Gamma-funktion
I matematik er gammafunktionen (Γ(z)) en udvidelse af faktorialfunktionen til at omfatte alle komplekse tal undtagen negative hele tal. For positive hele tal er den defineret som Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Gammafunktionen er defineret for alle komplekse tal. Men den er ikke defineret for negative hele tal og nul. For et komplekst tal, hvis reelle del ikke er et negativt heltal, er funktionen defineret ved:
Gammafunktionen langs en del af den reelle akse
Egenskaber
Særlige værdier
Nogle særlige værdier af gammafunktionen er:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.3233505097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={{\tfrac {4}{3}}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.77245385050905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\Gamma (3/2)&={{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\Gamma (7/2)&={{\tfrac {15}{8}}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.3233505097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\end{array}}}} 
Pi-funktion
Gauss introducerede Pi-funktionen. Dette er en anden måde at betegne gammafunktionen på. I forhold til gammafunktionen er Pi-funktionen
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} 
således at
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
for ethvert ikke-negativt heltal n.
Applikationer
Analytisk talteori
Gammafunktionen bruges til at undersøge Riemann-zetafunktionen. En egenskab ved Riemann-zeta-funktionen er dens funktionelle ligning:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Bernhard Riemann fandt en sammenhæng mellem disse to funktioner. Dette var i 1859 papir "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Om antallet af primtal mindre end en given mængde")
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}}{e^{t}-1}}}\;{\frac {dt}{t}}}. } 
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er gammafunktionen i matematik?
A: Gammafunktionen er et centralt emne inden for området særlige funktioner i matematik.
Spørgsmål: Hvad er udvidelsen af faktorialfunktionen til alle komplekse tal undtagen negative hele tal?
Svar: Gammafunktionen er en udvidelse af faktorialfunktionen til alle komplekse tal undtagen negative hele tal.
Spørgsmål: Hvordan er gammafunktionen defineret for positive hele tal?
Svar: For positive hele tal er gammafunktionen defineret som Γ(n) = (n-1)!.
Spørgsmål: Er gammafunktionen defineret for alle komplekse tal?
Svar: Ja, gammafunktionen er defineret for alle komplekse tal.
Spørgsmål: Er gammafunktionen defineret for negative hele tal og nul?
Svar: Nej, gammafunktionen er ikke defineret for negative hele tal og nul.
Spørgsmål: Hvordan er gammafunktionen defineret for et komplekst tal, hvis reelle del ikke er et negativt heltal?
Svar: Gammafunktionen er defineret for et komplekst tal, hvis reelle del ikke er et negativt heltal, ved hjælp af en særlig formel, som ikke er angivet i teksten.
Sp: Hvorfor er gammafunktionen vigtig i matematikken?
Svar: Gammafunktionen er vigtig i matematikken, fordi den er et centralt emne inden for særlige funktioner, og fordi den udvider faktorialfunktionen til at omfatte alle komplekse tal undtagen negative hele tal.
