Taylor-serie: Definition, Maclaurin og anvendelser i matematik

Lær Taylor-serier og Maclaurin: definition, afledninger og praktiske anvendelser i matematik, fysik og datalogi — klar, trinvis forklaring med eksempler og anvendelser.

Forfatter: Leandro Alegsa

07-01-2026 00:05

En Taylor-serie er en idé, der anvendes inden for datalogi, beregning, kemi, fysik og andre former for matematik på højere niveau. Det er en serie, der bruges til at skabe et skøn (gæt) over, hvordan en funktion ser ud. Der findes også en særlig form for Taylor-serie, der kaldes en Maclaurin-serie.

Teorien bag Taylor-serien er, at hvis man vælger et punkt på koordinatplanet (x- og y-aksen), er det muligt at gætte, hvordan en funktion vil se ud i området omkring dette punkt. Dette gøres ved at tage funktionens afledte værdier og addere dem alle sammen. Ideen er, at det er muligt at addere det uendelige antal afledede og komme frem til en enkelt endelig sum.

I matematik viser en Taylor-serie en funktion som summen af en uendelig serie. Summen af termer er taget fra funktionens afledninger. Taylor-serier stammer fra Taylors sætning.

Definition og formel

En Taylor-serie for en funktion f omkring punktet a er den potensrække

f(x) = Σ_{n=0}^∞ (f^(n)(a) / n!) · (x − a)^n

Her betyder f^(n)(a) den n-te afledte af f evalueret i a, og n! er n-fakultet. Hvis a = 0, kaldes rækken en Maclaurin-serie. Formlen giver en uendelig række af polynomiske termer, som ved konvergens kan repræsentere funktionen i et område omkring a.

Remainder (restled) og konvergens

Lagrange-formen for restleddet: Efter n termer er restleddet R_n(x) givet ved R_n(x) = f^(n+1)(ξ) / (n+1)! · (x − a)^(n+1) for et eller andet ξ mellem a og x. Dette bruges til at estimere fejlen ved at afbryde serien efter et endeligt antal led.
Radius og interval for konvergens: En Taylor-række har en radius af konvergens bestemt af afstanden til den nærmeste singularitet i kompleksplanet. Indenfor denne radius konvergerer rækken absolut; udenfor konvergensområdet divergerer den normalt.
Funktionens lighed med sin Taylor-serie: Selv hvis rækken konvergerer, betyder det ikke altid, at summen er lig med f(x) over hele konvergensintervallet. For analytiske funktioner (funktioner, der er lig deres Taylor-serier i et nabolag af hvert punkt) gælder dog, at rækken repræsenterer funktionen.

Eksempler på Taylor-/Maclaurin-serier

e^x (Maclaurin): e^x = Σ_{n=0}^∞ x^n / n!, konvergerer for alle x.
sin x og cos x (Maclaurin): sin x = Σ_{k=0}^∞ (−1)^k x^(2k+1)/(2k+1)!, cos x = Σ_{k=0}^∞ (−1)^k x^(2k)/(2k)!, begge konvergerer for alle x.
ln(1+x) (Maclaurin): ln(1+x) = Σ_{n=1}^∞ (−1)^(n+1) x^n / n, konvergerer for −1 < x ≤ 1 (betinget ved x = 1).
1/(1−x) (Geometrisk række): 1/(1−x) = Σ_{n=0}^∞ x^n, for |x| < 1.

Anvendelser

Nærmeberegninger: Taylor-polynomer (afbrydede Taylor-serier) bruges til at tilnærme funktioner med polynomier, hvilket forenkler beregninger i numerisk analyse og ingeniørarbejde.
Numeriske metoder og algoritmer: Bruges til at udvikle og analysere algoritmer (f.eks. Newtons metode, løsning af differentialligninger, integratorer).
Fysik og kemi: Lokal linearisering og højere ordens tilnærmelser i modeller, fx i klassisk mekanik, kvantemekanik og termodynamik.
Symbolsk manipulation: Udvikling af funktioner i potensrækker i CAS-systemer giver indsigt i asymptotisk opførsel og singulariteter.

Begrænsninger og praktiske råd

Kontrollér altid konvergensradius før anvendelse: en Maclaurin-udvikling kan være ubrugelig langt fra 0.
Brug restleddet til at estimere fejl, når du afbryder en række efter endeligt mange led.
Nogle funktioner er ikke analytiske (f.eks. funktioner med ikke-udifferentierbare punkter eller med essentiale singulariteter), og deres Taylor-rækker repræsenterer dem ikke nødvendigvis.
I praksis vælger man ofte lave ordens Taylor-polynomer (linearisering eller kvadratiske tilnærmelser) for enkelhed og acceptabel fejl.

Korte noter om udledning

Taylors sætning udledes ved gentagen brug af integralkalkyle eller ved at gentage differentialkvotienter og benytte middelværdi-sætningen for integraler/afledte. Sætningen forklarer, hvordan en differentiabel funktion kan skrives som sum af et polynomium (Taylor-polynomiet) plus et restled, hvis størrelse kan skønnes.

Samlet set er Taylor-serier et centralt værktøj i både teoretisk og anvendt matematik til at forbinde lokale afledteinformationer med globale (eller lokale) approksimationer af funktioner.

