Sandsynlighed: Introduktion, definition og simple eksempler
Intro til sandsynlighed: definitioner, simple terning- og mønteksempler, beregninger og praktiske forklaringer for begyndere.
Sandsynlighed er en del af anvendt matematik. Den handler om tilfældigheder og om studiet af begivenheder, der kan ske eller ikke ske — for eksempel udfaldet af et møntkast, en terning eller andre eksperimenter med flere mulige udfald.
Hvad er sandsynlighed?
Sandsynligheden (p) for en begivenhed ligger altid mellem nul (umuligt) og et (sikkert). En sandsynlighed på 0 betyder, at begivenheden aldrig kan ske; en sandsynlighed på 1 betyder, at den altid sker. Ofte skriver man sandsynligheder som brøker, decimaltal eller procenter (fx 1/6, 0,1666... eller 16,67 %).
Enkle eksempler
Hvis du kaster en mønt, er der to mulige udfald: plat eller krone. For en fair mønt er sandsynligheden for plat 1/2 og for krone 1/2.
Hvis vi kaster en terning (flertal: terninger), er chancen for, at den lander på 1, 1/6 — fordi der er seks sider med tallene 1–6. Chancen for 2 er også 1/6, og tilsvarende for 3, 4, 5 og 6. Summen af sandsynlighederne for alle mulige udfald er 1, fordi terningen altid lander på et af tallene mellem 1 og 6.
Uafhængige begivenheder og multiplikationsreglen
Nogle gange vil vi kende sandsynligheden for, at to eller flere begivenheder sker i træk. Hvis begivenhederne er uafhængige (dvs. at udfaldet af det første kast ikke påvirker det næste), så finder vi sandsynligheden for, at de alle sker ved at gange deres individuelle sandsynligheder.
- Eksempel: Sandsynligheden for at få 3 og derefter 5 ved kast af to terninger er 1/6 × 1/6 = 1/36 = 0,027777... (0,0277… med gentagne 7).
- Eksempel: Sandsynligheden for at få 3, så 5, så 2 ved kast af tre terninger er 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/216 = 0,004629... .
Bemærk: Når rækkefølgen ikke betyder noget (fx at få én 3'er og én 5'er i vilkårlig rækkefølge), skal man tage højde for antallet af måder, det kan ske på (kombinatorik). For to kast kan enten (3,5) eller (5,3) optræde, så den samlede sandsynlighed for "en 3'er og en 5'er i vilkårlig rækkefølge" er 2 × 1/36 = 1/18.
Flere terninger og mere avancerede begivenheder
Når man kaster mange terninger på én gang (fx seks terninger), kan sandsynligheder for mere komplekse begivenheder — som at summen af øjnene er større end et bestemt tal — stadig beregnes, men det kræver ofte lidt mere arbejde med kombinatorik eller programmering/simulering. For simple hændelser (fx at mindst én terning viser 6) kan man dog bruge komplementærsandsynligheden:
- Eksempel: Sandsynligheden for at få mindst én 6'er ved to kast er 1 − P(ingen 6'ere) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,3056.
Vigtige begreber (kort)
- Udfaldsrum (sample space): Mængden af alle mulige udfald (fx {1,2,3,4,5,6} for en terning).
- Hændelse: Et sæt af udfald (fx "få et lige tal" = {2,4,6}).
- Komplement: Det, der ikke sker (fx komplementet til "få 6" er "ikke få 6").
- Uafhængighed: To hændelser påvirker ikke hinanden (fx to adskilte kast med en fair terning).
- Betinget sandsynlighed: Sandsynligheden for én hændelse givet, at en anden allerede er indtruffet.
Sandsynlighedsteori kombinerer ofte logik, kombinatorik og matematik for at give præcise tal på chancer og hjælper os med at forstå og forudsige tilfældige fænomener i spil, eksperimenter og på alle områder, hvor tilfældigheder optræder.
For videre læsning om relaterede emner kan du se artikler om matematik eller andre grundlæggende emner inden for sandsynlighed og statistik.
I en bønnemaskine eller Galton-boks ender de fleste kugler tæt på midten. I det lange løb vil de vise en normalfordeling
Ideer om sandsynlighed
Folk som Jacob Bernoulli, Pierre-Simon Laplace og Christiaan Huygens brugte ordet sandsynlighed, som beskrevet ovenfor. Andre mennesker tænkte på frekvenser; deres begreb om sandsynlighed kaldes normalt for frekvenssandsynlighed.
Relaterede sider
- Liste over matematiske emner
- Sandsynlighedsteori
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er sandsynlighed?
A: Sandsynlighed er en del af den anvendte matematik, der beskæftiger sig med studiet af ting, der kan ske eller ikke kan ske.
Spørgsmål: Hvordan kan sandsynlighed udtrykkes?
A: Sandsynligheden kan udtrykkes som et tal mellem nul (umuligt) og et (sikkert).
Spørgsmål: Hvad er et eksempel på anvendelse af sandsynlighed?
A: Et eksempel på anvendelse af sandsynlighed er at vise, at ved at kaste en mønt op i luften og lade den lande, vil den i halvdelen af tilfældene lande med den ene side opad og i halvdelen af tilfældene med den anden side opad.
Spørgsmål: Hvordan beregner man sandsynligheden for at kaste to terninger og få en bestemt kombination?
Svar: For at beregne sandsynligheden for at kaste to terninger og få en bestemt kombination, skal man gange de to sandsynligheder sammen. Hvis du f.eks. ville kende muligheden for at få en 3 og derefter en 5, ville det være 1/6 x 1/6 = 1/36.
Spørgsmål: Hvad betyder "haler", når man taler om mønter?
A: Når man taler om mønter, henviser "hale" til den side uden ansigt eller billede på den.
Spørgsmål: Hvor sandsynligt er det at kaste seks terninger og få et tal på mere end ti? A: Sandsynligheden for at kaste seks terninger og få et tal på over ti kan beregnes ved hjælp af matematik og videnskab, men er ikke indlysende.
Spørgsmål: Hvad sker der, når man multiplicerer to sandsynligheder sammen?
Svar: Når du multiplicerer to sandsynligheder sammen, beregner du chancen for, at begge ting sker på én gang.
Søge