Differentialregning | studiet af at finde ud af ændringshastigheden af en variabel

Differentialregning, en gren af regnearket, er studiet af at finde ud af ændringshastigheden af en variabel i forhold til en anden variabel ved hjælp af funktioner. Det er en måde at finde ud af, hvordan en form ændrer sig fra et punkt til det næste, uden at det er nødvendigt at dele formen op i uendeligt mange stykker. Differentialregning er det modsatte af integralregning. Den blev udviklet i 1670'erne og 1680'erne af Sir Isaac Newton og Gottfried Leibniz.

Baggrund

I modsætning til et tal som f.eks. 5 eller 200 kan en variabel ændre sin værdi. F.eks. er afstand og tid variabler. Ved et olympisk løb stiger afstanden fra startlinjen, efterhånden som personen løber. I mellemtiden måler et stopur eller et ur tiden, mens den stiger. Vi kan måle løberens gennemsnitshastighed, hvis vi dividerer den tilbagelagte distance med den tid, det tog. Men det siger ikke noget om, hvilken hastighed personen løb med præcis 1,5 sekund inde i løbet. Hvis vi havde afstanden på 1 sekund og afstanden på 2 sekunder, ville vi stadig kun have et gennemsnit, selv om det sandsynligvis ville være mere korrekt end gennemsnittet for hele løbet.

Indtil matematikken blev opfundet, var den eneste måde at regne dette ud på at skære tiden op i mindre og mindre stykker, så gennemsnitshastigheden over den mindre tid ville komme tættere og tættere på den faktiske hastighed på præcis 1,5 sekunder. Dette var en meget lang og besværlig proces, og den skulle udføres hver gang folk ville regne noget ud. Det er helt sikkert meget vanskeligere for en bilist at regne en bils hastighed ud ved kun at bruge dens kilometertæller (afstandsmåler) og ur - uden et speedometer.

Et meget lignende problem er at finde hældningen (hvor stejl den er) i et hvilket som helst punkt på en kurve. Hældningen af en ret linje er let at regne ud - den er simpelthen hvor meget den går opad (y eller lodret) divideret med hvor meget den går på tværs (x eller vandret). Hvis en linje er parallel med x-aksen, er dens hældning nul. Hvis en ret linje går gennem (x,y) = (2,10) og (4,18), går linjen 8 opad og 2 over, så dens hældning er 8 divideret med 2, hvilket er 4.

På en "kurve" er hældningen dog variabel (har forskellige værdier i forskellige punkter), fordi linjen bøjer sig. Men hvis kurven skulle skæres i meget, meget små stykker, ville kurven i punktet næsten ligne en meget kort ret linje. Så for at beregne dens hældning kan man tegne en ret linje gennem punktet med samme hældning som kurven i det pågældende punkt. Hvis det gøres helt rigtigt, vil den rette linje have samme hældning som kurven, og den kaldes en tangent. Men der er ingen måde at vide (uden beregning), om tangenten er nøjagtig rigtig, og vores øjne er ikke præcise nok til at være sikre på, om den er nøjagtig eller blot meget tæt på.

Newton og Leibniz fandt en måde at beregne hældningen (eller hastigheden i eksemplet med afstanden) nøjagtigt ved hjælp af enkle og logiske regler. De opdelte kurven i et uendeligt antal meget små stykker. Derefter valgte de punkter på hver side af det punkt, de var interesseret i, og udregnede tangenter ved hvert punkt. Efterhånden som punkterne kom tættere på hinanden i retning af det punkt, de var interesseret i, nærmede hældningen sig en bestemt værdi, efterhånden som tangenterne nærmede sig kurvens reelle hældning. De sagde, at denne særlige værdi, som den nærmede sig, var den faktiske hældning.

På en kurve har to forskellige punkter forskellige hældninger. Den røde og den blå linje er tangenter til kurven.

Sådan fungerer det

Lad os sige, at vi har en funktion y = f(x). f er en forkortelse for funktion, så denne ligning betyder "y er en funktion af x". Det fortæller os, at hvor højt y er på den lodrette akse, afhænger af, hvad x (den vandrette akse) er på det pågældende tidspunkt. Med ligningen y = x² ved vi f.eks., at hvis x er 1, vil y være 1; hvis x er 3, vil y være 9; hvis x er 20, vil y være 400.

