Speciel relativitetsteori

Grundlæggende om speciel relativitetsteori

Antag, at du bevæger dig hen imod noget, der bevæger sig hen imod dig. Hvis du måler dets hastighed, vil det se ud til at bevæge sig hurtigere, end hvis du ikke bevægede dig. Antag nu, at du bevæger dig væk fra noget, der bevæger sig mod dig. Hvis du igen måler dens hastighed, vil det se ud til at bevæge sig langsommere. Dette er idéen om "relativ hastighed" - objektets hastighed i forhold til dig.

Før Albert Einstein forsøgte forskerne at måle lysets "relative hastighed". Det gjorde de ved at måle hastigheden af stjernelys, der nåede jorden. De forventede, at hvis Jorden bevægede sig mod en stjerne, skulle lyset fra den pågældende stjerne virke hurtigere, end hvis Jorden bevægede sig væk fra den pågældende stjerne. De bemærkede imidlertid, at uanset hvem der udførte eksperimenterne, hvor eksperimenterne blev udført, eller hvilket stjernelys der blev brugt, var den målte lyshastighed i et vakuum altid den samme.

Einstein sagde, at dette sker, fordi der er noget uventet ved længde og varighed, eller hvor længe noget varer. Han mente, at når Jorden bevæger sig gennem rummet, ændrer alle målbare varigheder sig meget lidt. Ethvert ur, der bruges til at måle en varighed, vil være forkert med præcis det rigtige beløb, så lysets hastighed forbliver den samme. Ved at forestille sig et "lysur" kan vi bedre forstå denne bemærkelsesværdige kendsgerning i forbindelse med en enkelt lysbølge.

Einstein sagde også, at når Jorden bevæger sig gennem rummet, ændrer alle målbare længder sig (en lille smule). Ethvert apparat, der måler længden, vil give en længde, der afviger nøjagtigt det rette beløb, så lysets hastighed forbliver den samme.

Det vanskeligste er at forstå, at begivenheder, der synes at være samtidige i én ramme, ikke nødvendigvis er samtidige i en anden. Dette har mange virkninger, som ikke er lette at opfatte eller forstå. Da længden af et objekt er afstanden fra hoved til hale på et samtidigt tidspunkt, følger det, at hvis to observatører er uenige om, hvilke begivenheder der er samtidige, vil det påvirke (nogle gange dramatisk) deres målinger af objekters længde. Hvis en række ure ser synkroniseret ud for en stationær observatør og ser ud til at være ude af synkronisering for den samme observatør efter acceleration til en bestemt hastighed, så følger det, at urene under accelerationen kørte med forskellige hastigheder. Nogle kan endda være kørt baglæns. Denne tankegang fører til den generelle relativitetsteori.

Andre videnskabsmænd før Einstein havde skrevet om, at lyset tilsyneladende havde samme hastighed, uanset hvordan det blev observeret. Det, der gjorde Einsteins teori så revolutionerende, er, at den betragter målingen af lysets hastighed som konstant pr. definition, med andre ord er det en naturlov. Dette har den bemærkelsesværdige konsekvens, at hastighedsrelaterede målinger, længde og varighed, ændres for at tage højde for dette.

Lorentz-transformationerne

Det matematiske grundlag for den specielle relativitetsteori er Lorentz-transformationerne, som matematisk beskriver synet på rum og tid for to observatører, der bevæger sig i forhold til hinanden, men som ikke oplever acceleration.

For at definere transformationerne bruger vi et kartesisk koordinatsystem til matematisk at beskrive tid og rum for "begivenheder".

Hver observatør kan beskrive en begivenhed som en position af noget i rummet på et bestemt tidspunkt ved hjælp af koordinater (x,y,z,t).

Begivenhedens placering er defineret i de tre første koordinater (x,y,z) i forhold til et vilkårligt centrum (0,0,0,0), således at (3,3,3,3) er en diagonal, der går 3 afstandsenheder (f.eks. meter eller miles) i hver retning.

Tidspunktet for hændelsen beskrives med den fjerde koordinat t i forhold til et vilkårligt (0) tidspunkt i en eller anden tidsenhed (f.eks. sekunder, timer eller år).

Lad der være en observatør K, som beskriver, hvornår begivenhederne finder sted med en tidskoordinat t, og som beskriver, hvor begivenhederne finder sted med rumkoordinaterne x, y og z. Dette er matematisk set en definition af den første observatør, hvis "synspunkt" vil være vores første reference.

