Afledt funktion (differentialregning): Definition, betydning og eksempler

Lær hvad en afledt funktion er, dens betydning og praktiske eksempler — intuitive forklaringer, notationer og beregninger i differentialregning.

Forfatter: Leandro Alegsa

05-03-2026 16:19

I matematik (især i differentialregning) er den afledte funktion en måde at vise den øjeblikkelige ændringshastighed på: det vil sige den mængde, hvormed en funktion ændrer sig i et givet punkt. For funktioner, der virker på de reelle tal, er det hældningen af tangentlinjen i et punkt på en graf. Den afledte funktion skrives ofte som d y d x {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {dy}{dx}}}} ${\tfrac {dy}{dx}}$ ("dy over dx" eller "dy på dx", hvilket betyder forskellen i y divideret med forskellen i x). d er ikke en variabel og kan derfor ikke annulleres. En anden almindelig notation er f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} f'(x) -den afledte af funktion f {\displaystyle f} i punktet x {\displaystyle x} , normalt læst som " f {\displaystyle f} prim af x {\displaystyle x} ".

Formel definition

Den formelle definition af den afledte af en funktion f i punktet a er grænseværdien

f'(a) = lim_{h->0} (f(a+h) - f(a)) / h

Hvis denne grænse eksisterer, siger man, at f er differentiabel i a. Denne definition fanger idéen om den øjeblikkelige ændringshastighed ved at lade forskellen i x (h) gå mod nul.

Geometrisk og fysisk betydning

Geometrisk: f'(a) er hældningen af tangentlinjen til grafen y = f(x) i punktet x = a. Tangentens ligning kan skrives som y = f(a) + f'(a)(x - a).
Fysisk: Hvis f(t) beskriver en positionsfunktion over tid, er f'(t) objektets øjeblikkelige hastighed ved tiden t.

Notationsformer

Leibniz-notation: dy/dx eller d/dx f(x)
Primes: f'(x), f''(x) (anden afledte), f'''(x) (tredje afledte)
Operator-notation: Df(x) eller D_x f(x)

Grundlæggende regler for differentiering

Sumregel: (f + g)' = f' + g'
Konstant gange funktion: (c f)' = c f'
Produktregel: (f g)' = f' g + f g'
Kvotientregel: (f / g)' = (f' g - f g') / g^2, for g ≠ 0
Kædereglen: Hvis h(x) = f(g(x)), så h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Typiske afledte

Hvis f(x) = x^n, så f'(x) = n x^{n-1} (for reelle n, hvor reglen gælder)
Hvis f(x) = sin x, så f'(x) = cos x
Hvis f(x) = cos x, så f'(x) = -sin x
Hvis f(x) = e^x, så f'(x) = e^x
Hvis f(x) = ln x (x>0), så f'(x) = 1/x

Eksempler

1) f(x) = x^2. Ved hjælp af reglen for potenser får vi f'(x) = 2x. I punktet x = 1 er f'(1) = 2, så tangentens ligning er y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1.

2) f(x) = (3x + 1)(x^2). Brug produktreglen:

f'(x) = (3)(x^2) + (3x + 1)(2x) = 3x^2 + 6x^2 + 2x = 9x^2 + 2x.

3) h(x) = sin(x^2). Brug kædereglen: h'(x) = cos(x^2) · 2x = 2x cos(x^2).

Differentierbarhed og kontinuitet

Hvis en funktion er differentiabel i et punkt, så er den også kontinuert i det punkt. Omvendt er kontinuitet ikke nok for differentiabilitet: funktioner med hjørner eller cusps (f.eks. f(x)=|x| i x=0) er kontinuerte men ikke differentiable i det punkt. Derudover kan der forekomme lodrette tangenter, hvor differentialkvotienten går mod uendelig.

Højere afledte og anvendelser

Anden afledte f''(x) beskriver ændringen af ændringshastigheden og bruges til at afgøre konkavitet og bestemme lokale maksimum og minimum ved hjælp af andenafledtetesten. Afledte anvendes desuden i optimering, fysik (bevægelsesligninger), økonomi (marginale omkostninger/indtægter) og ved udvikling af Taylor-polynomier.

