AlegsaOnline.com

Schrödinger-ligningen: Forklaring på bølgefunktion og kvantemekanik

Schrödinger-ligningen forklaret: Forstå bølgefunktionen, bølgefunktionskollaps og grundprincipperne i kvantemekanik på en klar, pædagogisk og visuelt understøttet måde.

Forfatter: Leandro Alegsa Oprettelsesdato: 17. maj 2021 Seneste opdatering: 9. februar 2026

simple.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

Schrödinger-ligningen er en differentialligning (en type ligning, der involverer en ukendt funktion i stedet for et ukendt tal), som danner grundlaget for kvantemekanikken, en af de mest præcise teorier om, hvordan subatomare partikler opfører sig. Det er en matematisk ligning, som blev udtænkt af Erwin Schrödinger i 1925. Den definerer en bølgefunktion for en partikel eller et system (gruppe af partikler), som har en bestemt værdi i hvert punkt i rummet for hvert givet tidspunkt. Disse værdier har ingen fysisk betydning (de er faktisk matematisk komplekse), men bølgefunktionen indeholder al den information, som man kan vide om en partikel eller et system. Disse oplysninger kan findes ved at manipulere bølgefunktionen matematisk for at få reelle værdier tilbage, der vedrører fysiske egenskaber som f.eks. position, impuls, energi osv. Bølgefunktionen kan opfattes som et billede af, hvordan denne partikel eller dette system opfører sig med tiden, og beskriver det så fuldstændigt som muligt.

Bølgefunktionen kan være i en række forskellige tilstande på én gang, og en partikel kan derfor have mange forskellige positioner, energier, hastigheder eller andre fysiske egenskaber på samme tid (dvs. "være to steder på én gang"). Når en af disse egenskaber måles, har den imidlertid kun én bestemt værdi (som ikke kan forudsiges med sikkerhed), og bølgefunktionen befinder sig derfor kun i én bestemt tilstand. Dette kaldes bølgefunktionskollaps og synes at være forårsaget af observations- eller målehandlingen. Den nøjagtige årsag til og fortolkning af bølgefunktionskollaps er stadig genstand for stor debat i det videnskabelige samfund.

For en partikel, der kun bevæger sig i én retning i rummet, ser Schrödinger-ligningen således ud:

- ℏ 2 2 2 m ∂ 2 ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\frac {\partial }{\partial t}}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

hvor i {\displaystyle i} $i$ er kvadratroden af -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ er den reducerede Planck-konstant, t {\displaystyle t} $t$ er tid, x {\displaystyle x} er en position, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ er bølgefunktionen, og V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ er den potentielle energi, en endnu ikke valgt funktion af positionen. Venstre side svarer til den Hamiltonske energioperator, der virker på Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Tidsafhængig og tidsuafhængig form

Den viste ligning er den tidsafhængige Schrödinger-ligning, og den beskriver, hvordan bølgefunktionen Ψ(x,t) ændrer sig med tiden. Ved systemer med en tidsuafhængig potentialfunktion V(x) kan man ofte adskille tids- og rummodulerne ved at antage Ψ(x,t)=ψ(x)·T(t). Det fører til den tidsuafhængige Schrödinger-ligning:

Hψ(x) = Eψ(x), hvor H er Hamilton-operatoren (typisk −(ħ²/2m)∂²/∂x² + V(x)) og E er en energiværdi (et egenværdi). Løsningerne ψ(x) kaldes stationære tilstande eller energiegentilstande, og tilhørende tidsafhængig del er en fasefaktor e^−iEt/ħ, så en stationær bølgefunktion udvikler sig i tid uden at ændre sandsynlighedstætheden.

Sandsynlighedstolkning og normalisering

Den grundlæggende fysiske fortolkning af bølgefunktionen er sandsynlighedsfortolkningen: |Ψ(x,t)|² giver sandsynlighedstætheden for at finde partikel(en) i nærheden af position x ved tid t. For en enkelt partikel gælder normaliseringsbetingelsen

∫ |Ψ(x,t)|² dx = 1

over hele det tilladte rum. Fra Ψ kan man også udregne forventningsværdier af operatorer (fysiske størrelser). Hvis A er en operator, så er forventningsværdien ⟨A⟩ = ∫ Ψ*(x,t) A Ψ(x,t) dx, hvor Ψ* er det komplekse konjugat. Momentumoperatoren i én dimension er f.eks. p̂ = −iħ ∂/∂x.

Sandsynlighedsstrøm og bevarelse af sandsynlighed

Schrödinger-ligningen sikrer, at sandsynligheden er bevaret i tiden. Det udtrykkes ved kontinuitetsligningen

∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0,

hvor ρ = |Ψ|² er sandsynlighedstætheden og j er sandsynlighedsstrømmen (i én dimension: j = (ħ/m) Im(Ψ* ∂Ψ/∂x)). Denne bevarelse er tæt forbundet med, at den tidsmæssige udvikling er unitær (ingen tab af information i den ikke-relativistiske kvantemekanik).

