Division med nul

I matematik kan et tal ikke divideres med nul. Bemærk:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Hvis B = 0, så er C = 0. Dette er sandt. Men:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(hvor B=0, så vi dividerer bare med nul)

Hvilket er det samme som:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Problemet er, at A {\displaystyle A} $A$ kan være et hvilket som helst tal. Det ville fungere, hvis A {\displaystyle A} $A$ var 1 eller hvis det var 1.000.000.000.000. 0/0 siges at være af "ubestemt form" af denne grund, fordi det ikke har en enkelt værdi. Tal af formen A/0, hvor A {\displaystyle A} $A$ ikke er 0, siges derimod at være "ubestemte" eller "ubestemte". Det skyldes, at ethvert forsøg på at definere dem vil resultere i en værdi på uendelig, som i sig selv er udefineret. Normalt når to tal er lig med det samme, er de lig med hinanden. Det er ikke tilfældet, når det, de begge er lig med, er 0/0. Det betyder, at matematikkens normale regler ikke virker, når tallet er divideret med nul.

Ukorrekte beviser baseret på division med nul

Det er muligt at skjule et specialtilfælde af division med nul i et algebraisk argument. Dette kan føre til ugyldige beviser, som f.eks. 1=2, som i det følgende:

Med følgende forudsætninger:

0 × 1 = 0 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Følgende skal være sandt:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Divideret med nul giver:

0 0 0 × 1 = 0 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}{0}}}\times 1={\frac {0}{0}{0}}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Forenkling:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Fejlen er antagelsen om, at dividere med 0 er en legitim operation med 0/0 = 1.

De fleste mennesker ville nok erkende, at ovenstående "bevis" er forkert, men det samme argument kan præsenteres på en måde, der gør det sværere at opdage fejlen. Hvis f.eks. 1 skrives som x, kan 0 skjules bag x-x og 2 bag x+x. Ovennævnte bevis kan så vises på følgende måde:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

derfor:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Divideret med x - x giver:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

og divideret med x giver:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

"Beviset" ovenfor er forkert, fordi det dividerer med nul, når det dividerer med x-x, fordi ethvert tal minus sig selv er nul.

Calculus

I regnearterne kan de ovennævnte "ubestemte former" også opstå som følge af direkte substitution ved evaluering af grænser.

Division med nul i computere

Hvis et computerprogram forsøger at dividere et heltal med nul, vil operativsystemet normalt opdage dette og stoppe programmet. Normalt vil det udskrive en "fejlmeddelelse" eller give programmøren råd om, hvordan han kan forbedre programmet^[]. Division med nul er en almindelig fejl i computerprogrammering. Dividerer man et flydende tal (decimaltal) med nul, vil det normalt resultere i enten uendelighed eller en særlig NaN-værdi (ikke et tal), afhængigt af hvad der divideres med nul.

Division med nul i geometri

I geometri 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {\frac {1}{0}}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Denne uendelighed (projektiv uendelighed) er hverken et positivt eller negativt tal, på samme måde som nul hverken er et positivt eller negativt tal.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er resultatet af at dividere et tal med nul?

Svar: Hvis man dividerer et tal med nul, resulterer det i en "udefineret" eller "ubestemt form", hvilket betyder, at det ikke har nogen enkelt værdi.

Sp: Hvad betyder 0/0?

Svar: 0/0 siges at være af "ubestemt form", fordi det ikke har nogen enkelt værdi.

Spørgsmål: Hvad sker der, når to tal er lig med den samme ting, men denne ting er 0/0?

Svar: De normale matematiske regler fungerer ikke, når tallet divideres med nul, så de to tal ville ikke være lig med hinanden.

Spørgsmål: Er det sandt, at ethvert forsøg på at definere et tal af formen A/0 vil resultere i en værdi på uendelig?

Svar: Ja, ethvert forsøg på at definere et tal af formen A/0 (hvor A ikke er 0) vil resultere i en uendelig værdi, som i sig selv er udefineret.

Spørgsmål: Hvordan kan man afgøre, om to tal er lig med hinanden?

Svar: Vi kan afgøre, om to tal er lig hinanden ved at se, om de begge er lig med det samme. Dette virker normalt, men det gælder dog ikke, når begge tal er lig med 0/0.

Spørgsmål: Er der en undtagelse for, hvornår vi ikke kan dividere et tal med nul? Svar: Ja, i matematik er det ikke muligt at dividere et tal med nul.