Lysuret

Lysuret er en enkel måde at vise et grundlæggende træk ved den specielle relativitetsteori på. Et lysur er designet til at fungere ved at sende et lysglimt tilbage fra et fjernt spejl og bruge dets tilbagevenden til at udløse et nyt lysglimt og i mellemtiden tælle, hvor mange lysglimt der har været undervejs. Det er let at vise, at mennesker på Jorden, der ser et rumskib flyve over os med et sådant ur, vil se, at det tikker relativt langsomt. Denne effekt kaldes tidsudvidelse.

Før vi undersøger lysuret, skal vi overveje en anden form for relativitet. Forestil dig, at en person dribler en basketball i lastrummet på et stort fragtfly. Basketballspilleren bevæger sig i samme retning som jetflyet. De andre mennesker i flyet ser ham bevæge sig en meter eller to, mens han laver en dribling. Mellem det tidspunkt, hvor bolden hopper første gang, og det tidspunkt, hvor bolden hopper anden gang, er der gået ca. et sekund. Men da den første studsning fandt sted, var bolden over Gibraltar, og da den anden studsning fandt sted, var bolden over vandet tættere på Spanien. Basketballbolden har altså flyttet sig 280 meter i forhold til Jorden.

Overvej nu et noget lignende spørgsmål om relativ bevægelse. Denne gang skal vi se på, hvad folk, der ser på stjerner fra Nordpolen, ser, når et meget hurtigt rumskib flyver hen over dem. Vi kan bruge algebra og Pythagoras sætning til at beregne, hvor meget tiden bliver langsommere på rumskibet. Det eneste andet vi har brug for er den ligning, der sætter afstanden, d, rejsens hastighed, r, og tiden, t, i forbindelse:

d = rt

Lysets hastighed er konstant, så vi vil anvende denne værdi på to problemer. Vi kalder lysets hastighed for c, da det er det bogstav, som forskerne normalt bruger til at kalde den.

Et ur fremstilles ved at sætte en lysudgang nederst på en lang stang, et spejl på toppen af stangen og en elektronisk lysdetektor nede i bunden af stangen. Uret startes ved kortvarigt at lukke en kontakt, der sender et lysblinken fra bunden af pælen til toppen af pælen, hvor det reflekteres tilbage til bunden af pælen. Når lysdetektoren i bunden af pælen ser lysets blink, gør den to ting. Den lægger en til den tæller, der er knyttet til den, og den sender endnu et lysblinken op til spejlet. Når dette lysblinken kommer tilbage til bunden, ændres tællingen til to, og der udløses endnu et lysblinken. Da lyset bevæger sig meget hurtigt (300 000 km/sekund), vil lysuret "tikke" et meget stort antal gange for hvert sekund, der måles med et almindeligt ur, for hvert sekund, der måles med et almindeligt ur.

For at gøre regningen nemmere siger vi, at stangen er en halv kilometer lang. Så hvis vi står ved det lysur, der er bygget ved siden af det store teleskop på Nordpolen, vil vi se, at lyset bevæger sig en kilometer for hvert "tikke" på lysuret. Da den tilbagelagte afstand, d, er lig med hastighed ganget med tid, og den pågældende hastighed er c, har vi ligningen:

d = ct

og vi kan løse denne ligning for t for at finde ud af, hvor lang tid i sekunder hvert "tick" er.

1 km = 300.000 km/sekund * t sekunder

t sekunder = 1 km/300.000 (km/sekund) = 1/300.000 sekunder = 0,00000333...3 sekunder

Med andre ord vil hvert "tick" af lysuret tage 0,00000333...3 sekunder.

Hvis et rumskib fløj på en lige linje over Nordpolen med en stor del af lysets hastighed, og det havde et lignende ur, ville folk, der så dets passage, se, at spejlet på toppen af polen havde bevæget sig fra direkte over det lys, der udsender lyset, så lyset ville bevæge sig langs linjen markeret h i diagrammet, og derefter ville det følge den anden hypotenuse tilbage ned til basen af polen - som nu ville have bevæget sig et stykke, da rumskibet bevæger sig så hurtigt. Vi kan regne ud, hvor lang tid et tick ville tage ifølge menneskene på Jorden. Vi ved, at rumskibets pol har en længde på a, da det er den samme slags ur, som folk bruger på Nordpolen. Vi vil gerne regne t' ud, den tid det tager at lave ét tick af uret på rumskibet.

Vi ved, at rumskibet vil bevæge sig 1/2 r t', mens lysets blink er på vej op mod spejlet, og yderligere 1/2 r t', mens lysets blink er på vej ned mod basen af polen. Så denne beregning giver os længden af linje b i diagrammet. Vi kender a, så vi kan regne h ud ved hjælp af Pythagoras' sætning:

h = √(a2 + (rt' /2)²)

Den samlede afstand, som lyset tilbagelægger, er altså 2 h eller d = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

Vi ved også, at lysets hastighed, c, er konstant. Uanset hvem der måler den, viser det sig, at den er den samme hastighed. Så vi kan bruge denne kendsgerning til at få en anden måde at beregne, hvor lang tid det tager for lysglimtet at gå fra basen til toppen af polen og tilbage igen:

t' = d/c

Med andre ord, d = c t' .

Så vi kan skrive

c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

eller

1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)²)

For at løse ovenstående ligning er vi nødt til at:

1. Firkantet på begge sider
2. Divider begge sider med t' ²
3. Multiplicer begge sider med 4
4. Divider begge sider med c2
5. Forenkl c2 / c2
6. Træk r2/c2 fra begge sider
7. Tag kvadratroden af begge sider
8. Multiplicer begge sider med t'
9. Divider begge sider med √(1-r2/c2)

Ved at løse ovenstående ligning finder vi, at:

t' = 2a/(c√(1-r2/c2)

Tiden mellem tingene på uret på Nordpolen er 2a/c, så vi kan skrive:

t' = t/√(1-r2/c2)

Hvis t = 1 sekund, så er t' = 1,1547 sek., hvis rumskibet bevæger sig med halv lysets hastighed.

Forsøg med forskellige hastigheder på: http://www.1728.org/reltivty.htm

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er lysuret?

Spørgsmål: Hvad er tidsudvidelse?

Spørgsmål: Hvordan kan vi beregne, hvor meget tiden bliver langsommere på rumskibet?

Spørgsmål: Hvordan fungerer lysuret?

Spørgsmål: Hvilken ligning skal vi bruge til denne beregning?

Sp: Hvad har Pythagoras' sætning med denne beregning at gøre?

Søg efter bogstav