AlegsaOnline.com

Division med nul — hvorfor 0/0 og A/0 er udefineret i matematik

Forstå hvorfor division med nul er udefineret: 0/0 er ubestemt, A/0 fører til uendelig. Klar, enkel forklaring af begreberne, fejl og matematiske konsekvenser.

Forfatter: Leandro Alegsa Oprettelsesdato: 17. maj 2021 Seneste opdatering: 15. januar 2026

en.wikipedia.org · CC BY-SA 4.0

I matematik kan et tal ikke divideres med nul. Forståelsen bygger på, at division er den inverse operation til multiplikation: at sige A = C / B er det samme som at sige A * B = C. Se nedenfor:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Hvis B = 0, så følger det, at C = 0 for enhver værdi af A. Det er vigtigt: A*0 = 0 for alle A.

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

Hvis man forsøger at bruge denne definition når B = 0 (altså at dividere med nul), opstår to forskellige situationer afhængigt af C:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Hvis C = 0 (dvs. 0/0), så kan A være et hvilket som helst tal, fordi alle tal opfylder A*0 = 0. Derfor siger man, at 0/0 er en ubestemt form; udtrykket har ikke en entydig værdi. I grænseværdisammenhænge (limes) kan udtryk, der formelt ligner 0/0, have forskellige endelige eller uendelige grænseværdier afhængigt af hvordan man nærmer sig punktet. Eksempelvis:

lim x→0 x/x = 1
lim x→0 x^2/x = 0
lim x→0 (x)/(2x) = 1/2

Derfor er 0/0 «ubestemt» — det alene giver ikke nok information til at bestemme en enkelt værdi.

For tilfælde hvor C ≠ 0, altså tal af formen A/0 $A$ med A ≠ 0, findes der derimod ingen tal x som opfylder x·0 = A. Med andre ord findes der ingen løsning i de reelle tal, og udtrykket er ikke defineret.

I nogle udvidede talsystemer taler man om, at A/0 «går mod» ±uendelig afhængigt af fortegnet på A og af hvilken side man nærmer sig i en grænseværdissammenhæng. Dette betyder ikke, at der findes et almindeligt tal som resultat — det er en måde at beskrive opførsel i grænsetilfælde. Arbejde med uendeligheder kræver derfor særlige regler; almindelig aritmetik gælder ikke for uendeligheder.

Kort opsummering:

Division med nul er i almindelig talregning ikke defineret.
0/0 er en ubestemt form: det kan svare til mange forskellige værdier afhængigt af konteksten (fx limes).
A/0 med A ≠ 0 er ikke defineret i de reelle tal; i limesammenhæng kan udtrykket dog gå mod ±uendelig.

Praktisk advarsel: Mange algebraiske fejlslutninger kommer af at dividere med en størrelse, der kan være nul. Når man løser ligninger, skal man derfor kontrollere om man ved en division har udelukket mulige løsninger. Eksempel: løs x^2 = x. Hvis man deler med x får man x = 1, men man mister løsningen x = 0. Den korrekte fremgang er at omskrive til x^2 − x = 0 og faktorisere: x(x − 1) = 0, hvilket giver x = 0 eller x = 1.

Ukorrekte beviser baseret på division med nul

Det er muligt at skjule et specialtilfælde af division med nul i et algebraisk argument. Dette kan føre til ugyldige beviser, som f.eks. 1=2, som i det følgende:

Med følgende forudsætninger:

0 × 1 = 0 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Følgende skal være sandt:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Divideret med nul giver:

0 0 0 × 1 = 0 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}{0}}}\times 1={\frac {0}{0}{0}}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Forenkling:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Fejlen er antagelsen om, at dividere med 0 er en legitim operation med 0/0 = 1.

De fleste mennesker ville nok erkende, at ovenstående "bevis" er forkert, men det samme argument kan præsenteres på en måde, der gør det sværere at opdage fejlen. Hvis f.eks. 1 skrives som x, kan 0 skjules bag x-x og 2 bag x+x. Ovennævnte bevis kan så vises på følgende måde:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

derfor:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Divideret med x - x giver:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

og divideret med x giver:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

"Beviset" ovenfor er forkert, fordi det dividerer med nul, når det dividerer med x-x, fordi ethvert tal minus sig selv er nul.

Calculus

I regnearterne kan de ovennævnte "ubestemte former" også opstå som følge af direkte substitution ved evaluering af grænser.

Division med nul i computere

Hvis et computerprogram forsøger at dividere et heltal med nul, vil operativsystemet normalt opdage dette og stoppe programmet. Normalt vil det udskrive en "fejlmeddelelse" eller give programmøren råd om, hvordan han kan forbedre programmet^[]. Division med nul er en almindelig fejl i computerprogrammering. Dividerer man et flydende tal (decimaltal) med nul, vil det normalt resultere i enten uendelighed eller en særlig NaN-værdi (ikke et tal), afhængigt af hvad der divideres med nul.

Division med nul i geometri

I geometri 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {\frac {1}{0}}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Denne uendelighed (projektiv uendelighed) er hverken et positivt eller negativt tal, på samme måde som nul hverken er et positivt eller negativt tal.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er resultatet af at dividere et tal med nul?

Svar: Hvis man dividerer et tal med nul, resulterer det i en "udefineret" eller "ubestemt form", hvilket betyder, at det ikke har nogen enkelt værdi.

Sp: Hvad betyder 0/0?

Svar: 0/0 siges at være af "ubestemt form", fordi det ikke har nogen enkelt værdi.

Spørgsmål: Hvad sker der, når to tal er lig med den samme ting, men denne ting er 0/0?

Svar: De normale matematiske regler fungerer ikke, når tallet divideres med nul, så de to tal ville ikke være lig med hinanden.

Spørgsmål: Er det sandt, at ethvert forsøg på at definere et tal af formen A/0 vil resultere i en værdi på uendelig?

Svar: Ja, ethvert forsøg på at definere et tal af formen A/0 (hvor A ikke er 0) vil resultere i en uendelig værdi, som i sig selv er udefineret.

Spørgsmål: Hvordan kan man afgøre, om to tal er lig med hinanden?

Svar: Vi kan afgøre, om to tal er lig hinanden ved at se, om de begge er lig med det samme. Dette virker normalt, men det gælder dog ikke, når begge tal er lig med 0/0.

Spørgsmål: Er der en undtagelse for, hvornår vi ikke kan dividere et tal med nul? Svar: Ja, i matematik er det ikke muligt at dividere et tal med nul.

Forfatter

AlegsaOnline.com - Division med nul - Leandro Alegsa

Oprettelsesdato: 17. maj 2021
Seneste opdatering: 15. januar 2026

URL: https://da.alegsaonline.com/art/27817