Den pythagoræiske læresætning | udsagn om siderne i en retvinklet trekant

Teoriens påstand

Den pythagoræiske sætning siger, at arealet af et kvadrat på hypotenusen er lig med summen af arealerne af kvadraterne på benene. I dette billede er arealet af det blå kvadrat lagt sammen med arealet af det røde kvadrat og udgør arealet af det lilla kvadrat. Det blev opkaldt efter den græske matematiker Pythagoras:

Hvis længden af benene er a og b, og længden af hypotenusen er c, så er a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}} .

Typer af beviser

Der findes mange forskellige beviser for denne sætning. De falder i fire kategorier:

1. De, der er baseret på lineære relationer: de algebraiske beviser.
2. De geometriske beviser er baseret på sammenligning af arealer.
3. De, der er baseret på vektoroperation.
4. Dem, der er baseret på masse og hastighed: de dynamiske beviser.

Bevis

Et af beviserne for Pythagoras' sætning blev fundet af den græske matematiker Eudoxus af Cnidus.

Beviset er baseret på tre lemmaer:

1. Trekanter med samme grundflade og højde har samme areal.
2. En trekant, der har samme grundflade og højde som en side af et kvadrat, har samme areal som halvdelen af kvadratet.
3. Trekanter med to kongruente sider og en kongruent vinkel er kongruente og har samme areal.

Beviset er:

1. Den blå trekant har samme areal som den grønne trekant, fordi den har samme grundflade og højde (lemma 1).
2. Grønne og røde trekanter har begge to sider, der er lig med siderne i de samme kvadrater, og en vinkel, der er lig med en lige vinkel (en vinkel på 90 grader) plus en trekantvinkel, så de er kongruente og har samme areal (lemma 3).
3. De røde og gule trekants arealer er lige store, fordi de har samme højde og basis (lemma 1).
4. Den blå trekants areal er lig med arealet af den gule trekants areal, fordi

A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {\blue}A_{blue}}}={\color {green}A_{green}}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}}

1. De brune trekanter har samme areal af samme grund.
2. Blå og brun har hver et halvt så stort areal som et mindre kvadrat. Summen af deres arealer er lig med halvdelen af arealet af det større kvadrat. Derfor er halvdelen af arealerne af små kvadrater det samme som halvdelen af arealet af det større kvadrat, så deres areal er det samme som arealet af det større kvadrat.

Bevis ved hjælp af lignende trekanter

Vi kan få et andet bevis for Pythagoras sætning ved at bruge lignende trekanter.

d a = a c ⇒ a 2 = d c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{a}}}={\frac {a}{c}}}\quad \Rightarrow \quad {a^{2}}}={dc}\quad (1)}

e b = b c ⇒ b 2 = e c ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\frac {e}{b}}}={\frac {b}{c}}}\quad \Rightarrow \quad {b^{2}}}={ec}\quad (2)}

Ud fra billedet tilføjes ligningerne (1) og (2):

Og vi får:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}
 

Pythagoræiske tripler

Pythagoræiske tripler eller tripletter er tre hele tal, som passer til ligningen a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Trekanten med siderne 3, 4 og 5 er et velkendt eksempel. Hvis a=3 og b=4, så er 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}} fordi 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Dette kan også vises som 3 2 + 4 2 = 5. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5.}

Tre-fire-fem-trekanten fungerer for alle multipla af 3, 4 og 5. Med andre ord er tal som 6, 8, 10 eller 30, 40 og 50 også pythagoræiske tripler. Et andet eksempel på en triangel er 12-5-13 trekanten, fordi 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{{2}+5^{2}}}}=13} .

En pythagoræisk tripel, som ikke er et multiplum af andre tripper, kaldes en primitiv pythagoræisk tripel. Enhver primitiv pythagoræisk tripel kan findes ved hjælp af udtrykket ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} , men følgende betingelser skal være opfyldt. De begrænser værdierne for m {\displaystyle m} og n {\displaystyle n} .

1. m {\displaystyle m} og n {\displaystyle n} er positive hele tal
2. m {\displaystyle m} og n {\displaystyle n} har ingen fælles faktorer undtagen 1
3. m {\displaystyle m} og n {\displaystyle n} har modsat paritet. m {\displaystyle m} og n {\displaystyle n} har modsat paritet, når m {\displaystyle m} er lige og n {\displaystyle n} er ulige, eller m {\displaystyle m} er ulige og n {\displaystyle n} er lige.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Hvis alle fire betingelser er opfyldt, danner værdierne af m {\displaystyle m} og n {\displaystyle n} en primitiv pythagoræisk tripel.

m = 2 {\displaystyle m=2} og n = 1 {\displaystyle n=1} skaber en primitiv pythagoræisk tripel. Værdierne opfylder alle fire betingelser. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 2 = 2 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} og m 2 + n 2 2 = 2 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} , så triplen ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} er dannet.