Integral

I regnearket er et integral rummet under en lignings graf (undertiden kaldet "arealet under en kurve"). Et integral er det omvendte af en afledt ligning og er det modsatte af differentialregning. En derivat er en kurves stejlhed (eller "hældning"), dvs. ændringshastigheden, af en kurve. Ordet "integral" kan også bruges som et adjektiv, der betyder "relateret til hele tal".

Symbolet for integration i regning er: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ som et højt bogstav "S". Dette symbol blev først brugt af Gottfried Wilhelm Leibniz, som brugte det som et stiliseret "ſ" (for summa, latin for sum) til at betegne summen af det område, der dækkes af en ligning, f.eks. y = f(x).

Integraler og afledninger er en del af en gren af matematikken, der kaldes calculus. Forbindelsen mellem disse to er meget vigtig og kaldes den grundlæggende sætning i regning. Sætningen siger, at et integral kan omvendes af en afledet, på samme måde som en addition kan omvendes af en subtraktion.

Integration hjælper, når man forsøger at gange enheder i et problem. For eksempel, hvis et problem med hastighed, ( afstand tid ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{tid}}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , har brug for et svar med kun afstand, er en løsning at integrere med hensyn til tiden. Det betyder, at man multiplicerer med tiden for at annullere tiden i ( afstand tid ) × tid {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}}{\text{tid}}}}\right)\times {\text{tid}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Dette gøres ved at lægge små udsnit af hastighedsgrafen sammen. Skiverne er tæt på nul i bredde, men ved at lægge dem sammen for evigt, bliver de til en helhed. Dette kaldes en Riemann-summe.

Ved at lægge disse skiver sammen får man den ligning, som den første ligning er den afledte af. Integraler er som en måde at lægge mange små ting sammen i hånden. Det er ligesom summering, som er at addere 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Forskellen med integration er, at vi også skal lægge alle decimaler og brøker imellem.

Et andet tidspunkt, hvor integration er nyttig, er, når man skal finde rumfanget af et fast stof. Den kan lægge todimensionale (uden bredde) skiver af det faste stof sammen i al evighed, indtil der er en bredde. Det betyder, at objektet nu har tre dimensioner: de oprindelige to og en bredde. Dette giver volumenet af det beskrevne tredimensionale objekt.

Hvad er integralet (animation)

Integration handler om at finde overfladen s, når a, b og y = f(x) er givet. Formlen for integralet fra a til b, som er vist på ovenstående graf, er:
Formel: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Metoder til integration

Antiderivativ

I henhold til den grundlæggende sætning i regning er integralet antiderivativ.

Hvis vi tager funktionen 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ og anti-differentierer den, kan vi sige, at et integral af 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ er x 2 {\displaystyle x^{2}}} $x^{2}$ . Vi siger et integral, ikke integralet, fordi antiderivatet af en funktion ikke er entydigt. For eksempel differentierer x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ også til 2 x $2x$ {\displaystyle 2x} . Når man tager antiderivaten, skal man derfor tilføje en konstant C, når man tager antiderivaten. Dette kaldes et ubestemt integral. Det skyldes, at når man finder den afledte af en funktion, er konstanterne lig med 0, som i funktionen

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Bemærk 0: vi kan ikke finde det, hvis vi kun har den afledte, så integralet er

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$

Enkle ligninger

En simpel ligning som y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}} $y=x^{2}$ kan integreres med hensyn til x ved hjælp af følgende teknik. For at integrere skal man lægge 1 til den potens, som x er hævet til, og derefter dividere x med værdien af denne nye potens. Derfor følger integrationen af en normal ligning denne regel: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{{n+1}}}{n+1}}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Det er d x {\displaystyle dx} $dx$ til sidst, der viser, at vi integrerer med hensyn til x, dvs. når x ændrer sig. Dette kan ses som det omvendte af differentiering. Der er dog en konstant, C, der tilføjes, når man integrerer. Dette kaldes integrationskonstanten. Dette er nødvendigt, fordi differentiering af et heltal resulterer i nul, og derfor giver integration af nul (som kan sættes på enden af enhver integrant) et heltal, C. Værdien af dette heltal vil blive fundet ved hjælp af givne betingelser.

Ligninger med flere termer integreres simpelthen ved at integrere hver enkelt term:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 3 + 3 x 2 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}x^{{2}+3x-2dx=\int _{\\,}^{\\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\\,}^{\,}^{\,}^{3}}}{3}}}+{\frac {3x^{{2}}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integration med e og ln

Der er visse regler for integrering ved hjælp af e og den naturlige logaritme. Det vigtigste er, at e x {\displaystyle e^{x}}} $e^{x}$ er integralet af sig selv (med tilføjelse af en integrationskonstant): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Den naturlige logaritme, ln, er nyttig, når man integrerer ligninger med 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Disse kan ikke integreres ved hjælp af ovenstående formel (adder 1 til potensen, divider med potensen), fordi addition af 1 til potensen giver 0, og en division med 0 er ikke mulig. I stedet er integralet af 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

I en mere generel form: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

De to lodrette søjler angiver en absolut værdi; der ses bort fra tegnet (positivt eller negativt) for f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) . Dette skyldes, at der ikke findes nogen værdi for den naturlige logaritme for negative tal.

Egenskaber

Summen af funktioner

Integralet af en sum af funktioner er summen af hver funktions integral, dvs,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Beviset herfor er ligetil: Definitionen af et integral er en grænse af summer. Således

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\til \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*}})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Bemærk, at begge integraler har de samme grænser.

Konstanter i integration

Når en konstant indgår i et integral med en funktion, kan konstanten tages ud. Når en konstant c ikke er ledsaget af en funktion, er dens værdi c * x. Det vil sige,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ og

Dette kan kun gøres med en konstant.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Beviset er igen en integraldefinition.

Andre

Hvis a, b og c ligger i rækkefølge (dvs. efter hinanden på x-aksen), er integralet af f(x) fra punkt a til punkt b plus integralet af f(x) fra punkt b til c lig med integralet fra punkt a til c. Det vil sige,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ , hvis de er i orden. (Dette gælder også, når a, b, c ikke er i rækkefølge, hvis vi definerer ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ grundlæggende sætning i regning (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Igen i overensstemmelse med FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er en integral?

A: Et integral er rummet under en graf af en ligning, også kendt som "arealet under en kurve". Det er det omvendte af en afledning og en del af en gren af matematikken, der kaldes calculus.

Spørgsmål: Hvordan ser symbolet for integration ud?

Svar: Symbolet for integration i regning ligner et højt bogstav "S": ∫ {\displaystyle \textstyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

Spørgsmål: Hvordan hænger integraler sammen med derivater?

A: Integraler og derivater er forbundet af den grundlæggende sætning i regnearket, som siger, at et integral kan vendes med et derivat, på samme måde som en addition kan vendes med en subtraktion.

Spørgsmål: Hvornår kan man bruge integration?

Svar: Integration kan bruges, når man forsøger at gange enheder i et problem eller når man finder volumenet af et fast stof. Det hjælper med at lægge to-dimensionelle skiver sammen, indtil der er bredde, hvilket giver genstanden tre dimensioner og dens volumen.

Spørgsmål: Hvordan ligner integration summering?

A: Integration ligner summering, idet den lægger mange små ting sammen, men med integration skal vi også lægge alle decimaler og brøker imellem.

Spørgsmål: Hvad betyder Riemannsummen?

A: En Riemann-summe henviser til at lægge små udsnit af kursgrafen sammen, indtil de tilsammen udgør en hel ligning.