Lad os specificere, at tidspunktet for en begivenhed er givet: ved det tidspunkt, hvor den observeres t_(observeret) (f.eks. i dag kl. 12) minus den tid, det tog for observationen at nå frem til observatøren.

Dette kan beregnes som afstanden fra observatøren til hændelsen d_(observeret) (lad os sige, at hændelsen er på en stjerne, der er 1 lysår væk, så det tager lyset 1 år at nå observatøren) divideret med c, lysets hastighed (flere millioner kilometer i timen), som vi definerer som værende den samme for alle observatører.

Det er korrekt, fordi afstand divideret med hastighed giver den tid, det tager at tilbagelægge afstanden med den pågældende hastighed (f.eks. 30 miles divideret med 10 mph: giver os 3 timer, fordi hvis du kører med 10 mph i 3 timer, når du 30 miles). Så vi har:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Dette er en matematisk definition af, hvad enhver "tid" betyder for enhver observatør.

Med disse definitioner på plads, lad der være en anden observatør K', som er

• bevæger sig langs K's x-akse med en hastighed på v,
• har et rumligt koordinatsystem bestående af x' , y' og z' ,

hvor x'-aksen er sammenfaldende med x-aksen og med y- og z-aksen - "altid parallel" med y- og z-aksen.

Det betyder, at når K' angiver et sted som (3,1,2), så er x (som er 3 i dette eksempel) det samme sted, som K, den første observatør, ville tale om, men 1 på y-aksen eller 2 på z-aksen er kun parallelt med et sted i K' observatørens koordinatsystem, og

• hvor K og K' er sammenfaldende ved t = t' = 0

Det betyder, at koordinaten (0,0,0,0,0,0) er den samme begivenhed for begge observatører.

Med andre ord har begge observatører (mindst) ét tidspunkt og ét sted, som de begge er enige om, nemlig sted og tid nul.

Lorentz-transformationerne er så

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} , og

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Definer en begivenhed med rumtidskoordinater (t,x,y,z) i system S og (t′,x′,y′,z′) i en referenceramme, der bevæger sig med en hastighed v i forhold til denne ramme, S′. Lorentz-transformationen angiver, at disse koordinater hænger sammen på følgende måde: er Lorentz-faktoren og c er lysets hastighed i vakuum, og hastigheden v i S′ er parallel med x-aksen. For at gøre det enkelt, er y- og z-koordinaterne upåvirket; kun x- og t-koordinaterne transformeres. Disse Lorentz-transformationer udgør en gruppe af lineære afbildninger med én parameter, som kaldes hastigheden.

Ved at løse de fire ovenstående transformationsligninger for de ugrundede koordinater fås den omvendte Lorentz-transformation:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Hvis denne omvendte Lorentz-transformation håndhæves, så den falder sammen med Lorentz-transformationen fra det primet til det uprimet system, viser den uprimet ramme som bevægende med hastigheden v′ = -v, som målt i den primet ramme.

Der er intet særligt ved x-aksen. Transformationen kan gælde for y- eller z-aksen eller i enhver retning, hvilket kan ske ved hjælp af retninger parallelt med bevægelsen (som forvrænges med γ-faktoren) og vinkelret på den; se artiklen Lorentz-transformation for nærmere oplysninger.

En størrelse, der er invariant under Lorentz-transformationer, kaldes en Lorentz-scalar.

Lorentz-transformationen og dens omvendte form af koordinatforskelle, hvor en begivenhed har koordinaterne (x ₁, t ₁) og (x′ ₁, t′ ₁), en anden begivenhed har koordinaterne (x ₂, t ₂) og (x′ ₂, t′ ₂), og forskellene er defineret som

Eq. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ , \ \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Eq. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

får vi

Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \(\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ \ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \(\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \gamma \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Hvis vi tager differentialer i stedet for differencer, får vi

Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . }

Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ , \ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Masse, energi og impuls

I den specielle relativitetsteori er impulsen p {\displaystyle p} og den samlede energi E {\displaystyle E} for et objekt som en funktion af dets masse m {\displaystyle m}

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}}

og

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}}.

En hyppigt begået fejl (også i nogle bøger) er at omskrive denne ligning ved at bruge en "relativistisk masse" (i bevægelsesretningen) på m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{{\sqrt {1-{{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} . Grunden til, at dette er forkert, er, at lys f.eks. ikke har nogen masse, men har energi. Hvis vi bruger denne formel, har fotonen (lysets partikel) en masse, hvilket ifølge eksperimenterne er forkert.

I den specielle relativitetsteori er et objekts masse, samlede energi og impuls forbundet ved ligningen

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}} .

