Trigonometriske funktioner – definition og guide til sinus, cosinus og tangent

De trigonometriske funktioner kaldes undertiden også cirkelfunktioner. De er funktioner af en vinkel; de er vigtige, når man studerer trekanter, blandt mange andre anvendelser. Trigonometriske funktioner defineres almindeligvis som forhold mellem to sider af en retvinklet trekant, der indeholder vinklen, og kan tilsvarende defineres som længderne af forskellige linjestykker fra en enhedscirkel (en cirkel med radius 1).

Definitioner af retvinklede trekanter

For at definere de trigonometriske funktioner for vinklen A skal du starte med en retvinklet trekant, som indeholder vinklen A:

Vi bruger følgende navne for siderne i trekanten:

• Hypotenusen er den side, der er modsat den rette vinkel, eller defineret som den længste side i en retvinklet trekant, i dette tilfælde h.
• Den modsatte side er den side, der er modsat den vinkel, som vi er interesseret i, i dette tilfælde a.
• Den tilstødende side er den side, der er i kontakt med den vinkel, vi er interesseret i, og den rette vinkel, deraf navnet. I dette tilfælde er den tilstødende side b.

Alle trekanter antages at eksistere i euklidisk geometri, således at de indvendige vinkler i hver trekant summerer til π radianer (eller 180°); for en retvinklet trekant er de to ikke-højre vinkler derfor mellem nul og π/2 radianer. Læseren skal være opmærksom på, at de følgende definitioner strengt taget kun definerer de trigonometriske funktioner for vinkler i dette område. Vi udvider dem til hele sættet af reelle argumenter ved at bruge enhedscirklen eller ved at kræve visse symmetrier og at de skal være periodiske funktioner.

1) Sinus af en vinkel er forholdet mellem længden af den modsatte side og længden af hypotenusen. I vores tilfælde

sin A = modsatte hypotenuse = a h . {\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {\textrm {modsat}}}{\textrm {hypotenuse}}}}={\frac {a}{h}}}. }

Bemærk, at dette forhold ikke afhænger af den valgte retvinklede trekant, så længe den indeholder vinklen A, da alle disse trekanter er ens.

Mængden af nulpunkter for sinus (dvs. de værdier af x {\displaystyle x} for hvilke sin x = 0 {\displaystyle \sin x=0} ) er

{ n π | n ∈ Z } . {\displaystyle \left\{n\pi {\big |}n\in \mathbb {Z} \right\}. }

2) En vinkels cosinus er forholdet mellem længden af den tilstødende side og hypotenusenes længde. I vores tilfælde

cos A = tilstødende hypotenuse = b h . {\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {\textrm {adjacent}}}{\textrm {hypotenuse}}}}={\frac {b}{h}}}. }

Mængden af nuller af cosinus er

{ π 2 + n π | n ∈ Z } . {\displaystyle \left\{{{\frac {\pi }{2}}}+n\pi {\bigg |}n\in \mathbb {Z} \right\}. }

3) Tangenten til en vinkel er forholdet mellem længden af den modsatte side og længden af den tilstødende side. I vores tilfælde

tan A = modsat tilstødende = a b . {\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {\textrm {modsat}}}{\textrm {nærliggende}}}}={\frac {a}{b}}}. }

Mængden af tangentens nulpunkt er

{ n π | n ∈ Z } . {\displaystyle \left\{n\pi {\big |}n\in \mathbb {Z} \right\}. }

Det samme sæt af sinusfunktionen siden

tan A = sin A cos A . {\displaystyle \tan A={\frac {\sin A}{\cos A}}. }

De resterende tre funktioner kan bedst defineres ved hjælp af de tre ovennævnte funktioner.

4) Kosecanten csc(A) er den multiplikative omvendte af sin(A), dvs. forholdet mellem hypotenusens længde og den modsatte sides længde:

csc A = hypotenuse modsat = h a {\displaystyle \csc A={\frac {\textrm {hypotenuse}}}{\textrm {opposite}}}}={\frac {h}{a}}}} .

5) Sekanten sec(A) er den multiplikative inverse af cos(A), dvs. forholdet mellem hypotenusens længde og den tilstødende sides længde:

sec A = hypotenuse tilstødende = h b {\displaystyle \sec A={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}}={\frac {h}{b}}}} .

6) Kotangenten cot(A) er den multiplikative omvendte af tan(A), dvs. forholdet mellem længden af den tilstødende side og længden af den modsatte side:

cot A = tilstødende modsat = b a {\displaystyle \cot A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}}={\frac {b}{a}}}} .

Definitioner ved hjælp af potenserier

Man kan også definere de trigonometriske funktioner ved hjælp af potensrækker:

sin x = x - x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 n ( - 1 ) x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}+{\frac {x^{5}}}{5!}}-{\frac {x^{7}}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}}{(2n+1)!}}}

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}}{2!}}+{\frac {x^{4}}}{4!}}-{\frac {x^{6}}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}}{(2n)!}}}

og definere tangent, kotangent, sekant og kosecant ved hjælp af identiteter, se nedenfor.

Nogle vigtige identiteter:

tan x = sin x cos x {\displaystyle \tan x={\frac {\\sin x}{\cos x}}}

cot x = cos x sin x {\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}}

sec x = 1 cos x {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}

csc x = 1 sin x {\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}

sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}

sin 2 x = 2 sin x cos x {\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x\cos x}

cos 2 x = cos x cos x cos x - sin x sin x = cos 2 x - sin 2 x = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x {\displaystyle \cos 2x=\cos x\cos x\cos x\cos x-\sin x\sin x\sin x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x}

tan 2 x = 2 tan x 1 - tan 2 x {\displaystyle \tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}}}

sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y {\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}

cos ( x ± y ) = cos x cos y ∓ sin x sin y {\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}

tan ( x ± y ) = tan x ± tan y 1 ∓ tan x tan y {\displaystyle \tan \left(x\pm y\right)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan x\tan y}}}  

De hyperbolske funktioner ligner de trigonometriske funktioner, idet de har meget ens egenskaber. De er defineret ud fra den eksponentielle funktion, som er baseret på konstanten e.

• Hyperbolisk sinus:

sinh x = e x - e - x 2 = e 2 x - 1 2 e x = 1 - e - 2 x 2 e - x . {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}}{2}}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}={\frac {1-e^{-2x}}}{2e^{-x}}}. }

• Hyperbolisk cosinus:

cosh x = e x + e - x 2 = e 2 x + 1 2 e x = 1 + e - 2 x 2 e - x . {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}}{2}}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}}{2e^{-x}}}. }

• Hyperbolisk tangent:

tanh x = sinh x cosh x = e x - e - x e x + e - x = e 2 x - 1 e 2 x + 1 = 1 - e - 2 x 1 + e - 2 x . {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}}{e^{x}+e^{-x}}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}={\frac {1-e^{-2x}}}{1+e^{-2x}}}. }

• Hyperbolisk cotangent:

coth x = cosh x sinh x = e x + e - x e x - e - x = e 2 x + 1 e 2 x - 1 = 1 + e - 2 x 1 - e - 2 x , x ≠ 0. {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}}{e^{x}-e^{-x}}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}={\frac {1+e^{-2x}}}{1-e^{-2x}}}},\qkvad x\neq 0.}

• Hyperbolisk sekant:

sech x = 1 cosh x = 2 e x + e - x = 2 e x e 2 x e 2 x + 1 = 2 e - x 1 + e - 2 x . {\displaystyle \operatornavn {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}={\frac {2e^{{x}}}{e^{2x}}+1}}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}}. }

• Hyperbolisk kosecant:

csch x = 1 sinh x = 2 e x - e - x = 2 e x e 2 x e 2 x - 1 = 2 e - x 1 - e - 2 x , x ≠ 0. {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}={\frac {2e^{{x}}}{e^{2x}}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}},\qquad x\neq 0.}  

• Pythagoras' sætning
• Trigonometri