Afledt funktion (differentialregning): Definition, betydning og eksempler

Den afledte af y i forhold til x er defineret som ændringen i y i forhold til ændringen i x, når afstanden mellem x 0 {\displaystyle x_{0}} og x 1 {\displaystyle x_{1}} bliver uendelig lille (infinitesimal). I matematiske termer,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

Det vil sige, at når afstanden mellem de to x-punkter (h) bliver tættere på nul, kommer hældningen af linjen mellem dem til at ligne en tangentlinje.

Lineære funktioner

Afledninger af lineære funktioner (funktioner af formen m x + c {\displaystyle mx+c} uden kvadratiske eller højere termer) er konstante. Det vil sige, at den afledte funktion på ét sted på grafen vil forblive den samme på et andet sted på grafen.

Når den afhængige variabel y {\displaystyle y} direkte tager x {\displaystyle x} 's værdi ( y = x {\displaystyle y=x} ), er linjens hældning 1 alle steder, så d d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}(x)=1} uanset hvor positionen er.

Når y {\displaystyle y} ændrer x {\displaystyle x} 's tal ved at tilføje eller fratrække en konstant værdi, er hældningen stadig 1, fordi ændringen i x {\displaystyle x} og y {\displaystyle y} ikke ændres, hvis grafen forskydes op eller ned. Det vil sige, at hældningen stadig er 1 i hele grafen, og at dens afledte værdi også er 1.

Power-funktioner

Potensfunktioner (i form af x a {\displaystyle x^{a}}} ) opfører sig anderledes end lineære funktioner, fordi deres eksponent og hældning varierer.

Potensfunktioner følger generelt reglen, at d d d x x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}x^{a}}=ax^{a-1}}} . Det vil sige, at hvis vi giver a tallet 6, så er d d x x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}x^{6}=6x^{5}}}

Et andet eksempel, som er mindre indlysende, er funktionen f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}} . Dette er i det væsentlige det samme, fordi 1/x kan forenkles til at bruge eksponenter:

f ( x ) = 1 x = x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}=x^{-1}}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

Desuden kan rødder ændres til at bruge brøkeksponenter, hvor deres afledte kan findes:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}=x^{\\frac {2}{3}}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}}(x^{-{\frac {1}{3}}}}})}

Eksponentialfunktioner

En eksponentiel funktion er af formen a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}} , hvor a {\displaystyle a} og b {\displaystyle b} er konstanter, og f ( x ) {\displaystyle f(x)} er en funktion af x {\displaystyle x} . Forskellen mellem en eksponentiel og et polynomium er, at i et polynomium er x {\displaystyle x} hævet til en potens, mens x {\displaystyle x} i en eksponentiel er i potens.

Eksempel 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \cdot \ln(b)}

Eksempel 2

Find d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\left(3\cdot 2^{3{x^{{{2}}}}}\right)} .

a = 3 {\displaystyle a=3}

b = 2 {\displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}

Derfor,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}}\cdot 6x\cdot \ln \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}}

Logaritmiske funktioner

Den afledte af logaritmer er den reciprokke:

d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}}} .

Tag for eksempel d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\ln \left({\frac {5}{x}}}\right)} . Dette kan reduceres til (ved hjælp af logaritmernes egenskaber):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(\ln(5))-{\frac {d}{d}{dx}}}(\ln(x))}

Logaritmen af 5 er en konstant, så dens afledte værdi er 0. Den afledte værdi af ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)} er 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Så,

0 - d d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}}}

For afledninger af logaritmer, der ikke er i base e, f.eks. d d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {d}{dx}}}(\log _{10}(x))} , kan dette reduceres til:

d d d x log 10 ( x ) = d d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}}{\frac {\ln {x}}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}}{\frac {d}{dx}}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}}

Trigonometriske funktioner

Cosinusfunktionen er den afledte af sinusfunktionen, mens den afledte af cosinus er negativ sinus (forudsat at x er målt i radianer):

d d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {\frac {d}{dx}}}\sin(x)=\cos(x)}

d d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\sec(x)=\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
 

Derivater kan opdeles i mindre dele, hvor de er håndterbare (da de kun har en af de ovennævnte funktionskarakteristika). For eksempel kan d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}(3x^{6}+x^{2}-6)} opdeles som:

d d d x ( 3 x 6 ) + d d d x ( x 2 ) - d d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}(3x^{6}})+{\frac {d}{dx}}}(x^{2}})-{\frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}
 

En funktions afledte kan bruges til at søge efter funktionens maksimum og minimum ved at søge efter steder, hvor dens hældning er nul.

Derivater bruges i Newtons metode, som hjælper en med at finde nulpunkterne (rødderne) af en funktion.Man kan også bruge derivater til at bestemme en funktions konkavitet, og om funktionen er voksende eller aftagende.

• Differenskvotient
• Grundlæggende sætning i regning
• Implicit afledt
• Integral
• Delvis afledt
• Anden afledte