I matematik er en funktion et matematisk objekt, der producerer et output, når det får et input (som kan være et tal, en vektor eller hvad som helst, der kan eksistere i et sæt af ting).

En funktion er altså som en maskine, der tager en værdi x og returnerer et output y. Mængden af alle værdier, som x kan have, kaldes domænet, og mængden, der indeholder alle de værdier, som y kan have, kaldes kodomænet. En funktion betegnes ofte med kursive bogstaver som f g, {\displaystyle h} .

Hvis dette sker, siger vi, at y er en funktion af x, og vi skriver {\displaystyle y=f(x)} . Her er f navnet på funktionen, og man skriver (funktion fra X til Y) for at repræsentere de tre dele af funktionen: domænet (X), kodomænet (Y) og parringsprocessen (pilen).

Et eksempel på en funktion er {\displaystyle f(x)=x+1} . Man giver et naturligt tal x som input og får et naturligt tal y, som er {\displaystyle x+1} . Hvis man f.eks. giver 3 som input til f , får man f.eks. 4 som output.

En funktion behøver ikke nødvendigvis at være en ligning. Hovedidéen er, at input og output skal parres sammen på en eller anden måde - også selv om processen kan være meget kompliceret.




 

Domæne, kodomæne og værdimængde

Domænet (ofte betegnet X) er den mængde, hvorfra man vælger inputværdierne x. Kodomænet (ofte betegnet Y) er den mængde, som outputværdierne y er formelt tænkt som tilhørende. Værdimængden (eller billedet) er den faktiske mængde af værdier i Y, som funktionen rent faktisk antager, når man lader x løbe gennem hele domænet.

Eksempel: For funktionen f: R → R defineret ved f(x) = x^2 er domænet hele de reelle tal R, kodomænet kan sættes til R, men værdimængden er kun [0, ∞), fordi et kvadrat ikke bliver negativt.

Det er vigtigt at være opmærksom på, at man normalt skal angive domænet eksplicit. Hvis man skriver f(x)=1/x uden at sige andet, antages domænet ikke at indeholde 0, fordi funktionen så ikke er veldefineret dér (division med nul er ikke tilladt).

Notation og hvordan man skriver en funktion

  • Funktionens navn skrives ofte som f, g, h osv. og funktionen angives typisk som f: X → Y.
  • Når man skriver y = f(x), læser man "y er funktion af x" eller "y er billedet af x under f".
  • Man kan også definere funktioner ved regler (f.eks. f(x)=x^2), ved tabeller, ved diagrammer eller ved ord (f.eks. "tallet efter").

Flere eksempler på funktioner

  • Lineær funktion: f(x) = 2x + 3, hvor domæne typisk er R.
  • Kvadratfunktion: f(x) = x^2, værdimængde [0, ∞) hvis kodomænet er R.
  • Gulv-funktion (floor): g(x) = ⌊x⌋, som for reelle x giver det største heltal ≤ x. Denne er diskontinuerlig ved heltal.
  • Stykkevis defineret funktion: h(x) = { x hvis x ≥ 0, -x hvis x < 0 } (dette er samme som |x|).
  • Vektor-værdi funktion: F: R → R^2, F(t) = (cos t, sin t), som beskriver en parametriséring af en enhedscirkel.

Vigtige egenskaber: injektiv, surjektiv og bijektiv

  • Injektiv (én-til-én): En funktion f er injektiv hvis forskellige input altid giver forskellige output. Formelt: hvis f(x1)=f(x2) ⇒ x1=x2. Eksempel: f(x)=2x på R er injektiv.
  • SURjektiv (på): En funktion er surjektiv hvis hvert element i kodomænet Y er billedet af mindst ét x i domænet X. Eksempel: f(x)=x^3 fra R til R er surjektiv.
  • Bijektiv: Kombinationen af injektiv og surjektiv. En bijektion har en entydig invers funktion f^{-1}: Y → X.

Grafisk repræsentation og vertikal linjetest

For funktioner f: R → R kan man tegne grafen som mængden af punkter {(x, f(x)) : x ∈ R} i planen. En enkel måde at afgøre, om en kurve i planen er graf for en funktion (fra R til R), er den vertikale linjetest: Hvis enhver lodret linje møder grafen højst én gang, er kurven grafen for en funktion. Hvis en lodret linje møder grafen flere gange, svarer den samme x-værdi til flere y-værdier, og det er ikke en funktion.

Sammensætning og inverse funktioner

To funktioner kan sammensættes: hvis f: X → Y og g: Y → Z, så er sammensætningen g ∘ f en funktion fra X til Z givet ved (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Hvis f er bijektiv, findes en invers funktion f^{-1}: Y → X med f^{-1}(f(x)) = x for alle x i domænet og f(f^{-1}(y)) = y for alle y i kodomænet.

Diskrete vs. kontinuerlige funktioner

Nogle funktioner er defineret på tællelige/discrete mængder (f.eks. fra de naturlige tal N til N) — ofte brugt i talteori og datalogi. Andre funktioner er defineret på kontinuerlige mængder som R eller intervaller i R — typisk brugt i analyse, fysik og teknik. For kontinuerlige funktioner taler man om begreber som grænseværdier, kontinuitet og differentiabilitet.

Anvendelser

  • Modellering: funktioner beskriver sammenhænge mellem størrelser (f.eks. afstand som funktion af tid).
  • Programmering: funktioner (eller metoder) tager input og returnerer output — samme grundidé som i matematik.
  • Statistik og datalogi: sandsynlighedsfordelinger, kostfunktioner, hash-funktioner mv.
  • Geometri og fysik: bevægelser, kræfter og felter beskrives ofte som funktioner af tid og rum.

Kort opsummering

En funktion forbinder hvert element i et domæne med ét bestemt element i et kodomæne. Man skriver f: X → Y og y = f(x). Vigtige begreber at kende er domæne, kodomæne, værdimængde, injektivitet, surjektivitet, bijektivitet, sammensætning og inverse. Funktioner kan være meget simple eller meget komplekse, men idéen om at parre input med et entydigt output ligger altid i centrum.