Fouriertransformation | matematisk funktion, der kan bruges til at finde de grundfrekvenser, som en bølge består af

Fouriertransformationen er en matematisk funktion, der kan bruges til at finde de grundfrekvenser, som en bølge består af. Forestil dig, at du spiller en akkord på et klaver. Når akkorden spilles, blandes lydene fra tonerne i akkorden sammen og danner en lydbølge. Dette fungerer, fordi hver af de forskellige toners bølger interfererer med hinanden ved at lægge sig sammen eller ophæve hinanden på forskellige punkter i bølgen. En Fouriertransformation tager denne komplekse bølge og er i stand til at finde de frekvenser, der har dannet den, hvilket betyder, at den kan finde de toner, som en akkord er lavet af.

Resultatet af en Fouriertransformation kaldes nogle gange et frekvensspektrum eller en fordeling, fordi det viser en fordeling af de mulige frekvenser af input. Denne funktion har mange anvendelsesmuligheder inden for kryptografi, oceanografi, maskinlæring, radiologi, kvantefysik samt lyddesign og visualisering.

Fouriertransformationen af en funktion f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) , undertiden skrevet som F { f } { {\displaystyle {\mathcal {F}}}\{f\}} ${\mathcal {F}}\{f\}$ , er givet ved

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx} $F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx$

hvor:

α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ er en frekvens.
F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} $F(\alpha )$ er Fouriertransformationsfunktionen og returnerer en værdi, der angiver, hvor stor en frekvens α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ er i det oprindelige signal.
e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} $e^{-2\pi i\alpha x}$ repræsenterer en indpakning af den indgående bølgefunktion f ( x ) {\displaystyle f(x)} omkring oprindelsen i det komplekse plan ved en frekvens α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ .

Den inverse Fouriertransformation er givet ved

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha } $f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha$

En Fouriertransformation viser, hvilke frekvenser der er i et signal. For eksempel kan man tænke på en lydbølge, der indeholder tre forskellige musikalske toner: A, B og C. Hvis man laver en graf over Fouriertransformationen af denne lydbølge (med frekvensen på x-aksen og intensiteten på y-aksen), vil man se en top ved hver frekvens, som svarer til en af noderne.

Der kan skabes mange signaler ved at lægge cosinus og sinus sammen med varierende amplituder og frekvenser. Fouriertransformationen viser amplituder og faser af disse cosinus- og sinussignaler i forhold til deres respektive frekvenser.

Fouriertransformationer er vigtige, fordi mange signaler giver mere mening, når deres frekvenser er adskilt. I lydeksemplet ovenfor er det ikke tydeligt at se på signalet i forhold til tiden, hvis man ser på signalet i forhold til tiden, at tonerne A, B og C er i signalet. Mange systemer gør forskellige ting ved forskellige frekvenser, så disse typer systemer kan beskrives ved, hvad de gør ved hver enkelt frekvens. Et eksempel herpå er et filter, der blokerer høje frekvenser.

Beregning af en Fouriertransformation kræver forståelse af integration og imaginære tal. Computere bruges normalt til at beregne Fouriertransformationer af alt andet end de mest simple signaler. Den hurtige Fouriertransformation er en metode, som computere bruger til hurtigt at beregne en Fouriertransformation.

· Original function showing a signal oscillating at 3 hertz.

Originalfunktion, der viser et signal, der svinger med 3 hertz.

· Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 3 hertz

Real og imaginær del af integranden for Fouriertransformation ved 3 hertz

· Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 5 hertz

Real og imaginær del af integranden for Fouriertransformation ved 5 hertz

· Fourier transform with 3 and 5 hertz labeled.

Fouriertransformation med 3 og 5 hertz mærket.

Relaterede sider

Fourier-analyse
Fourier inversionssætning
Fourier-serier
Laplace-transformation

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Fourier-transformationen?

A: Fouriertransformationen er en matematisk funktion, der kan bruges til at finde de grundfrekvenser, som en bølge består af. Den tager en kompleks bølge og finder de frekvenser, som den består af, hvilket gør det muligt at identificere de toner, der udgør en akkord.

Sp: Hvad er nogle anvendelser af Fouriertransformationen?

A: Fouriertransformationen har mange anvendelsesmuligheder inden for kryptografi, oceanografi, maskinlæring, radiologi, kvantefysik samt lyddesign og visualisering.

Spørgsmål: Hvordan beregnes Fouriertransformationen?

A: Fouriertransformationen af en funktion f(x) er givet ved F(ב) = ∫-∞+∞f(x)e-2נiבxdx, hvor ב er en frekvens. Dette returnerer en værdi, der angiver, hvor udbredt frekvensen ב er i det oprindelige signal. Den inverse Fouriertransformation er givet ved f(x) = ∫-∞+∞F(ב)e+2נixבdבdב.

Sp: Hvordan ser et output af en Fouriertransformation ud?

Svar: Et output af en Fouriertransformation kan enten kaldes et frekvensspektrum eller en fordeling, fordi det viser en fordeling af de mulige frekvenser af input.

Spørgsmål: Hvordan beregner computere hurtige Fouriertransformationer?

Svar: Computere bruger en algoritme kaldet Fast Fourier Transform (FFT) til hurtigt at beregne alle undtagen de enkleste signaltransformationer.

Spørgsmål: Hvad viser det os ikke at se på signaler i forhold til tiden?

A: Når man ser på signaler i forhold til tiden, er det ikke tydeligt, hvilke toner der er til stede i dem; mange signaler giver mere mening, når deres frekvenser i stedet adskilles og analyseres individuelt.