Konstant funktion: Definition, egenskaber og eksempel

Formelt set har en konstant funktion f(x):R→R formen f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} . Normalt skriver vi y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} eller blot y = c {\displaystyle y=c} .

• Funktionen y=c har 2 variabler x og у og 1 konstant c. (I denne form af funktionen ser vi ikke x, men den er der.)

• Konstanten c er et reelt tal. Før vi arbejder med en lineær funktion, erstatter vi c med et reelt tal.
• Domænet eller input for y=c er R. Så ethvert reelt tal x kan indtastes. Udgangen er dog altid værdien c.
• Området for y=c er også R. Men da output altid er værdien af c, er kodomænet kun c.

Eksempel: Funktionen y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} eller blot y = 4 {\displaystyle y=4} er den specifikke konstante funktion, hvor udgangsværdien er c = 4 {\displaystyle c=4} . Domænet er alle reelle tal ℝ. Kodomænet er blot {4}. Nemlig y(0)=4, y(-2,7)=4, y(π)=4,.... Uanset hvilken værdi af x der indtastes, er resultatet "4".

• Grafen for den konstante funktion y = c {\displaystyle y=c} er en vandret linje i planen, der går gennem punktet ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} .
• Hvis c≠0, er den konstante funktion y=c et polynomium i én variabel x af grad nul.

• Y-interceptet for denne funktion er punktet (0,c).
• Denne funktion har ingen x-intercept. Det vil sige, at den ikke har nogen rod eller nul. Den krydser aldrig x-aksen.

• Hvis c=0, så har vi y=0. Dette er nulpolynomiet eller den identiske nulfunktion. Ethvert reelt tal x er en rod. Grafen for y=0 er x-aksen i planen.
• En konstant funktion er en lige funktion, så y-aksen er en symmetriakse for alle konstante funktioner.

I den sammenhæng, hvor den er defineret, måler den afledte af en funktion ændringshastigheden af funktionsværdierne (output) i forhold til ændringen af inputværdierne. En konstant funktion ændrer sig ikke, så dens afledte værdi er 0. Dette skrives ofte:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0}  

Eksempel: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}} er en konstant funktion. Den afledte af y er den identiske nulfunktion y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{{\sqrt {2}}})'=0}  

Det omvendte (det modsatte) er også tilfældet. Det vil sige, at hvis den afledte af en funktion er nul overalt, så er funktionen en konstant funktion.

Matematisk set skriver vi disse to udsagn:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\,\,\Linkstregerpile \,\,\,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\,\forall x\i \mathbb {R} }

En funktion f : A → B er en konstant funktion, hvis f(a) = f(b) for alle a og b i A.

Et eksempel fra den virkelige verden: En butik, hvor alle varer sælges for 1 euro. Denne funktions domæne er varer i butikken. Kodomænet er 1 euro.

Eksempel: Lad f : A → B hvor A={X,Y,Z,W} og B={1,2,3} og f(a)=3 for hver a∈A. Så er f en konstant funktion.

Eksempel: z(x,y)=2 er den konstante funktion fra A=ℝ² til B=ℝ, hvor hvert punkt (x,y)∈ℝ² er afbildet til værdien z=2. Grafen for denne konstante funktion er det horisontale plan (parallelt med x0y-planet) i det 3-dimensionelle rum, der går gennem punktet (0,0,2).

Eksempel: Den polære funktion ρ(φ)=2,5 er den konstante funktion, der afbilder hver vinkel φ til radius ρ=2,5. Grafen for denne funktion er en cirkel med radius 2,5 i planen.

Der er andre egenskaber ved konstante funktioner. Se Konstant funktion på engelsk på Wikipedia

• Funktion
• Polynomium