Lysuret: Hvordan et lysur illustrerer tidsudvidelse i relativitetsteorien

Hvad er et lysur?

Lysuret er en enkel og tydelig illustration af et grundlæggende træk ved den specielle relativitetsteori på. Et lysur består af en lyskilde i bunden af en stang og et spejl i toppen: et kort lysglimt sendes op, reflekteres i spejlet og registreres i bunden, hvor det trigger næste blink. Hvert tilbagevendende blink registreres som et "tick". Fordi lysets hastighed er konstant for alle observatører, bruges et lysur ofte til at forklare, hvordan bevægelse påvirker måling af tid.

Inden vi går i detaljer, kan du forestille dig en enklere, ikke-relativistisk analog: en basketballspiller i lastrummet på et fly, der dribler. Passagerer i flyet ser boldens studsning foregå på stedet (i flyets ramme), mens observatører på jorden ser, at bolden samtidig bevæger sig langt i jordens ramme. På samme måde vil observatører på jorden og i et fly/værelsesystem måle forskellige afstande og tider for samme begivenhed, når systemerne bevæger sig i forhold til hinanden.

Lysuret i ro og i bevægelse

Antag først et lysur, der står stille i forhold til et observatorium (f.eks. ved Nordpolen). Hvis stangens længde fra bund til spejl er a, bevæger lyset sig en afstand 2a for ét helt tick (op og ned). Fordi afstand = hastighed × tid, og lysets hastighed er c, er tiden mellem to ticks for et ur i hvile

t = 2a / c

I eksemplet fra teksten tog man a = 0,5 km, så lyset bevæger sig 1 km per tick, og

t = 1 km / 300.000 km/s = 1/300.000 s ≈ 0,00000333... s

Hvad ser en observatør på Jorden, når uret bevæger sig?

Forestil dig nu, at et rumskib flyver over Nordpolen med hastighed r (rumskibets pol er parallel med stangen i tidligere eksempel), og at uret er identisk med det stationære ur (samme a). For observatører på Jorden bevæger spejlet sig horisontalt, mens lyset bevæger sig diagonalt op til spejlet og diagonalt ned igen. De enkelte strækninger (op og ned) er hypotenuser i en retvinklet trekant.

Hvis t' er den tid, som observatøren på Jorden måler mellem to ticks af det bevægende ur, så bevæger rumskibet sig en horisontal afstand r t'/2 i opad-øjeblikket (og igen i nedad-øjeblikket). Den diagonale afstand fra bund til spejl (halvvejen) bliver derfor

h = √( a² + (r t'/2)² )

Hele lysstrækningen i et tick (op + ned) er

d = 2 h = 2 √( a² + (r t'/2)² )

Da lyset altid bevæger sig med hastighed c, gælder også i jordens ramme

c t' = d = 2 √( a² + (r t'/2)² )

Udledning af tidsudvidelsen

Vi løser ligningen for t'. Først kvadrerer vi begge sider og forenkler:

(c t'/2)² = a² + (r t'/2)²

(c² t'²)/4 − (r² t'²)/4 = a²

t'² (c² − r²)/4 = a²

t'² = 4 a² / (c² − r²) = (4 a² / c²) · 1 / (1 − r²/c²)

Men 2a/c er netop tiden mellem ticks for uret i dets egen hvileramme (t), altså t = 2a / c. Indsætter vi dette får vi den velkendte form:

t' = t / √(1 − r² / c²)

Dette viser, at et ur, der bevæger sig med hastighed r i forhold til en observatør, aflæses som langsommere af denne observatør. Faktorens 1 / √(1 − r²/c²) kaldes ofte den Lorentz-faktor (γ).

Eksempel

Hvis uret i hvile har t = 1 sekund mellem ticks, og rumskibet bevæger sig med r = 0,5 c, så er

t' = 1 / √(1 − 0,5²) = 1 / √(1 − 0,25) = 1 / √0,75 ≈ 1,1547 sekunder.

Det bevægende ur ser altså ud til at "tikke" langsommere med en faktor ≈ 1,1547, set fra Jorden.

Hvad betyder det i praksis?

• Tidsudvidelse er ikke bare en teoretisk kuriosa: den er eksperimentelt verificeret — fx ved målinger af muoners levetid i atmosfæren og ved præcisionsure i rumfart (GPS-systemet korrigerer for relativistiske effekter).
• Begrebet afhænger af, hvilken ramme man betragter som reference. Den tid, der måles i et ur, der er i hvile i sin egen ramme (f.eks. en observatør med uret fastspændt), kaldes ofte egentid eller proper tid. Observatører i andre rammer måler en længere tid mellem de samme to hændelser (dvs. uret ses til at gå langsommere).

Du kan lege med forskellige hastigheder og se, hvordan tidsudvidelsen vokser, fx på: http://www.1728.org/reltivty.htm

Hvis du vil have en kort opsummering eller en trinvis udregning tilpasset andre talværdier (fx for r = 0,9c eller r tæt på c), så skriv gerne, hvilke værdier du vil prøve.