Vector | matematisk objekt

Eksempler på vektorer

• John går 20 meter mod nord. Retningen "nord" sammen med afstanden "20 meter" er en vektor.
• Et æble falder ned med en hastighed på 10 meter i sekundet. Retningen "nedad" kombineret med hastigheden "10 meter i sekundet" er en vektor. Denne type vektor kaldes også hastighed.

 

Eksempler på skalarer

• Afstanden mellem to steder er 10 kilometer. Denne afstand er ikke en vektor, fordi den ikke indeholder en retning.
• Antallet af frugter i en kasse er ikke en vektor.
• En person, der peger, er ikke en vektor, fordi der kun er en retning. Der er ingen størrelsesorden (f.eks. afstanden fra personens finger til en bygning).
• Længden af et objekt.
• En bil kører med 100 kilometer i timen. Dette beskriver ikke en vektor, da der kun er en størrelse, men ingen retning.

 

Flere eksempler på vektorer

• Forskydning er en vektor. Forskydning er den afstand, som noget bevæger sig i en bestemt retning. Et mål for afstanden alene er en skalar.
• En kraft, der indeholder en retning, er en vektor.
• Hastighed er en vektor, fordi det er en hastighed i en bestemt retning.
• Acceleration er hastighedsændringen. Et objekt accelererer, hvis det ændrer hastighed eller retning.

 

Sådan tilføjer du vektorer

Tilføjelse af vektorer på papir ved hjælp af hoved til hale-metoden

Head to Tail-metoden til at addere vektorer er nyttig til at lave et skøn på papir over resultatet af at addere to vektorer. Sådan gør du:

• Hver vektor er tegnet som en pil med en længde bagved, hvor hver længdeenhed på papiret repræsenterer en vis størrelse af vektoren.
• Tegn den næste vektor med den anden vektors hale (ende) på den første vektors hoved (forside).
• Gentag for alle andre vektorer: Tegn den næste vektors hale i hovedet af den foregående.
• Tegn en linje fra halen af den første vektor til hovedet af den sidste vektor - det er resultanten (summen) af alle vektorerne.

Det kaldes "Head to Tail"-metoden, fordi hvert hoved fra den foregående vektor fører til halen af den næste vektor.

Brug af komponentform

^{[skal forklares ]}

Ved at bruge komponentformen til at lægge to vektorer sammen betyder det bogstaveligt talt, at man lægger vektorernes komponenter sammen for at skabe en ny vektor. Lad f.eks. a og b være to todimensionale vektorer. Disse vektorer kan skrives i form af deres komponenter.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Antag, at c er summen af disse to vektorer, så c = a + b. Det betyder, at c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Her er et eksempel på addition af to vektorer ved hjælp af deres komponentformer:

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b = ( a x + b x , a y + b y ) = ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) = ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}}

Denne metode virker for alle vektorer, ikke kun todimensionale vektorer.

 
Head-to-tail tilføjelse  

Sådan multipliceres vektorer

Brug af punktproduktet

Punktproduktet er en metode til at multiplicere vektorer. Det giver en skalar. Det bruger komponentform:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(2,3)\\\\mathbf {b} &=(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(2,3)\cdot (1,4)\\&=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\\&=2+12\&=14\end{aligned}}}}

Brug af krydsproduktet

Krydsproduktet er en anden metode til at multiplicere vektorer. I modsætning til punktproduktet giver det en vektor. Ved hjælp af komponentform:

a × b = | a | | | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Her er | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} betyder længden af en {\displaystyle \mathbf {a} } , og n {\displaystyle \mathbf {n} } er enhedsvektoren vinkelret på både en {\displaystyle \mathbf {a} } og b {\displaystyle \mathbf {b}} } .

Multiplikation med en skalar

Hvis du vil gange en vektor med en skalar (et normalt tal), skal du gange tallet med hver enkelt komponent i vektoren:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Et eksempel herpå er

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c&=5\\\\mathbf {x} &=(3,4)\\c\c\,\mathbf {x} &=(5\cdot 3,5\cdot 4)\\\\&=(15,20)\end{aligned}}}

 

Relaterede sider

• Analytisk geometri
• Nul vektor
• Enhedsvektor
• Vektorfelt
• Vektorgrafik
• Vektorrum
• Vektorunderrum