Eulers identitet

Matematisk bevis for Eulers identitet ved hjælp af Taylorrækker

Mange ligninger kan skrives som en række termer, der lægges sammen. Dette kaldes en Taylor-serie

Eksponentialfunktionen e x {\displaystyle e^{x}}} kan skrives som en Taylor-serie

e x = 1 + x + x + x 2 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}}

Sinus kan også skrives som

sin x = x - x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}}{x^{2n+1}}}

og Cosinus som

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{{4} \over 4!}-{x^{{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}}{x^{2n}}}

Her ser vi et mønster tage form. e x {\displaystyle e^{x}}} ser ud til at være en sum af sinus og cosinus' Taylor-serie, bortset fra at alle tegn er ændret til positive. Den identitet, som vi faktisk beviser, er e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Så på venstre side er e i x {\displaystyle e^{ix}} , hvis Taylor-serie er 1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2}} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{{4} \over 4!}+{ix^{{5} \over 5!}\cdots }

Vi kan se et mønster her, nemlig at hvert andet udtryk er i gange sinusudtryk, og at de andre udtryk er cosinusudtryk.

På højre side står cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} , hvis Taylor-serie er Taylor-serien af cosinus plus i gange Taylor-serien af sinus, hvilket kan vises som:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

Hvis vi lægger disse sammen, får vi

1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{{4} \over 4!}+{ix^{{5} \over 5!}\cdots }

Derfor:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Hvis vi nu erstatter x med π {\displaystyle \pi } , har vi..

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Så ved vi, at

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

og

• sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Derfor:

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED