Differential- og integralregning: Grundlæggende begreber og anvendelser

I 1670'erne og 1680'erne udviklede Sir Isaac Newton i England og Gottfried Leibniz i Tyskland samtidig regnearket, men arbejdede uafhængigt af hinanden. Newton ønskede at få en ny måde at forudsige, hvor man kunne se planeterne på himlen, fordi astronomi altid havde været en populær og nyttig form for videnskab, og det var vigtigt at vide mere om objekters bevægelser på nattehimlen for at kunne navigere skibe. Leibniz ønskede at måle rummet (arealet) under en kurve (en linje, der ikke er lige). Mange år senere skændtes de to mænd om, hvem der opdagede det først. Videnskabsfolk fra England støttede Newton, men videnskabsfolk fra resten af Europa støttede Leibniz. De fleste matematikere er i dag enige om, at begge mænd deler æren ligeligt. Nogle dele af den moderne regning stammer fra Newton, f.eks. dens anvendelse i fysik. Andre dele stammer fra Leibniz, f.eks. de symboler, der bruges til at skrive den.

De var ikke de første til at bruge matematik til at beskrive den fysiske verden - Aristoteles og Pythagoras kom tidligere, og det samme gjorde Galileo Galilei, som sagde, at matematik var videnskabens sprog. Men både Newton og Leibniz var de første til at udforme et system, der beskriver, hvordan tingene ændrer sig over tid, og som kan forudsige, hvordan de vil ændre sig i fremtiden.

Navnet "calculus" er det latinske ord for en lille sten, som de gamle romere brugte til at tælle og spille på. Det engelske ord "calculate" stammer fra det samme latinske ord.

Differentialregning bruges til at finde ændringshastigheden for en variabel i forhold til en anden variabel.

I den virkelige verden kan den bruges til at finde hastigheden af en genstand i bevægelse eller til at forstå, hvordan elektricitet og magnetisme fungerer. Det er meget vigtigt for at forstå fysik og mange andre videnskabelige områder.

Differentialregning er også nyttig til grafisk beregning. Den kan bruges til at finde hældningen af en kurve og det højeste og laveste punkt (disse kaldes maksimum og minimum) på en kurve.

Variabler kan ændre deres værdi. Dette er anderledes end tal, fordi tal altid er ens. F.eks. er tallet 1 altid lig med 1, og tallet 200 er altid lig med 200. Man skriver ofte variabler som bogstaver, f.eks. bogstavet x. "X" kan være lig med 1 på et tidspunkt og 200 på et andet tidspunkt.

Nogle eksempler på variabler er afstand og tid, fordi de kan ændre sig. Et objekts hastighed er den afstand, det tilbagelægger på en bestemt tid. Så hvis en by ligger 80 km væk, og en person i en bil når frem på en time, har vedkommende kørt med en gennemsnitshastighed på 80 km i timen. Men det er kun et gennemsnit - måske har de kørt hurtigere på nogle tidspunkter (på en motorvej) og langsommere på andre tidspunkter (ved et trafiklys eller på en lille gade, hvor der bor mennesker). Forestil dig en bilist, der forsøger at regne bilens hastighed ud ved hjælp af kilometertælleren (afstandsmåleren) og uret, uden et speedometer!

Indtil matematikken blev opfundet, var den eneste måde at regne dette ud på at skære tiden op i mindre og mindre stykker, så gennemsnitshastigheden over den mindre tid ville komme tættere og tættere på den faktiske hastighed på et bestemt tidspunkt. Dette var en meget lang og besværlig proces, og den skulle udføres hver gang, man ville regne noget ud.

Et meget lignende problem er at finde hældningen (hvor stejl den er) i et hvilket som helst punkt på en kurve. Hældningen af en ret linje er let at regne ud - den er simpelthen hvor meget den går opad (y eller lodret) divideret med hvor meget den går på tværs (x eller vandret). På en kurve er hældningen imidlertid variabel (den har forskellige værdier i forskellige punkter), fordi linjen bøjer sig. Men hvis kurven skulle skæres i meget, meget små stykker, ville kurven i punktet næsten ligne en meget kort ret linje. Så for at beregne dens hældning kan man tegne en ret linje gennem punktet med samme hældning som kurven i det pågældende punkt. Hvis det gøres helt rigtigt, vil den rette linje have samme hældning som kurven, og den kaldes en tangent. Men der er ingen måde at vide (uden meget kompliceret matematik), om tangenten er nøjagtig rigtig, og vores øjne er ikke præcise nok til at være sikre på, om den er nøjagtig eller blot meget tæt på.