Lineæritet, superposition og egnefunktioner

Schrödinger-ligningen er lineær, hvilket betyder at summen af to løsninger også er en løsning. Dette giver superpositionsprincippet: et system kan befinde sig i en linearkombination af tilstande. Stationære tilstande, der løser Hψ = Eψ, danner ofte et ortonormalt sæt af egenfunktioner, og et generelt initialtilstand kan udtrykkes som en sum (eller integral) over disse egenfunktioner.

Typiske eksempler på løsninger

Partikel i en firkantet brønd (uendelig boks): Energiniveauerne bliver kvantiserede, og egenfunktionerne er stående bølger (sinus- og cosinusformer) med bestemte nodeforhold.
Harmonisk oscillator: Modellering af små oscillerende systemer (f.eks. molekylvibrationer) fører til jævnt fordelte energiniveauer med kendte hermitske polynomier som egenfunktioner.
Hydrogenatomet: Ved en Coulomb-potential får man diskrete energiniveauer (skaller) og orbitale, som forklarer atomers spektrallinjer.
Tunnel-effekt: Schrödinger-ligningen tillader, at en partikel kan bevæge sig gennem en potentiel barriere, selvom klassisk energi ikke rækker til det — forklaring på f.eks. radioaktivt henfald og scanning tunneling-mikroskopi.

Fortolkninger af bølgefunktionen og måling

Fortolkningen af hvad der sker i en måling (bølgefunktionskollaps) er et centralt og omdiskuteret emne. Nogle hovedtilgange:

Copenhagen-fortolkningen: Bølgefunktionen beskriver vores viden om systemet; under en måling kollapser denne viden til et enkelt udfald.
Dekohærens: Forklarer tilsyneladende kollaps ved, at systemet interagerer med omgivelserne og mister faseinformation, så klassiske resultater fremkommer uden at postulere et egentligt fysisk kollaps.
Mange-verdeners fortolkning: Ingen kollaps; alle mulige udfald realiseres i forskellige "grene" af universet.

Hver af disse fortolkninger har fordele og uafklarede spørgsmål, og emnet er stadig aktivt forskningsområde.

Relation til klassisk og relativistisk fysik

For store skalaer eller høje masser må kvantemekanikken give samme resultater som klassisk mekanik (korrespondensprincippet). Schrödinger-ligningen er ikke relativistisk; relativistiske generaliseringer fører til Klein–Gordon- og Dirac-ligningerne, og videreudvikling til kvantefeltteori er nødvendig, når partikeltal kan ændre sig eller relativistiske effekter er vigtige.

Eksperimentel evidens og anvendelser

Schrödinger-ligningen og kvantemekanikken er bekræftet af utallige eksperimenter: elektron‑ og neutron-diffraktion, atomspektrer, kvantetunneling, kvantekryptering og moderne kvantecomputere. Ligningen ligger til grund for molekyl- og faststoffysik samt for den kemiske bindingsteori.

Afsluttende bemærkninger

Schrödinger-ligningen er både et praktisk værktøj til at regne forudsigelser og et fundamentalt koncept for vores forståelse af naturen på mikroskopisk skala. Den er matematisk elegant og samtidig rig på fysiske konsekvenser — fra diskrete energiniveauer til sandsynlighedstolkninger af det målbare univers. For at arbejde praktisk med ligningen kræves ofte numeriske metoder og approximationer (f.eks. perturbationsteori og variationalmetoder) for systemer, hvor analytiske løsninger ikke findes.

Buste af Erwin Schrödinger på universitetet i Wien. Den viser også en Schrödinger-ligning.

Tidsuafhængig version

Hvis vi antager, at bølgefunktionen Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , er separabel, dvs. at funktionen af to variabler kan skrives som produktet af to forskellige funktioner af en enkelt variabel:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

kan det ved hjælp af standard matematiske teknikker for partielle differentialligninger vises, at bølgeligningen kan omskrives til to forskellige differentialligninger

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 2 m d 2 d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

hvor den første ligning udelukkende er afhængig af tiden T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ , og den anden ligning afhænger kun af positionen ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ , og hvor E {\displaystyle E} $E$ blot er et tal. Den første ligning kan umiddelbart løses, så man får

