Polynomium | en slags matematisk udtryk

I matematik er et polynomium en slags matematisk udtryk. Det er en sum af flere matematiske udtryk, der kaldes monomier. Det vil sige et tal, en variabel eller et produkt af et tal og flere variabler. Når et algebraisk udtryk indeholder bogstaver blandet med tal og aritmetik, som f.eks. $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ er der en god chance for, at det er et polynomium. Polynomier undervises i algebra, som er et indgangskursus til alle tekniske fag. Matematikere, videnskabsmænd og ingeniører bruger alle polynomier til at løse problemer.

Når bogstaver, tal og aritmetiske symboler optræder sammen i algebra, forstås det, at bogstaverne står for variabler, som enten er deres egne symboler, tal, der endnu ikke er kendt, eller tal, der ændrer sig i løbet af problemet (som f.eks. tid). Et polynomium er et algebraisk udtryk, hvor det eneste aritmetiske udtryk er addition, subtraktion, multiplikation og eksponering af hele tal. Hvis der anvendes sværere operationer, som f.eks. division eller kvadratrødder, er dette algebraiske udtryk ikke et polynomium. Polynomier er ofte lettere at bruge end andre algebraiske udtryk.

Polynomier bruges ofte til at danne polynomiske ligninger, som f.eks. ligningen $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197=0$ , eller polynomiale funktioner, såsom $f(x)=7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ .

Terminologi

Givet en serie af n {\displaystyle n} tal $k_{0},\ldots ,k_{n}$ har et polynomium af variablen x {\displaystyle x} generelt formen $k_{n}x^{n}+\ldots +k_{0}x^{0}$ . De dele af et polynomium, der er adskilt af plus- (eller minus-) tegn, kaldes "termer", og tegnene er i sig selv en del af termerne.

(I et polynomium er multiplikation "forstået". Det betyder f.eks. at 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ betyder to gange x {\displaystyle x} , eller to gange x {\displaystyle x} . Så hvis x {\displaystyle x} er 7 {\displaystyle 7} $7$ , så er 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ 14 {\displaystyle 14} $14$ .)

I polynomiet $7x^{4}(-3)x^{3}+19x^{2}(-8)x+197$ , udtrykkene er:

7 x 4 {\displaystyle 7x^{4}}} $7x^{4}$

( - 3 ) x 3 {\displaystyle (-3)x^{3}} $(-3)x^{3}$

+ 19 x 2 {\displaystyle +19x^{2}} $+19x^{2}$

( - 8 ) x {\displaystyle (-8)x} $(-8)x$

+ 197 {\displaystyle +197} $+197$

Hvis et polynomium kun har én term, kaldes det et "monomium". Monomialer er også byggestenene i polynomier. F.eks. er 5 x 3 {\displaystyle 5x^{3}}} $5x^{3}$ et monomi.

I et udtryk kaldes multiplikatoren foran for en "koefficient". Bogstavet kaldes en "ukendt" eller en "variabel", og det forhøjede tal efter bogstavet kaldes en eksponent. På en lommeregner og nogle computere bruges symbolet ^ i stedet for at sætte en eksponent over og til højre for variablen, så monomialet ovenfor kan skrives som 5 x {\displaystyle 5x} $5x$ ^ 3 {\displaystyle 3} $3$ .

Et polynomium med præcis to termer kaldes et "binomium". Et polynomium med præcis tre termer kaldes et "trinomium". Inden for en term:

Et udtryk uden variabler kaldes et "konstant udtryk".
En term med én variabel, men uden eksponent, kaldes en "første grads term" eller en "lineær term".
Et udtryk med én variabel, som har eksponent 2 {\displaystyle 2} $2$ , kaldes et "andengradsterm" eller et "kvadratisk udtryk". En "kvadratisk ligning" er en ligning, hvor den største eksponent for et vilkår er 2 {\displaystyle 2} $2$ .
Et udtryk med én variabel, som har eksponent 3 {\displaystyle 3} $3$ , kaldes et "tredjegrads udtryk" eller "kubisk udtryk". En "kubisk ligning" er en ligning, hvor den største eksponent for et vilkår er 3 {\displaystyle 3} $3$ .
Et udtryk med én variabel, som har eksponent 4 {\displaystyle 4} $4$ , kaldes et "fjerdegrads udtryk" eller "kvartisk udtryk". En "kvartisk ligning" er en ligning, hvor den største eksponent på et vilkår er 4 {\displaystyle 4} $4$ .
Et udtryk med én variabel, som har eksponent 5 {\displaystyle 5} $5$ , kaldes et "femte grads udtryk" eller "femtedels udtryk". En "kvintlig ligning" er en ligning, hvor den største eksponent på et vilkår er 5 {\displaystyle 5} $5$ .
En term med én variabel, som har eksponent 6 {\displaystyle 6} $6$ , kaldes en "term af sjette grad" eller "sextisk term". En "sextisk ligning" er en ligning, hvor den største eksponent på et vilkår er 6 {\displaystyle 6} $6$ .

Relaterede sider

Uddannelsesgrad (matematik)
Grundlæggende sætning i algebra
Polynomial restsætning
Polynomialrod
Kvartærligning
Galois-teori

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er et polynomium?

A: Et polynomium er en slags matematisk udtryk, der er en sum af flere matematiske udtryk kaldet monomier, som er tal, variabler eller produkter af tal og flere variabler.

Sp: Hvordan bruger matematikere, videnskabsmænd og ingeniører polynomier?

A: Matematikere, videnskabsmænd og ingeniører bruger alle polynomier til at løse problemer.

Sp: Hvilke operationer kan man bruge i et algebraisk udtryk for at gøre det til et polynomium?

A: For at et algebraisk udtryk kan betragtes som et polynomium, kan der kun anvendes aritmetiske operationer som addition, subtraktion, multiplikation og eksponering af hele tal. Hvis der anvendes sværere operationer som f.eks. division eller kvadratrødder, betragtes det algebraiske udtryk ikke som et polynomium.

Spørgsmål: Hvilke typer ligninger kan dannes ved hjælp af polynomier?

Svar: Polynomier bruges ofte til at danne både polynomielle ligninger (f.eks. 7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197=0) og polynomielle funktioner (f(x)=7x^4(-3)x^3+19x^2(-8)x+197).

Sp: Hvilket fag skal man have kendskab til for at kunne arbejde med polynomier?

A: For at kunne arbejde med polynomier skal man have kendskab til algebra, som er et adgangskursus til alle tekniske fag.