En animation, der viser, hvordan en Taylor-serie kan bruges til at tilnærme en funktion. Den blå linje viser den eksponentielle funktion f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} $f(x)=e^{x}$ . De røde linjer viser summen af n afledninger - dvs. n+1 termer i Taylor-serien. Efterhånden som n bliver større, kommer den røde linje tættere på den blå linje.

Historie

Den antikke græske filosof Zeno af Elea var den første, der fik idéen til denne serie. Det paradoks, der kaldes "Zenos parodokse", er resultatet. Han mente, at det ville være umuligt at addere et uendeligt antal værdier og få en enkelt endelig værdi som resultat.

En anden græsk filosof, Aristoteles, kom med et svar på det filosofiske spørgsmål. Det var imidlertid Archimedes, der kom med en matematisk løsning ved hjælp af sin udmattelsesmetode. Han var i stand til at bevise, at når noget deles op i uendeligt mange små stykker, vil de stadig blive til et enkelt hele, når de alle lægges sammen igen. Den gamle kinesiske matematiker Liu Hui beviste det samme flere hundrede år senere.

De tidligste kendte eksempler på Taylor-serien er Mādhava af Sañgamāgrama i Indien i 1300-tallet. Senere indiske matematikere har skrevet om hans arbejde med de trigonometriske funktioner sinus, cosinus, tangens og arktangens. Ingen af Mādhavas skrifter eller optegnelser eksisterer stadig i dag. Andre matematikere baserede deres arbejde på Mādhavas opdagelser og arbejdede mere med disse serier indtil 1500-tallet.

James Gregory, en skotsk matematiker, arbejdede på dette område i 1600-tallet. Gregory studerede Taylor-serier og udgav flere Maclaurin-serier. I 1715 opdagede Brook Taylor en generel metode til at anvende serien på alle funktioner. (Al tidligere forskning viste, hvordan man kun kunne anvende metoden på bestemte funktioner). Colin Maclaurin offentliggjorde et specialtilfælde af Taylor-serien i 1700-tallet. Denne serie, som er baseret omkring nul, kaldes Maclaurin-serien.

Definition

En Taylor-serie kan bruges til at beskrive enhver funktion ƒ(x), der er en glat funktion (eller, i matematiske termer, "uendeligt differentierbar".) Funktionen ƒ kan enten være reel eller kompleks. Taylorrækken bruges derefter til at beskrive, hvordan funktionen ser ud i nærheden af et eller andet tal a.

Denne Taylor-serie, skrevet som en potensserie, ser således ud:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f'''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

Denne formel kan også skrives i sigma-notation som:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Her er n! faktorial af n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) er den niende afledte af ƒ i punktet a. a {\displaystyle a} er et tal i funktionens domæne. Hvis Taylorrækken af en funktion er lig med denne funktion, kaldes funktionen en "analytisk funktion".

Maclaurin-serien

Når a = 0 {\displaystyle a=0} $a=0$ kaldes funktionen en Maclaurin-serie. Maclaurin-serien skrevet som en potensserie ser således ud:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f'''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

Når den skrives i sigma notation, er Maclaurin serien:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Almindelig Taylor-serie

Nogle vigtige Taylor-serier og Maclaurin-serier er følgende.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ for alle x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}+{\frac {x^{5}}}{5!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ for alle x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n)!}}x^{2n}}=1-{\frac {x^{2}}}{2!}}+{\frac {x^{4}}}{4!}}-\cdots {\text{ for alle }}x\! } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 for alle x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for alle }}x\! } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n for alle x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for alle }}x\! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ for alle x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for alle | x | << 1 { {\displaystyle {\frac {\frac {1}{1-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for alle }}|x|<1} ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n for alle | x | < 1 { {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{{text{{ for alle }}|x|<1} $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}\! } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Hvor B n {\displaystyle B_{n}}} $B_{n}$ er det niende Bernoulli-tal, og ln {\displaystyle \ln}} er $\ln$ den naturlige logaritme.

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er en Taylor-serie?

A: En Taylor-serie er en idé, der bruges i datalogi, kalkulation, kemi, fysik og andre former for matematik på højere niveau. Det er en serie, der bruges til at skabe et estimat (gæt) af, hvordan en funktion ser ud.

Q: Hvad er forskellen mellem Taylor-serier og Maclaurin-serier?

A: Der findes også en særlig form for Taylor-serie, som kaldes en Maclaurin-serie.

Q: Hvad er teorien bag Taylor-serien?

A: Teorien bag Taylor-serien er, at hvis man vælger et punkt på koordinatplanet (x- og y-aksen), så er det muligt at gætte, hvordan en funktion vil se ud i området omkring det punkt.

Q: Hvordan skabes funktionen ved hjælp af Taylor-serier?

A: Det gøres ved at tage de afledte af funktionen og lægge dem sammen. Ideen er, at det er muligt at addere det uendelige antal afledte og komme frem til en enkelt endelig sum.

Q: Hvad viser en Taylor-serie i matematik?

A: I matematik viser en Taylor-serie en funktion som summen af en uendelig serie. Summens led er taget fra funktionens afledte.

Q: Hvor kommer Taylor-serier fra?

A: Taylor-serier kommer fra Taylors teorem.

Q: Inden for hvilke områder er Taylor-serien almindeligt anvendt?

A: Taylor-serien bruges ofte i datalogi, calculus, kemi, fysik og andre former for matematik på højere niveau.

Søge