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

hvor e {\displaystyle e} $e$ er Eulers tal. Løsningerne til den anden ligning afhænger af den potentielle energifunktion, V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ , og kan derfor ikke løses, før denne funktion er givet. Det kan vises ved hjælp af kvantemekanikken, at tallet E {\displaystyle E} $E$ faktisk er systemets energi, så disse separable bølgefunktioner beskriver systemer med konstant energi. Da energien er konstant i mange vigtige fysiske systemer (f.eks. en elektron i et atom), anvendes ofte den anden ligning i det ovenfor præsenterede sæt af adskilte differentialligninger. Denne ligning er kendt som den tidsuafhængige Schrödinger-ligning, da den ikke involverer t {\displaystyle t} $t$

Fortolkninger af bølgefunktionen

Born Fortolkning

Der findes mange filosofiske fortolkninger af bølgefunktionen, og nogle få af de vigtigste idéer vil blive gennemgået her. Hovedidéen, kaldet Borns sandsynlighedsfortolkning (opkaldt efter fysikeren Max Born), stammer fra den enkle idé, at bølgefunktionen er firkantet integrerbar, dvs.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Denne ret enkle formel har store fysiske konsekvenser. Born opstillede den hypotese, at ovenstående integral bestemmer, at partiklen eksisterer et sted i rummet. Men hvordan kan vi finde den? Vi bruger integralet

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

hvor P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} er sandsynligheden $P(b<x<a)$ for at finde partiklen i området fra b {\displaystyle b} til a {\displaystyle $b$ a} . Med andre ord er alt, hvad man på forhånd kan vide om en partikel generelt, sandsynligheder, gennemsnit og andre statistiske størrelser, der er forbundet med dens fysiske størrelser (position, impuls osv.). Dette er grundlæggende set den bornske fortolkning.

Københavns fortolkning

Ovenstående idéer kan udvides. Da Born-tolkningen siger, at den aktuelle positionspartikel ikke kan kendes, kan vi udlede følgende. Hvis Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ er løsninger til bølgeligningen, så er superpositionen af disse løsninger, dvs.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

er også en løsning. Det betyder altså, at partiklen findes i alle mulige positioner. Når en observatør kommer og måler partiklens position, reduceres superpositionen til en enkelt mulig bølgefunktion. (dvs. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , hvor Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}}} $\Psi _{n}$ er en hvilken som helst af de mulige bølgefunktionstilstande). Denne idé om, at en partikels position ikke kan kendes nøjagtigt, og at en partikel kan eksistere i flere positioner samtidig, giver anledning til usikkerhedsprincippet. Den matematiske formulering af dette princip kan gives ved

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Hvor Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ er usikkerheden på positionen, og Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ er usikkerheden på impulsen. Dette princip kan matematisk udledes af Fouriertransformationerne mellem impuls og position som defineret i kvantemekanikken, men vi vil ikke udlede det i denne artikel.

Andre fortolkninger

Der findes forskellige andre fortolkninger, f.eks. fortolkningen af mange verdener og kvantedeterminisme.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Schrödinger-ligningen?

A: Schrödinger-ligningen er en differentialligning, der danner grundlaget for kvantemekanikken, og som blev udtænkt af Erwin Schrödinger i 1925. Den definerer en bølgefunktion for en partikel eller et system, som har en bestemt værdi i hvert punkt i rummet for hvert givet tidspunkt.

Spørgsmål: Hvilke oplysninger kan man finde ved at manipulere bølgefunktionen?

Svar: Ved matematisk at manipulere bølgefunktionen kan man finde reelle værdier, der vedrører fysiske egenskaber som f.eks. position, impuls, energi osv.

Spørgsmål: Hvad betyder det, når en partikel kan have mange forskellige positioner, energier, hastigheder eller andre fysiske egenskaber på samme tid?

Svar: Det betyder, at bølgefunktionen kan være i flere forskellige tilstande på én gang, og at en partikel derfor kan have mange forskellige positioner, energier, hastigheder eller andre fysiske egenskaber på samme tid (dvs. "være to steder på én gang").

Spørgsmål: Hvad er bølgefunktionskollaps?

Svar: Bølgefunktionskollaps er, at når en af disse egenskaber måles, har den kun én bestemt værdi (som ikke kan forudsiges med sikkerhed), og bølgefunktionen befinder sig derfor kun i én bestemt tilstand. Dette synes at være forårsaget af observations- eller målehandlingen.

Spørgsmål: Hvad er nogle af komponenterne i Schrödinger-ligningen?

A: Komponenterne i Schrödinger-ligningen omfatter i, som er lig med kvadratroden -1; ℏ, som repræsenterer den reducerede Planck-konstant; t, som står for tid; x, som repræsenterer position; Ψ (x , t), som står for bølgefunktioner; og V(x), som repræsenterer potentiel energi som en endnu ikke valgt funktion af positionen.

Spørgsmål: Hvordan fortolker vi bølgefunktionskollaps?

Svar: Den nøjagtige årsag til og fortolkning af bølgefunktionskollaps er stadig genstand for stor debat i det videnskabelige samfund.