For et objekt i hvile er p = 0 {\displaystyle p=0}, så ovenstående ligning kan forenkles til E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}} . Derfor har et massivt objekt i hvile stadig energi. Vi kalder denne hvileenergi og betegner den med E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}}} .

Historie

Behovet for den specielle relativitetsteori opstod på grund af Maxwells ligninger for elektromagnetisme, som blev offentliggjort i 1865. Det blev senere konstateret, at de kræver, at elektromagnetiske bølger (som f.eks. lys) bevæger sig med en konstant hastighed (dvs. lysets hastighed).

For at få James Clerk Maxwells ligninger til at stemme overens med både astronomiske observationer ^[1]og Newtons fysik, ^[2]foreslog Maxwell i 1877, at lyset bevæger sig gennem en æter, som findes overalt i universet.

I 1887 forsøgte man med det berømte Michelson-Morley-eksperiment at påvise den "ætervind", der opstår som følge af Jordens bevægelse. De ^[3]vedvarende nulresultater af dette eksperiment forvirrede fysikerne og satte spørgsmålstegn ved æterteorien.

I 1895 bemærkede Lorentz og Fitzgerald, at Michelson-Morley-eksperimentets nulresultat kunne forklares ved, at ætervinden trak eksperimentet sammen i æterens bevægelsesretning. Denne effekt kaldes Lorentz-kontraktion og er (uden æter) en konsekvens af den specielle relativitetsteori.

I 1899 offentliggjorde Lorentz for første gang Lorentz-ligningerne. Selv om det ikke var første gang, de blev offentliggjort, var det første gang, de blev brugt som forklaring på Michelson-Morleys nulresultat, da Lorentz' sammentrækning er et resultat af dem.

I 1900 holdt Poincaré en berømt tale, hvor han overvejede muligheden for, at der var behov for en "ny fysik" for at forklare Michelson-Morley-eksperimentet.

I 1904 viste Lorentz, at elektriske og magnetiske felter kan ændres i hinanden gennem Lorentz-transformationer.

I 1905 offentliggjorde Einstein sin artikel om introduktion af den specielle relativitetsteori, "On the Electrodynamics of Moving Bodies", i Annalen der Physik. I denne artikel præsenterede han relativitetsteoriens postulater, udledte Lorentz-transformationerne af dem og viste (uden at kende til Lorentz' artikel fra 1904) også, hvordan Lorentz-transformationerne påvirker elektriske og magnetiske felter.

Senere i 1905 udgav Einstein endnu en artikel, hvori han præsenterede E = mc ².

I 1908 tilsluttede Max Planck sig Einsteins teori og gav den navnet "relativitetsteori". Samme år holdt Hermann Minkowski en berømt tale om rum og tid, hvori han viste, at relativitetsteorien er selvkonsistent, og videreudviklede teorien. Disse begivenheder tvang fysikfællesskabet til at tage relativitetsteorien alvorligt. Relativitetsteorien kom til at blive mere og mere accepteret efter det.

I 1912 blev Einstein og Lorentz nomineret til Nobelprisen i fysik for deres pionerarbejde inden for relativitetsteori. Desværre var relativitetsteorien så kontroversiel dengang og forblev kontroversiel i så lang tid, at den aldrig blev tildelt en Nobelpris.

Eksperimentelle bekræftelser

• Michelson-Morley-eksperimentet, som ikke kunne påvise nogen forskel i lysets hastighed på grund af lysets bevægelsesretning.
• Fizeau's forsøg, hvor lysets brydningsindeks i vand i bevægelse ikke kan gøres mindre end 1. De observerede resultater forklares ved den relativistiske regel for addition af hastigheder.
• Lysets energi og impuls adlyder ligningen E = p c {\displaystyle E=pc} . (I newtonsk fysik forventes dette at være E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}}pc}.)
• Den transversale dopplereffekt, hvor det lys, der udsendes af et objekt i hurtig bevægelse, bliver rødt forskudt på grund af tidsudvidelse.
• Tilstedeværelsen af myoner, der er skabt i den øvre atmosfære ved Jordens overflade. Problemet er, at det tager meget længere tid end myonernes halveringstid at nå ned til jordoverfladen, selv med næsten lysets hastighed. Deres tilstedeværelse kan ses som værende enten en følge af tidsudvidelse (i vores optik) eller længdekontraktion af afstanden til jordoverfladen (i myonernes optik).
• Partikelacceleratorer kan ikke konstrueres uden at tage højde for den relativistiske fysik.

Relaterede sider

• Generel relativitetsteori