I matematik er gammafunktionen (Γ(z)) en udvidelse af faktorialfunktionen til at omfatte alle komplekse tal undtagen negative hele tal. For positive hele tal er den defineret som Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}

Gammafunktionen er defineret for alle komplekse tal. Men den er ikke defineret for negative hele tal og nul. For et komplekst tal, hvis reelle del ikke er et negativt heltal, er funktionen defineret ved:

Integralrepræsentation (Euler)

For Re(z) > 0 kan gammafunktionen skrives som det impropere integral

Γ(z) = ∫0∞ tz−1 e−t dt.

Denne integralformel bruges både til at bevise grundlæggende egenskaber og som startpunkt for analytisk continuation.

Funktionelle relationer og analytisk continuation

  • Rekurrence: Γ(z+1) = z Γ(z). Den viser, hvordan gamma forbinder værdier med forskel 1 og generaliserer relationen n! = n·(n−1)!.
  • Reflection (Euler's reflektionsformel): Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(π z). Denne formel beskriver symmetri og bruges til at evaluere Γ for negative ikke-heltalsargumenter.
  • Duplikationsformel (Legendre): Γ(z) Γ(z+1/2) = 2^{1−2z} √π Γ(2z). Den er praktisk ved behandling af halvtalsargumenter.
  • Weierstrass produktform (giver analytisk continuation og nul-/polestruktur):

1/Γ(z) = z e^{γ z} ∏n=1∞ (1 + z/n) e^{−z/n}, hvor γ er Euler–Mascheroni-konstanten.

Singulariteter og nulpunkter

  • Γ(z) har simple poler i z = 0, −1, −2, ... (dvs. ved ikke-positive hele tal). Der er ingen nulpunkter i det komplekse plan — gammafunktionen er aldrig nul.
  • Residuer: Res(Γ, −n) = (−1)n / n! for n = 0, 1, 2, ...

Specielle værdier og eksempler

  • Γ(1) = 1, og derfor Γ(n) = (n−1)! for n ∈ {1, 2, 3, ...}.
  • Halvtalsværdier: Γ(1/2) = √π. Mere generelt Γ(k + 1/2) kan udtrykkes med √π og faktorer af 2.
  • Eksempel: Γ(3/2) = (1/2) Γ(1/2) = √π / 2.

Forhold til betafunktionen

Betafunktionen er tæt forbundet med gammafunktionen via

B(x,y) = ∫01 t^{x−1} (1−t)^{y−1} dt = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y).

Denne relation gør det nemt at udregne mange integraler og forbinder gamma med kombinations- og sandsynlighedsudtryk.

Asymptotisk adfærd og Stirling

For store |z| (udenfor negative reelle akse) har gammafunktionen asymptotisk udvikling givet af Stirling's formel:

Γ(z+a) ~ √(2π) z^{z+a−1/2} e^{−z} (1 + O(1/z)),

som ofte anvendes ved approksimationer i statistik, fysik og numeriske beregninger.

Praktiske anvendelser

  • Sandsynlighed og statistik: Gammafordelingen og χ²-fordelingen bruger Γ i deres tæthedsfunktioner. Eksempel: Gammafordelingens tæthed med formparameter k og skala θ er f(x) = x^{k−1} e^{−x/θ} / (Γ(k) θ^{k}) for x > 0.
  • Fysik og ingeniørvidenskab: Gamma optræder i integraler, propagatorer og ved dimensional regularization i kvantefeltteori.
  • Analytisk fortsættelse og specialfunktioner: Mange andre specialfunktioner (f.eks. Bessel-, Legendre- og hypergeometriske funktioner) har udtryk med Γ.
  • Kombinatorik og komplekse beregninger: Γ gør det muligt at definere “fakultetslignende” udtryk for ikke-heltal og komplekse argumenter.

Numerisk evaluering

  • De fleste matematiske biblioteker (f.eks. scipy.special.gamma, Boost, eller specialfunktionpakker) implementerer hurtige og stabile algoritmer til Γ.
  • Ved evaluering af negative argumenter bruges ofte reflektionsformlen for at undgå at beregne tæt på polerne direkte.

Andre repræsentationer

  • Euler's grænser: Γ(z) = lim_{n→∞} n! n^{z−1} / (z (z+1) ... (z+n)).
  • Mellin-transform: Γ er Mellin-transformen af e^{−t} og derfor central i analyse af integraler og transformmetoder.

Opsummering

Gammafunktionen Γ(z) er en fundamental specialfunktion, der generaliserer faktorial til komplekse argumenter, har simple poler i ikke-positive hele tal, ingen nulpunkter, og opfylder kraftfulde funktionelle relationer (rekurrence, refleksions- og duplikationsformler). Den optræder bredt i matematik, statistik, fysik og anvendte discipliner og har en veludviklet teori både analytisk og numerisk.