Fibonacci-tal
Fibonacci-tallene er en matematisk talrække, der er opkaldt efter Leonardo af Pisa, kendt som Fibonacci. Fibonacci skrev i 1202 en bog kaldet Liber Abaci ("Beregningsbog"), som introducerede talmønsteret i den vesteuropæiske matematik, selv om matematikere i Indien allerede kendte det.
Det første tal i mønsteret er 0, det andet tal er 1, og hvert tal derefter svarer til at lægge de to tal lige før det sammen. F.eks. 0+1=1 og 3+5=8. Denne sekvens fortsætter i det uendelige.
Dette kan skrives som en gentagelsesrelation,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
For at dette kan give mening, skal der være mindst to udgangspunkter. Her er F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
og F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
En Fibonacci-spiral skabt ved at trække en linje gennem firkanterne i Fibonacci-fliserne; her anvendes firkanterne i størrelserne 1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 8, 13, 21 og 34; se Guldspiral.
Fibonacci-tallene i naturen
Fibonacci-tallene er relateret til det gyldne snit, som dukker op mange steder i bygninger og i naturen. Nogle eksempler er bladmønsteret på en stilk, delene i en ananas, blomstringen af artiskokker, udrulningen af en bregne og opstillingen af en fyrretræskogle. Fibonacci-tallene findes også i honningbiernes stamtræ.
Solsikkehoved med blomster i spiraler på 34 og 55 på ydersiden
Binets formel
Det niende Fibonacci-tal kan skrives i form af det gyldne snit. På den måde undgår man at skulle bruge rekursion til at beregne Fibonacci-tallene, hvilket kan tage lang tid for en computer at gøre.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}}{\sqrt {5}}}} 
Hvor φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{{\sqrt {5}}}}{2}}}} 
, det gyldne snit.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er Fibonacci-sekvensen?
A: Fibonacci-sekvensen er et matematisk talmønster, der er opkaldt efter Leonardo af Pisa, kendt som Fibonacci. Den starter med 0 og 1, og hvert tal derefter svarer til at lægge de to tal lige før det sammen.
Spørgsmål: Hvem introducerede dette talmønster i den vesteuropæiske matematik?
Svar: Fibonacci skrev i 1202 en bog kaldet Liber Abaci ("Beregningsbog"), som introducerede talmønsteret i den vesteuropæiske matematik, selv om matematikere i Indien allerede kendte det.
Sp: Hvordan kan Fibonacci-sekvensen skrives?
Svar: Fibonacci-sekvensen kan skrives som en gentagelsesrelation, hvor F_n = F_n-1 + F_n-2 for n ≥ 2.
Spørgsmål: Hvad er udgangspunktet for denne gentagelsesrelation?
Svar: For at det giver mening, skal der være mindst to udgangspunkter. Her er F_0 = 0 og F_1 = 1.
Spørgsmål: Fortsætter Fibonacci-sekvensen for evigt?
Svar: Ja, sekvensen fortsætter i al evighed.
Spørgsmål: Hvor lærte matematikerne først om dette talmønster? Svar: Matematikere i Indien kendte allerede til dette talmønster, før det blev introduceret i Vesteuropa af Leonardo af Pisa (Fibonacci).