Punkter hvor der ikke er afledt funktion

Kanter eller hjørner (f.eks. f(x)=|x| i x=0)
Huller eller udefinerede punkter
Vertikale tangenter, hvor ændringshastigheden bliver uendelig

Afsluttende bemærkning

Den afledte funktion er et centralt begreb i differentialregning, fordi den kvantificerer, hvordan en funktion ændrer sig lokalt. Forståelse af definitionen (grænseværdien), regnereglerne og geometri (tangent) gør det muligt at anvende afledte i mange matematiske og praktiske sammenhænge.

En funktion (sort) og en tangent (rød). Den afledte værdi i punktet er tangentens hældning.

Definition af et derivat

Den afledte af y i forhold til x er defineret som ændringen i y i forhold til ændringen i x, når afstanden mellem x 0 {\displaystyle x_{0}} $x_{0}$ og x 1 {\displaystyle x_{1}} $x_{1}$ bliver uendelig lille (infinitesimal). I matematiske termer,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} $f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

Det vil sige, at når afstanden mellem de to x-punkter (h) bliver tættere på nul, kommer hældningen af linjen mellem dem til at ligne en tangentlinje.

En animation, der giver en intuitiv idé om den afledte funktion, idet "svinget" af en funktion ændres, når argumentet ændres.

Afledninger af funktioner

Lineære funktioner

Afledninger af lineære funktioner (funktioner af formen m x + c {\displaystyle mx+c} $mx+c$ uden kvadratiske eller højere termer) er konstante. Det vil sige, at den afledte funktion på ét sted på grafen vil forblive den samme på et andet sted på grafen.

Når den afhængige variabel y {\displaystyle y} direkte tager x {\displaystyle x} 's værdi ( y = x {\displaystyle y=x} $y=x$ ), er linjens hældning 1 alle steder, så d d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}(x)=1} ${\tfrac {d}{dx}}(x)=1$ uanset hvor positionen er.

Når y {\displaystyle y} ændrer x {\displaystyle x} 's tal ved at tilføje eller fratrække en konstant værdi, er hældningen stadig 1, fordi ændringen i x {\displaystyle x} og y {\displaystyle y} ikke ændres, hvis grafen forskydes op eller ned. Det vil sige, at hældningen stadig er 1 i hele grafen, og at dens afledte værdi også er 1.

Power-funktioner

Potensfunktioner (i form af x a {\displaystyle x^{a}}} $x^{a}$ ) opfører sig anderledes end lineære funktioner, fordi deres eksponent og hældning varierer.

Potensfunktioner følger generelt reglen, at d d d x x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}x^{a}}=ax^{a-1}}} ${\tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}$ . Det vil sige, at hvis vi giver a tallet 6, så er d d x x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}x^{6}=6x^{5}}} ${\tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}$

Et andet eksempel, som er mindre indlysende, er funktionen f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}} $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ . Dette er i det væsentlige det samme, fordi 1/x kan forenkles til at bruge eksponenter:

f ( x ) = 1 x = x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}=x^{-1}}} $f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}$

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{{-2})} $f'(x)=-1(x^{-2})$

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}} $f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$

Desuden kan rødder ændres til at bruge brøkeksponenter, hvor deres afledte kan findes:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}=x^{\\frac {2}{3}}}} $f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\frac {2}{3}}$

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}}(x^{-{\frac {1}{3}}}}})} $f'(x)={\frac {2}{3}}(x^{-{\frac {1}{3}}})$

Eksponentialfunktioner

En eksponentiel funktion er af formen a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} $ab^{f\left(x\right)}$ , hvor a {\displaystyle a} og b {\displaystyle b} $b$ er konstanter, og f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) er en funktion af x {\displaystyle x} . Forskellen mellem en eksponentiel og et polynomium er, at i et polynomium er x {\displaystyle x} hævet til en potens, mens x {\displaystyle x} $x$ i en eksponentiel er i potens.

