggøre dette er n kendt for at være en sum.

Bevis

Beviset blev ført for nogle værdier af n {\displaystyle n} , som f.eks. n = 3 {\displaystyle n=3} $n=3$ , n = 4 {\displaystyle n=4} $n=4$ , n = 5 {\displaystyle n=5} $n=5$ og n = 7 {\displaystyle n=7} $n=7$ , som blev forvaltet af mange matematikere, herunder Fermat, Euler og Sophie Germain. Da der imidlertid findes et uendeligt antal pythagoræiske tripler, da tallene tæller opad i al evighed, gjorde dette Fermats sidste sætning svær at bevise eller afkræfte; det fulde bevis skal vise, at ligningen ikke har nogen løsning for alle værdier af n {\displaystyle n} (når n {\displaystyle n} er et helt tal større end 2), men det er ikke muligt blot at kontrollere alle kombinationer af tal, hvis de fortsætter i al evighed.

En engelsk matematiker ved navn Andrew Wiles fandt en løsning i 1995, 358 år efter at Fermat skrev om det. Richard Taylor hjalp ham med at finde løsningen. Beviset tog otte års forskning. Han beviste sætningen ved først at bevise modularitetssætningen, som dengang blev kaldt Taniyama-Shimura-konjekturen. Ved hjælp af Ribets sætning var han i stand til at give et bevis for Fermats sidste sætning. Han modtog Wolfskehl-prisen fra Göttingen Academy i juni 1997: den beløb sig til ca. 50.000 amerikanske dollars.

Efter et par års debat blev man enige om, at Andrew Wiles havde løst problemet. Andrew Wiles brugte en masse moderne matematik og skabte endda ny matematik, da han lavede sin løsning. Denne matematik var ukendt, da Fermat skrev sin berømte note, så de Fermat kunne ikke have brugt den. Dette får en til at tro, at de Fermat faktisk ikke havde en fuldstændig løsning på problemet.

Kritik af beviser

Vos Savant skrev i 1995, at Wiles' bevis burde afvises på grund af dets brug af ikke-euklidisk geometri. Hun sagde, at "beviskæden er baseret på hyperbolisk (Lobachevskij) geometri", og fordi denne geometri tillader ting som f.eks. kvadrering af cirklen, en "berømt umulighed", selv om det er muligt i hyperbolisk geometri, så "hvis vi forkaster en hyperbolisk metode til kvadrering af cirklen, bør vi også forkaste et hyperbolisk bevis for Fermats sidste sætning".

Bevis uden elliptisk

Når n er kendt som summen af to ordinale værdier, kan den ikke overstige den talte værdi 2, hvis den største værdi tages som 1 enhed.

Den britiske matematiker Andrew Wiles

Generalisering

Beals generaliseringsformodning, eller Beals formodning, der er fremsat af investor Andrew Beal, spørger, hvorfor der altid er fælles faktorer (som celler i batterier) i ligninger som denne, der har den generelle form aˣ+bʸ=cᶻ.

Mere læsning

Aczel, Amir (30. september 1996). Fermats sidste sætning: at afsløre hemmeligheden bag et gammelt matematisk problem. Four Walls Eight Windows. ISBN 978-1-568-58077-7.
Friberg, Joran (2007). Forbløffende spor af en babylonisk oprindelse i græsk matematik. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812704528.
Kleiner I (2000). "Fra Fermat til Wiles: Fermats sidste sætning bliver til en sætning" (PDF). Elem. Math. 55: 19-37. doi:10.1007/PL00000079. S2CID 53319514. Arkiveret fra originalen (PDF) den 2012-02-19. Hentet 2011-08-17.
Mordell L.J (1921). Tre forelæsninger om Fermats sidste sætning. Cambridge: Cambridge University Press.
Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Introduktion til moderne talteori (Encyclopedia of Mathematical Sciences. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3.
Ribenboim P (2000). Fermats sidste sætning for amatører. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387985084.
Singh, Simon (oktober 1998). Fermats gåde. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Fermats sidste sætning?

Svar: Fermats sidste sætning (FLT) siger, at hvis n er et helt tal større end 2, så har ligningen x^n + y^n = z^n ingen løsninger, når x, y og z er naturlige tal. Med andre ord er det umuligt at udtrykke to terninger, der tilsammen giver en tredje terning eller noget højere end kvadrater, i hele tal.

Spørgsmål: Hvornår blev FLT skrevet?

Svar: Pierre de Fermat skrev om FLT i 1637 inde i sit eksemplar af en bog kaldet Arithmetica.

Spørgsmål: Hvad sagde Fermat om sætningen?

Svar: Han sagde: "Jeg har et bevis for denne sætning, men der er ikke plads nok i denne margen".

Spørgsmål: Hvor lang tid tog det, før FLT blev bevist?

A: Det tog 357 år, før FLT blev bevist korrekt; det blev endelig gjort i 1995.

Spørgsmål: Tror matematikerne, at Fermat havde et egentligt bevis for sætningen?

Svar: De fleste matematikere mener ikke, at Fermat faktisk havde et marginalt bevis for dette sætningsteorem.

Spørgsmål: Hvad står der i det oprindelige problem?

A: Det oprindelige problem siger, at det er umuligt at dele cubum autem (en terning) i to terninger eller quadratoquadratum (et kvadratkvadrat) i to kvadratkvadrater, og generelt kan intet ud over kvadrater deles i to af samme navn, med demonstration, der er bemærkelsesværdig, men alligevel for stor til marginalstørrelsen.