Sammensat funktion | en måde at lave en ny funktion ud fra to andre funktioner

I matematikken er funktionskomposition en måde at lave en ny funktion af to andre funktioner gennem en kædelignende proces.

Mere specifikt, hvis man giver en funktion f fra X til Y og en funktion g fra Y til Z, så er funktionen "g sammensat med f", skrevet som g ∘ f, en funktion fra X til Z (bemærk, at det normalt skrives på den modsatte måde, end folk ville forvente, at det ville være).

Værdien af f givet input x skrives som f(x). Værdien af g ∘ f givet input x skrives som (g ∘ f)(x) og er defineret som g(f(x)).

Lad f være en funktion, der fordobler et tal (multiplicerer det med 2), og lad g være en funktion, der trækker 1 fra et tal. Disse to funktioner kan skrives som:

f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} $f(x)=2x$

g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} $g(x)=x-1$

Her vil g sammensat med f være den funktion, der fordobler et tal og derefter trækker 1 fra det. Det vil sige:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} $(g\circ f)(x)=2x-1$

På den anden side ville f sammensat med g være den funktion, der trækker 1 fra et tal og derefter fordobler det:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {\displaystyle (f\circ g)(x)(x)=2(x-1)} $(f\circ g)(x)=2(x-1)$

Sammensætning af funktioner kan også generaliseres til binære relationer, hvor den undertiden repræsenteres ved hjælp af det samme ∘ {\displaystyle \circ } $\circ$ symbol (som i R ∘ S {\displaystyle R\circ S} ). $R\circ S$

Egenskaber

Det kan bevises, at funktionskomposition er associativ, hvilket betyder, at:

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Men funktionskomposition er generelt ikke kommutativ, hvilket betyder, at:

f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ g\circ f} $f\circ g\neq g\circ f$

Dette kan også ses i det første eksempel, hvor (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 og (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.

Relaterede sider

Kæderegel

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er funktionssammensætning?

A: Funktionskomposition er en måde at lave en ny funktion på af to andre funktioner gennem en kædelignende proces.

Sp: Hvordan skrives værdien af g sammensat med f?

Svar: Værdien af g sammensat med f skrives som (g ∘ f)(x) og er defineret som g(f(x)).

Sp: Hvad er nogle eksempler på funktioner?

Svar: Et eksempel kunne være en funktion, der fordobler et tal (multiplicerer det med 2), og en anden, der trækker 1 fra et tal.

Spørgsmål: Hvad ville være et eksempel på g sammensat med f?

Svar: Et eksempel på g sammensat med f ville være den funktion, som fordobler et tal og derefter trækker 1 fra det. Det vil sige (g ∘ f)(x)=2x-1.

Spørgsmål: Hvad ville være et eksempel på f sammensat med g?

Svar: Et eksempel på f sammensat med g ville være den funktion, som trækker 1 fra et tal og derefter fordobler det; det vil sige (f ∘ g)(x)=2(x-1).

Spørgsmål: Kan komposition også generaliseres til binære relationer?

Svar: Ja, komposition kan også generaliseres til binære relationer, hvor den undertiden repræsenteres ved hjælp af det samme symbol (som i R ∘ S).