Eksempel 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ${\frac {d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)$

Eksempel 2

Find d d x ( 3 ⋅ ${\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}}\right)$ .

a = 3 {\displaystyle a=3} $a=3$

b = 2 {\displaystyle b=2} $b=2$

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}} $f\left(x\right)=3x^{2}$

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x} $f'\left(x\right)=6x$

Derfor,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ ${\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}$

Logaritmiske funktioner

Den afledte af logaritmer er den reciprokke:

d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}}} ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$ .

Tag for eksempel d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\ln \left({\frac {5}{x}}}\right)} ${\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)$ . Dette kan reduceres til (ved hjælp af logaritmernes egenskaber):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(\ln(5))-{\frac {d}{d}{dx}}}(\ln(x))} ${\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}(\ln(x))$

Logaritmen af 5 er en konstant, så dens afledte værdi er 0. Den afledte værdi af ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} $\ln(x)$ er 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} ${\tfrac {1}{x}}$ . Så,

0 - d d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}}} $0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}$

For afledninger af logaritmer, der ikke er i base e, f.eks. d d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}(\log _{10}(x))} ${\tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))$ , kan dette reduceres til:

d d d x log 10 ( x ) = d d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}}{\frac {\ln {x}}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}}{\frac {d}{dx}}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}} ${\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}$

Trigonometriske funktioner

Cosinusfunktionen er den afledte af sinusfunktionen, mens den afledte af cosinus er negativ sinus (forudsat at x er målt i radianer):

d d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\sin(x)=\cos(x)} ${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$

d d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)} ${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

d d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\sec(x)=\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} ${\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$ .

Egenskaber for derivater

Derivater kan opdeles i mindre dele, hvor de er håndterbare (da de kun har en af de ovennævnte funktionskarakteristika). For eksempel kan d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}(3x^{6}+x^{2}-6)} ${\tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)$ opdeles som:

d d d x ( 3 x 6 ) + d d d x ( x 2 ) - d d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(3x^{6}})+{\frac {d}{dx}}}(x^{2}})-{\frac {d}{dx}}(6)} ${\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)$

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0} $=6\cdot 3x^{5}+2x-0$

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,} $=18x^{5}+2x\,$

Anvendelse af derivater

En funktions afledte kan bruges til at søge efter funktionens maksimum og minimum ved at søge efter steder, hvor dens hældning er nul.

Derivater bruges i Newtons metode, som hjælper en med at finde nulpunkterne (rødderne) af en funktion.Man kan også bruge derivater til at bestemme en funktions konkavitet, og om funktionen er voksende eller aftagende.

Relaterede sider

Differenskvotient
Grundlæggende sætning i regning
Implicit afledt
Integral
Delvis afledt
Anden afledte

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er afledet?

A: Den afledte er en måde at vise øjeblikkelig ændringshastighed på, eller det beløb, hvormed en funktion ændrer sig i et givet punkt.

Spørgsmål: Hvordan skrives den typisk?

A: Den skrives typisk som "dy over dx" eller "dy upon dx", hvilket betyder forskellen i y divideret med forskellen i x. En anden almindelig notation er f'(x), hvilket betyder den afledte af funktionen f i punkt x.

Sp: Er d en variabel?

Svar: Nej, d er ikke en variabel og kan ikke annulleres.

Spørgsmål: Hvad betyder "f" i denne sammenhæng?

A: I denne sammenhæng repræsenterer "f" en funktion.

Spørgsmål: Hvad repræsenterer "x" i denne sammenhæng?

A: I denne sammenhæng repræsenterer "x" et punkt på en graf.

Spørgsmål: Hvad repræsenterer "y" i denne sammenhæng?

A: I denne sammenhæng repræsenterer "y" hældningen af tangentlinjen i det pågældende punkt på grafen.

Spørgsmål: Hvordan kan man læse "f'(x)"? Svar: Du kan læse "f'(x)" som "f primtal af x".

Søge