Taylorpolynomium

Historie

Den antikke græske filosof Zeno af Elea var den første, der fik idéen til denne serie. Det paradoks, der kaldes "Zenos parodokse", er resultatet. Han mente, at det ville være umuligt at addere et uendeligt antal værdier og få en enkelt endelig værdi som resultat.

En anden græsk filosof, Aristoteles, kom med et svar på det filosofiske spørgsmål. Det var imidlertid Archimedes, der kom med en matematisk løsning ved hjælp af sin udmattelsesmetode. Han var i stand til at bevise, at når noget deles op i uendeligt mange små stykker, vil de stadig blive til et enkelt hele, når de alle lægges sammen igen. Den gamle kinesiske matematiker Liu Hui beviste det samme flere hundrede år senere.

De tidligste kendte eksempler på Taylor-serien er Mādhava af Sañgamāgrama i Indien i 1300-tallet. Senere indiske matematikere har skrevet om hans arbejde med de trigonometriske funktioner sinus, cosinus, tangens og arktangens. Ingen af Mādhavas skrifter eller optegnelser eksisterer stadig i dag. Andre matematikere baserede deres arbejde på Mādhavas opdagelser og arbejdede mere med disse serier indtil 1500-tallet.

James Gregory, en skotsk matematiker, arbejdede på dette område i 1600-tallet. Gregory studerede Taylor-serier og udgav flere Maclaurin-serier. I 1715 opdagede Brook Taylor en generel metode til at anvende serien på alle funktioner. (Al tidligere forskning viste, hvordan man kun kunne anvende metoden på bestemte funktioner). Colin Maclaurin offentliggjorde et specialtilfælde af Taylor-serien i 1700-tallet. Denne serie, som er baseret omkring nul, kaldes Maclaurin-serien.

Definition

En Taylor-serie kan bruges til at beskrive enhver funktion ƒ(x), der er en glat funktion (eller, i matematiske termer, "uendeligt differentierbar".) Funktionen ƒ kan enten være reel eller kompleks. Taylorrækken bruges derefter til at beskrive, hvordan funktionen ser ud i nærheden af et eller andet tal a.

Denne Taylor-serie, skrevet som en potensserie, ser således ud:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f'''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Denne formel kan også skrives i sigma-notation som:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}}

Her er n! faktorial af n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) er den niende afledte af ƒ i punktet a. a {\displaystyle a} er et tal i funktionens domæne. Hvis Taylorrækken af en funktion er lig med denne funktion, kaldes funktionen en "analytisk funktion".

Maclaurin-serien

Når a = 0 {\displaystyle a=0} kaldes funktionen en Maclaurin-serie. Maclaurin-serien skrevet som en potensserie ser således ud:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f'''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Når den skrives i sigma notation, er Maclaurin serien:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}}

Almindelig Taylor-serie

Nogle vigtige Taylor-serier og Maclaurin-serier er følgende.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ for alle x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}+{\frac {x^{5}}}{5!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ for alle x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n)!}}x^{2n}}=1-{\frac {x^{2}}}{2!}}+{\frac {x^{4}}}{4!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 for alle x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for alle }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n for alle x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for alle }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ for alle x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\! }

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for alle | x | << 1 { {\displaystyle {\frac {\frac {1}{1-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for alle }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n for alle | x | < 1 { {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{{text{{ for alle }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}\! }

Hvor B n {\displaystyle B_{n}}} er det niende Bernoulli-tal, og ln {\displaystyle \ln}} er den naturlige logaritme.