Newton og Leibniz fandt en måde at beregne hældningen (eller hastigheden i eksemplet med afstanden) nøjagtigt ved hjælp af enkle og logiske regler. De opdelte kurven i et uendeligt antal meget små stykker. Derefter valgte de punkter på hver side af det område, de var interesserede i, og udregnede tangenter ved hver af dem. Efterhånden som punkterne kom tættere på hinanden i retning af det punkt, de var interesseret i, nærmede hældningen sig en bestemt værdi, efterhånden som tangenterne nærmede sig kurvens reelle hældning. Den bestemte værdi, som den nærmede sig, var den faktiske hældning.

Lad os sige, at vi har en funktion y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . f er en forkortelse for funktion, så denne ligning betyder, at "y er en funktion af x". Det fortæller os, at hvor højt y er på den lodrette akse, afhænger af, hvad x (den vandrette akse) er på det pågældende tidspunkt. For eksempel med ligningen y = x {\displaystyle2 y=x^{2}} ved vi, at hvis x {\displaystyle x} er 1, så vil y {\displaystyle y} være 1; hvis x {\displaystyle x} er 3, så vil y {\displaystyle y} være 9; hvis x {\displaystyle x} er 20, så vil y {\displaystyle y} være 400. Den afledte værdi, der fremkommer ved hjælp af denne metode her, er x 2{\displaystyle 2x} , eller 2 ganget med x {\displaystyle x} . Vi ved altså uden at skulle tegne nogen tangentlinjer, at i ethvert punkt på kurven f ( x ) = x {\displaystyle2 f(x)=x^{2}} , den afledte, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} (markeret med primtalsymbolet), vil være x 2{\displaystyle 2x} i ethvert punkt. Denne proces med at udregne en hældning ved hjælp af grænser kaldes differentiering, eller at finde den afledte.

Den matematiske måde at skrive den afledte på er f ′ ( x ) = lim h → f0 ( x + h ) - f ( x ) h . {\displaystyle f^{{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}. }

Leibniz nåede frem til det samme resultat, men kaldte h " d x {\displaystyle dx} ", hvilket betyder "med hensyn til x". Han kaldte den resulterende ændring i f ( x ) {\displaystyle f(x)} " d y {\displaystyle dy} ", hvilket betyder "en lille smule af y". Leibniz' notation anvendes af flere bøger, fordi den er let at forstå, når ligningerne bliver mere komplicerede. I Leibniz' notation: d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}=f'(x)}

Matematikere har udviklet denne grundlæggende teori til enkle algebraregler, som kan bruges til at finde den afledte af næsten alle funktioner.

Integralregning er en proces, hvor man beregner arealet under en graf for en funktion. Et eksempel er beregning af den afstand, som en bil tilbagelægger: Hvis man kender bilens hastighed på forskellige tidspunkter og tegner en graf over denne hastighed, vil den afstand, som bilen tilbagelægger, være arealet under grafen.

Det gør man ved at dele grafen op i mange meget små stykker og derefter tegne meget tynde rektangler under hvert stykke. Efterhånden som rektanglerne bliver tyndere og tyndere, dækker de rektanglerne området under grafen bedre og bedre. Arealet af et rektangel er let at beregne, så vi kan beregne det samlede areal af alle rektanglerne. For tyndere rektangler nærmer denne samlede arealværdi sig arealet under grafen. Den endelige værdi af arealet kaldes integralet af funktionen.

I matematikken skrives integralet af funktionen f(x) fra a til b som ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

Hovedidéen i regning kaldes regningens fundamentale sætning. Denne hovedidé siger, at de to regneprocesser, differential- og integralregning, er modsætninger. Det vil sige, at en person kan bruge differentialregning til at fortryde en integralregningsproces. Ligeledes kan en person bruge integralregning til at fortryde en differentialregningsmetode. Dette er ligesom at bruge division til at "ophæve" multiplikation eller addition til at "ophæve" subtraktion.

I en enkelt sætning lyder den grundlæggende sætning på følgende måde: "Den afledte af integralet af en funktion f er selve funktionen".

Kalkyl bruges til at beskrive ting, der ændrer sig, som f.eks. ting i naturen. Det kan bruges til at vise og lære alle disse ting:

• Hvordan bølger bevæger sig. Bølger er meget vigtige i naturen. For eksempel kan lyd og lys betragtes som bølger.
• Hvor varmen bevæger sig, som i et hus. Dette er nyttigt i arkitekturen (bygning af huse), så huset kan være så billigt at opvarme som muligt.
• Hvordan meget små ting som f.eks. atomer fungerer.
• Hvor hurtigt noget falder, også kendt som tyngdekraften.
• Hvordan maskiner fungerer, også kendt som mekanik.
• Månens bane, når den bevæger sig rundt om jorden. Også jordens bane, når den bevæger sig rundt om solen, og enhver planet eller måne, der bevæger sig rundt om noget andet i rummet.