Sandsynlighedsrum: Definition, σ-algebra og sandsynlighedsmål

Lær om sandsynlighedsrum, σ-algebra og sandsynlighedsmål: klare definitioner, eksempler og Kolmogorovs aksiomer til modellering og præcis beregning af sandsynligheder.

Sandsynlighedsrum er en matematisk model, der bruges til at beskrive videnskabelige eksperimenter. Modellen formaliserer begreberne "mulige udfald", "begivenheder" og "sandsynligheder" og bruges som grundlag for både elementær sandsynlighedsregning og mere avanceret teori som statistik og stokastiske processer. Et sandsynlighedsrum består af tre dele:

1. Et prøveområde, der indeholder alle mulige udfald
2. En række begivenheder. Hver begivenhed har nul eller flere resultater.
3. En funktion, der tildeler sandsynligheder til hver enkelt begivenhed

Prøveområdet (Ω)

Prøveområdet, ofte betegnet med det græske bogstav Ω (omega), er mængden af alle mulige udfald af det eksperiment eller den tilfældige proces, man betragter. For et møntkast er Ω = {Plat, Krone}. For et terningkast er Ω = {1,2,3,4,5,6}. Prøveområdet kan være endeligt, tælleligt uendeligt eller kontinuerligt (fx intervallet [0,1] ved modellering af en målt værdi).

Begivenheder og σ-algebra

Et resultat er resultatet af en enkelt udførelse af modellen. Da individuelle resultater ofte er for fine til praktisk brug, arbejder man med begivenheder — dvs. delmængder af Ω bestående af et eller flere resultater. For at sikre at operationer på begivenheder giver mening (som at tage unioner, snit og komplementer) kræves, at samlingen af tilladte begivenheder opfylder bestemte lukkningsegenskaber; denne samling kaldes en σ-algebra:

Samlingen af alle sådanne hændelser er en σ-algebra F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}} . En σ-algebra F er pr. definition en samling af delmængder af Ω, som opfylder:

• Ømængden ∅ og hele prøveområdet Ω er i F.
• Hvis A er i F, så er komplementet A^c = Ω \ A også i F.
• Hvis A1, A2, A3, ... er en tællelig følge af mængder i F, så er unionen ⋃_{n=1}^∞ A_n også i F (og dermed også alle tællelige snit, ved De Morgans regler).

En sådan struktur gør (Ω, F) til et måleligt rum, og de begivenheder, vi tildeler sandsynligheder, må være elementer i F.

Sandsynlighedsmål (P)

For at fuldende sandsynlighedsrummet indfører man et sandsynlighedsmål P, som tildeler hvert begivenhed A ∈ F et tal P(A) i intervallet [0,1]. Sandsynlighedsmålet skal opfylde Kolmogorovs aksiomer:

• Non-negativitet: For alle A ∈ F gælder P(A) ≥ 0.
• Normalisering: P(Ω) = 1.
• Tællelig additivitet (σ-additivitet): Hvis A1, A2, ... er disjunkte begivenheder i F, så gælder P(⋃_{n=1}^∞ A_n) = Σ_{n=1}^∞ P(A_n).

Disse aksiomer sikrer, at P fungerer som et mål i målteorien og giver et konsistent regnesystem for sandsynligheder. Når sandsynlighedsrummet er etableret, antages det, at "naturen" gør sit træk og vælger et enkelt resultat, ω, fra prøveområdet Ω. Alle begivenheder i F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}}, der indeholder det valgte udfald ω (husk, at hver begivenhed er en delmængde af Ω), siges at "have fundet sted". Den udvælgelse, som naturen foretager, sker på en sådan måde, at hvis eksperimentet blev gentaget et uendeligt antal gange, ville de relative hyppigheder for forekomst af hver af begivenhederne konvergere mod de sandsynligheder, som er foreskrevet af funktionen P (hyppighedstolkningen). Aksiomerne giver dog også en fuldstændig matematisk (axiomatisk) definition af sandsynlighed, uafhængig af frekvensfortolkningen.

Eksempler på sandsynlighedsrum

• Endeligt/Discret: Kast med en fair terning: Ω = {1,2,3,4,5,6}, F ofte alle delmængder af Ω, og P({i}) = 1/6 for i = 1,...,6.
• Tælleligt uendeligt: Antal gange til første succes ved gentagne Bernoulli-forsøg (geometrisk fordeling): Ω = {1,2,3,...}.
• Kontinuert: Målingsfejl modelleret som et reelt tal i intervallet ℝ eller [0,1]; her er F ofte Borel-σ-algebraen, og P kan være givet ved en tæthedsfunktion (f.eks. normalfordeling).

Yderligere begreber

• Betinget sandsynlighed: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) for P(B) > 0, bruges til at opdatere sandsynligheder i lyset af information.
• Uafhængighed: To begivenheder A og B er uafhængige hvis P(A ∩ B) = P(A)P(B). Begrebet udvides til familier af begivenheder eller tilfældige variable.
• Tilfældige variable: En tilfældig variabel er en målbar funktion X: Ω → ℝ (eller et andet rum). Dens fordeling er den afledte sandsynlighed på codomainet, ofte beskrevet ved fordelingsfunktion eller tæthed.
• Sigma-algebraens rolle i praksis: I kontinuerte modeller kan man ikke give sandsynlighed til alle tænkelige delmængder af ℝ på en måde, der bevarer målegenskaber; derfor bruger man Borel-σ-algebraen eller andre relevante σ-algebraer.

Den fremtrædende sovjetiske matematiker Andrey Kolmogorov introducerede begrebet sandsynlighedsrum sammen med de aksiomer, der i dag udgør den moderne aksiomatiske opbygning af sandsynlighedsteori, i 1930'erne (hovedværket publiceredes i 1933). Kolmogorovs tilgang muliggjorde en streng kobling mellem sandsynlighedsteori og målteori og har lagt grundlaget for store dele af moderne sandsynligheds- og statistikteori.

Til videre læsning kan man studere emner som målteori (for at forstå σ-algebraer og måldybde), stokastiske processer (til modeller for tid), og statistiske metoder for anvendelse af sandsynlighedsrum i dataanalyse.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er et sandsynlighedsrum?

Sp: Hvad består prøveområdet af?

Spørgsmål: Hvad er et udfald?

Sp: Hvad bruges begivenheder til i sandsynlighedsrum?

Spørgsmål: Hvordan tildeles sandsynligheder til hver enkelt hændelse?

Søg efter bogstav