Vælg et punkt A på kurven, og kald dets vandrette position x. Vælg derefter et andet punkt B på kurven, som ligger lidt længere på tværs end A, og kald dets vandrette position x + h. Det er ligegyldigt, hvor meget h er; det er et meget lille tal.

Så når vi går fra punkt A til punkt B, er den lodrette position gået fra f(x) til f(x + h), og den vandrette position er gået fra x til x + h. Husk nu, at hældningen er, hvor meget det går opad divideret med, hvor meget det går på tværs. Så hældningen vil være:

f ( x + h ) - f ( x ) h {\displaystyle {\frac {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Hvis du bringer B tættere og tættere på A - hvilket betyder, at h kommer tættere og tættere på 0 - så kommer vi tættere på at vide, hvad hældningen er i punktet A.

lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Lad os nu gå tilbage til y = x². Hældningen af dette kan bestemmes på følgende måde:

= lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) 2 - ( x ) 2 h {\displaystyle {\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}}}{h}}\end{aligned}}}} ${\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h}}\end{aligned}}$

Ved at anvende binomialsatsen, som bl.a. siger, at ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}} $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ , kan vi reducere udtrykket til:

= lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 2 x + h = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}}{h}}\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}}{h}}\&=\lim _{h\rightarrow 0}2x+h\\&={\frac {}{}}2x\end{aligned}}}} ${\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}2x+h\\&={\frac {}{}}2x\end{aligned}}$

Vi ved altså uden at skulle tegne nogen tangentlinjer, at i ethvert punkt på kurven f(x) = x² vil den afledte f'(x) (markeret med apostrof) være 2x i ethvert punkt. Denne proces med at regne en hældning ud ved hjælp af grænser kaldes differentiering eller at finde den afledte.

Leibniz nåede frem til det samme resultat, men kaldte h "dx", hvilket betyder "en lillebitte mængde af x". Han kaldte den resulterende ændring af f(x) for "dy", hvilket betyder "en lillebitte mængde y". Leibniz' notation anvendes af flere bøger, fordi den er let at forstå, når ligningerne bliver mere komplicerede. I Leibniz' notation:

d y d x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}=f'(x)} ${\frac {dy}{dx}}=f'(x)$

Et billede, der viser, hvad x og x + h betyder på kurven.

Regler

Ved hjælp af ovenstående system har matematikere udarbejdet regler, som altid fungerer, uanset hvilken funktion man ser på. (Bemærk: her er u {\displaystyle u} $u$ og v {\displaystyle v} $v$ begge funktioner af x {\displaystyle x} )

