Distributiv egenskab

Fordeling er et begreb fra algebra: Det fortæller, hvordan binære operationer skal håndteres. Det mest enkle tilfælde er addition og multiplikation af tal. F.eks. i aritmetik:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), men 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

I venstre side af den første ligning multiplicerer 2 summen af 1 og 3; i højre side multiplicerer den 1 og 3 hver for sig, og produkterne lægges sammen bagefter. Da disse giver det samme endelige svar (8), siger man, at multiplikation med 2 fordeler sig over addition af 1 og 3. Da man kunne have sat et hvilket som helst reelt tal i stedet for 2, 1 og 3 ovenfor og stadig have fået en sand ligning, siger vi, at multiplikation af reelle tal fordeler sig over addition af reelle tal.

Definition

Givet en mængde $S$ og to binære operatorer ∗ og + på $S$ , siger vi, at operationen:

∗ er venstre-distributiv over +, hvis der er givet ethvert element $x, y$ og $z$ i $S,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ er højre-distributiv over +, hvis der er givet ethvert element $x, y$ og $z$ i $S,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ og

∗ er distributiv over +, hvis den er venstre- og højre-distributiv. Bemærk, at når ∗ er kommutativ, er de tre ovenstående betingelser logisk ækvivalente.

Anvendelser

Den distributive egenskab kan også anvendes på:

Reelle tal
Komplekse tal
Matricer (særlige regler gælder)
Vektorer (særlige regler gælder)
Indstiller
Logik med udsagnsledelse

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er distribution i algebra?

Svar: Fordeling er et begreb i algebra, der beskriver, hvordan binære operationer som addition og multiplikation håndteres.

Spørgsmål: Kan du give et eksempel på fordeling i aritmetik?

A: Ja, et eksempel på fordeling i aritmetik er 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), hvor 2 i venstre side multiplicerer summen af 1 og 3, mens 2 i højre side multiplicerer 1 og 3 hver for sig, og produkterne lægges sammen bagefter.

Spørgsmål: Hvorfor er fordelingsbegrebet vigtigt i algebra?

Svar: Fordelingsbegrebet er vigtigt i algebra, fordi det er med til at forenkle ligninger og gøre dem lettere at løse.

Spørgsmål: Fordeler multiplikation sig over addition af alle reelle tal?

Svar: Ja, multiplikation af reelle tal fordeler sig over addition af reelle tal, hvilket betyder, at man kan sætte alle reelle tal i stedet for værdierne i den ligning, der er brugt som eksempel på fordeling i aritmetik, og stadig få en sand ligning.

Spørgsmål: Er addition distributiv i forhold til multiplikation i alle tilfælde?

Svar: Nej, addition er ikke distributiv over multiplikation i alle tilfælde; dette gælder kun for visse talmængder, f.eks. reelle tal.

Spørgsmål: Kan du give et eksempel, hvor distributionen ikke er sand?

Svar: Ja, et modeksempel, hvor fordelingen ikke er sandt, er 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). I dette tilfælde er ligningen på venstre side ikke lig med ligningen på højre side, fordi division ikke fordeler sig over addition.

Spørgsmål: Hvordan gælder fordelingen for binære operationer?

Svar: Fordeling i algebra gælder specifikt for binære operationer såsom addition og multiplikation, hvor den beskriver, hvordan operationerne skal udføres, når der er mere end én operand involveret.