Sandsynlighedstæthedsfunktion: Definition, egenskaber og eksempler

Sandsynlighedstæthedsfunktion: definition, nøgleegenskaber og illustrative eksempler på kontinuerlige fordelinger samt beregning af sandsynligheder via integraler.

Inden for sandsynlighed og statistik er en sandsynlighedstæthedsfunktion en funktion, der karakteriserer enhver kontinuerlig sandsynlighedsfordeling. For en tilfældig variabel X skrives sandsynlighedsdensitetsfunktionen for X undertiden som f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} . Integralet af sandsynlighedsdensitetsfunktionen i intervallet [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} giver sandsynligheden for, at en given tilfældig variabel med den givne tæthed er indeholdt i det angivne interval. Sandsynlighedsdensitetsfunktionen er pr. definition ikke-negativ i hele sit område, hvor integralet summerer til 1.

Definition og fortolkning

En sandsynlighedstæthedsfunktion (pdf) f_X(x) for en kontinuerlig tilfældig variabel X opfylder to grundlæggende krav:

• f_X(x) ≥ 0 for alle x.
• ∫_{-∞}^{∞} f_X(x) dx = 1.

Fortolkningen er: sandsynligheden for, at X ligger i et interval [a,b], beregnes som integralet

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx.

Bemærk, at sandsynligheden for præcis ét punkt er 0 for en kontinuerlig fordeling: P(X = x0) = 0 for alle x0.

Egenskaber og sammenhæng med fordelingsfunktionen

• Kumulativ fordelingsfunktion (cdf): F_X(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^x f_X(t) dt. Ved at differentiere cdf'en (hvor den er differentiabel) får man pdf'en: f_X(x) = F'_X(x).
• Forventning og varians (når de eksisterer):
• E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f_X(x) dx.
• Var(X) = ∫_{-∞}^{∞} (x - E[X])^2 f_X(x) dx = E[X^2] - (E[X])^2.
• Transformation: Hvis Y = g(X) og g er en differentiabel, invertibel funktion, så kan tætheden for Y findes som f_Y(y) = f_X(x) · |dx/dy|, hvor x = g^{-1}(y).
• Linearkombinationer: For lineære transformationer Y = aX + b gælder f_Y(y) = (1/|a|) f_X((y - b)/a).

Typiske fordelingseksempler

• Uniform på [a,b]:

  f_X(x) = 1/(b - a) for x ∈ [a,b], og 0 ellers. Her er sandsynligheden for et underinterval proportional med dets længde.

• Normalfordelingen N(μ, σ^2):

  f_X(x) = (1 / (√(2π) σ)) · exp(−(x − μ)^2 / (2σ^2)), for x ∈ ℝ. Normalfordelingen er kontinuerlig, symmetrisk om μ og karakteriseret ved middelværdi μ og standardafvigelse σ.

• Eksponentialfordelingen (λ > 0):

  f_X(x) = λ e^{−λ x} for x ≥ 0, og 0 ellers. Bruges ofte til at modellere ventetider mellem uafhængige hændelser.

Praktiske bemærkninger og faldgruber

• Man må ikke forveksle tæthed med sandsynlighed — tætheden er et mål pr. enheds længde; sandsynligheder fås ved integraler over intervaller.
• I nogle situationer forekommer blandede fordelinger, hvor der både er et diskret masser (atomiske sandsynligheder) og en kontinuert tæthed. Disse beskrives ikke fuldstændigt af en almindelig pdf alene.
• Der findes også singulære fordelinger (f.eks. Cantor-fordelingen) og tilfælde med tæthed repræsenteret formelt ved en Dirac-delta (bruges som notation for punktmasse), men disse kræver særlig behandling.
• Kontrollér enhed og skala: tætheder kan antage meget store eller små tal afhængig af måleenheder; kun integralerne har direkte probabilistisk mening.

Beregning i praksis

• For numeriske beregninger bruges ofte analytiske integraler, tabelopslag (fx for normalfordelingen) eller numeriske metoder (Simpson, quadrature) samt Monte Carlo-simulering.
• Ved modellering bør man vælge en families af fordelinger, der passer til dataens egenskaber (symmetri, haleadfærd, understøttet interval osv.).

Opsummering

Sandsynlighedstæthedsfunktionen f_X(x) beskriver, hvordan sandsynligheden er fordelt over værdierne af en kontinuerlig tilfældig variabel. Den er ikke-negativ, integrerer til 1, og sandsynligheder over intervaller opnås ved at integrere f_X over disse intervaller. Forståelse af pdf'ens egenskaber og relationer til cdf, forventning og transformationer er central i anvendt sandsynlighedsmodelering og statistik.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er en sandsynlighedstæthedsfunktion?

Spørgsmål: Hvordan skrives sandsynlighedsdensitetsfunktionen for en tilfældig variabel X?

Spørgsmål: Hvad repræsenterer integralet af sandsynlighedsdensitetsfunktionen?

Spørgsmål: Er sandsynlighedsdensitetsfunktionen altid ikke-negativ i hele sit område?

Spørgsmål: Kan integrering over et interval give summen 1?

Sp: Hvilken type fordeling karakteriserer en sandsynlighedsdensitetsfunktion?

Søg efter bogstav