Betingelse	Funktion	Derivat	Eksempel	Derivat
Et tal i sig selv	y = a {\displaystyle y=a} $y=a$	d y d d x = 0 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=0}} ${\frac {dy}{dx}}=0$	y = 3 {\displaystyle y=3} $y=3$	0 {\displaystyle 0} $0$
En lige linje	y = m x + c {\displaystyle y=mx+c} $y=mx+c$	d y d x = m {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=m} ${\frac {dy}{dx}}=m$	y = 3 x + 5 {\displaystyle y=3x+5} $y=3x+5$	3 {\displaystyle 3} $3$
x til potens af et tal	x a {\displaystyle x^{a}} $x^{a}$	d y d x = a x a a - 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}=ax^{a-1}}} ${\frac {dy}{dx}}=ax^{a-1}$	x 12 {\displaystyle x^{12}} $x^{12}$	12 x 11 {\displaystyle 12x^{11}} $12x^{11}$
Et tal multipliceret med en funktion	y = c ⋅ u {\displaystyle y=c\cdot u} $y=c\cdot u$	d y d d x = c d u d d x {\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dx}}}=c{\frac {du}{dx}}}} ${\frac {dy}{dx}}=c{\frac {du}{dx}}$	y = 3 ( x 2 + x ) {\displaystyle y=3(x^{{2}+x)} $y=3(x^{2}+x)$	3 ( 2 x + 1 ) {\displaystyle 3(2x+1)} $3(2x+1)$
En funktion plus en anden funktion	y = u + v {\displaystyle y=u+v} $y=u+v$	d y d x = d u d x + d v d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}={\frac {du}{dx}}}+{\frac {dv}{dx}}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}$	y = 3 x 2 + x {\displaystyle y=3x^{2}+{\sqrt {x}}} $y=3x^{2}+{\sqrt {x}}$	6 x + 1 2 x {\displaystyle 6x+{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} $6x+{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
En funktion minus en anden funktion	y = u - v {\displaystyle y=u-v} $y=u-v$	d y d x = d u d x - d v d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}={\frac {du}{dx}}}}-{\frac {dv}{dx}}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}$	y = 3 x 2 - x {\displaystyle y=3x^{2}-{\sqrt {x}}} $y=3x^{2}-{\sqrt {x}}$	6 x - 1 2 x {\displaystyle 6x-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} $6x-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
Produktregel En funktion ganget med en anden funktion	y = u ⋅ v {\displaystyle y=u\cdot v} $y=u\cdot v$	d y d x = d u d x v + u d v d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}={\frac {du}{dx}}}v+u{\frac {dv}{dx}}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}v+u{\frac {dv}{dx}}$	y = ( x 2 + x + 2 ) ( 3 x - 1 ) {\displaystyle y=(x^{2}+x+2)(3x-1)} $y=(x^{2}+x+2)(3x-1)$	( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) + 3 ( x 2 + x + x + 2 ) {\displaystyle (3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)} $(3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)$
Kvotientregel En funktion divideret med en anden funktion	y = u v {\displaystyle y={\frac {u}{v}}}} $y={\frac {u}{v}}$	d y d x = d u d x v - u d v d x v 2 {\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dx}}}={\frac {{\frac {{\frac {du}{dx}}}v-u{\frac {dv}{dv}{dx}}}{v^{2}}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {du}{dx}}v-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$	y = x 2 + 2 x - 1 {\displaystyle y={{\frac {x^{2}+2}{x-1}}}} $y={\frac {x^{2}+2}{x-1}}$	2 x ( x - 1 ) - ( x 2 + 2 ) ( x - 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {\frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}} ${\frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}$
Kædningsregel Anvendes til sammensatte funktioner	y = u ∘ v {\displaystyle y=u\circ v} $y=u\circ v$	d y d x = d y d u ⋅ d u d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}={\frac {dy}{du}}}\cdot {\frac {du}{dx}}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	y = 2 x - 1 {\displaystyle y={{\sqrt {2x-1}}}} $y={\sqrt {2x-1}}$	2 2 2 2 2 x - 1 = 1 2 x - 1 {\displaystyle {\frac {2}{2{\sqrt {2x-1}}}}={\frac {1}{\sqrt {2x-1}}}} ${\frac {2}{2{\sqrt {2x-1}}}}={\frac {1}{\sqrt {2x-1}}}$
En eksponentiel funktion	y = e x {\displaystyle {\frac {}{}}}y=e^{x}} ${\frac {}{}}y=e^{x}$	d y d x = e x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}=e^{x}} ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}$	y = e x {\displaystyle {\frac {}{}}}y=e^{x}} ${\frac {}{}}y=e^{x}$	e x {\displaystyle {\frac {}{}{}}e^{x}} ${\frac {}{}}e^{x}$

Relaterede sider

Derivat (matematik)
Differentialoperator
Ordinær differentialligning
Matematisk analyse

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er differentialregning?

A: Differentialregning er en gren af regnearket, der undersøger ændringshastigheden for en variabel i forhold til en anden variabel ved hjælp af funktioner.

Q: Hvordan virker det?

A: Differentialregning giver os mulighed for at finde ud af, hvordan en form ændrer sig fra et punkt til det næste uden at skulle dele formen op i uendeligt mange stykker.

Spørgsmål: Hvem har udviklet differentialregning?

Svar: Differentialregning blev udviklet i 1670'erne og 1680'erne af Sir Isaac Newton og Gottfried Leibniz.

Spørgsmål: Hvad er integralregning?

Svar: Integralregning er det modsatte af differentialregning. Den bruges til at finde arealer under kurver og rumfang af faste legemer med krumme overflader.

Spørgsmål: Hvornår blev differentialregning udviklet?