Principia Mathematica — Whitehead og Russell om matematikkens grundlag og logik

Principia Mathematica — Whitehead & Russell: klassisk værk om matematikkens grundlag og symbolsk logik, historisk betydning og Gödel‑udfordringen.

For Isaac Newtons bog med de grundlæggende fysiske love, se Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

Principia Mathematica er et værk i tre bind om matematikkens grundlag af Alfred North Whitehead og Bertrand Russell. Det blev udgivet i 1910, 1912 og 1913. I 1927 udkom det i en anden udgave med en vigtig Introduktion til anden udgave og forskellige noter i slutningen. Den er ofte kendt som PM.

Bogen var et forsøg på at beskrive et sæt af aksiomer og slutningsregler i symbolsk logik, ud fra hvilke alle matematiske sandheder i princippet kunne bevises. Dette ambitiøse projekt er af stor betydning i matematikkens og filosofiens historie. Forfatterne troede på, at et sådant projekt kunne gennemføres. I 1931 beviste Gödels ufuldstændighedssætning imidlertid, at PM og ethvert andet forsøg aldrig ville kunne nå dette mål. For ethvert sæt af aksiomer og inferensregler, der blev foreslået, må systemet enten være inkonsistent, eller også må der faktisk være nogle matematiske sandheder, som ikke kan udledes af dem.

En af de vigtigste inspirationer og motiveringer til PM var Gottlob Freges tidligere arbejde med logikken.

PM skal ikke forveksles med Russells Principles of Mathematics fra 1903. I PM står der: "Det foreliggende værk var oprindeligt tiltænkt af os at være ... et andet bind af Principles of Mathematics... Men efterhånden som vi kom videre, blev det mere og mere tydeligt, at emnet er meget større end vi havde antaget ..."

Modern Library placerede den på 23. pladsen på en liste over de 100 bedste engelsksprogede faglitterære bøger fra det tyvende århundrede.

Formål og idé

Principia Mathematica blev skrevet i en tid, hvor man ønskede at give matematikken en fuldstændig og entydig logisk grund. Whitehead og Russell søgte at vise, at matematikken — talteori, aritmetik og videre — i sidste ende kunne reduceres til logik ved hjælp af en præcis symbolsk notation, klart formulerede aksiomer og slutningsregler. Denne holdning tilhører den filosofiske retning kaldet logicisme, hvor matematiske udsagn betragtes som logiske sandheder.

Opbygning og indhold

Værket er omfattende og teknisk. Kort sagt omfatter indholdet:

• udvikling af symbolsk logik (propositionel og predikatlogik),
• en teori for klasser og relationer,
• en ramme for at udlede tal og aritmetik fra logiske definitioner og aksiomer,
• udbygning mod mere avancerede dele af matematikken (f.eks. produktion af egenskaber ved naturlige og reelle tal).

Bindene følger en streng, formel fremstilling, hvor mange simple udsagn først bevises efter en lang række definitioner og lemmer. Et kendt eksempel, ofte nævnt for at illustrere værkets omfang, er det lange forløb frem til det formelle bevis for udsagnet, at 1+1=2 — beviset forekommer først langt inde i systemet, efter at alle nødvendige begreber er omhyggeligt opbygget.

Type-teori og Russell-paradokset

Et centralt element i PM er teorien om typer, indført for at undgå selvhenførende definitioner og de paradokser, som var blevet påvist (bl.a. det såkaldte Russell-paradoks). I PM bruger Whitehead og Russell en kompleks form af ramificeret type-teori sammen med en særlig postulat kaldet axiomet om reducibilitet. Aksiomet om reducibilitet blev indført, fordi type-teorien i sin rene form gjorde det svært eller umuligt at genvinde visse centrale matematiske resultater; reduktilitet skulle sikre, at de sædvanlige matematiske metoder kunne rekonstrueres. Dette var dog en kontroversiel og teknisk løsning, som senere kritikere fandt utilfredsstillende.

Notation, stil og læsbarhed

Teksten er skrevet i en tung, symboltung stil, og den kræver tålmodighed og præcis forståelse af notation og definitionshierarkier. Forfatterne følger en streng formel fremgangsmåde — hvert trin i et bevis er ofte ekspliceret — hvilket gør bogen både af stor teknisk værdi og relativt svær tilgængelig for læsere uden solid baggrund i formel logik. Af samme grund har mange senere arbejdet i andre formelle systemer (f.eks. Zermelo–Fraenkel-mængdeteori) for at indføre enklere eller mere intuitivt acceptable grundlag.

Indflydelse, kritik og eftermæle

Principia Mathematica havde stor indflydelse på udviklingen af moderne logik, filosofi og teorien om formelle systemer. Den inspirerede senere arbejde inden for logik, teoretisk datalogi og filosofisk analyse. Samtidig fik værket kritik: dels for den komplekse og teknisk tunge type-teori, dels fordi axiomatiske valg som axiomet om reducibilitet syntes ad hoc. Endelig viste Gödels ufuldstændighedssætning i 1931, at projectet om at reducere al matematik til et komplet og konsistent aksiomatisk logisk system i sin mest ambitiøse form ikke kunne lykkes — enhver tilstrækkelig stærk formel teori vil indeholde sande udsagn, som ikke kan bevises inden for teorien.

Værkets historiske betydning

Selvom nogle af de konkrete tekniske løsninger i PM senere blev erstattet eller omgået, står værket tilbage som et milepæl i forståelsen af, hvad formel logik kan og ikke kan opnå. Det var et nøgleværk i overgangen fra klassisk til moderne logik, og det har også haft betydning for filosoffer og matematikere, der arbejder med spørgsmål om sprog, bevis, definabilitet og grundlaget for matematiske begreber.

Praktiske bemærkninger

• For nutidige studier af grundlagsproblemer i matematik foretrækkes ofte mere kompakte og teknisk enklere systemer (f.eks. Zermelo–Fraenkel-mængdeteori med eller uden valgaxiomet), men historisk og filosofisk er PM uundværlig.
• Der findes kommenterede udgaver og moderne analyser, som forklarer notation og motivation og gør værket lettere tilgængeligt for den interesserede læser.

Samlet set er Principia Mathematica et monumentalt arbejde: et ambitiøst forsøg på at formalisere hele matematikken som deduktion i et logisk system. Selvom dets oprindelige målsætning om fuldstændig logisk reduktion af al matematik blev begrænset af senere resultater, har værket haft varig betydning for matematikens og filosofiens udvikling.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er titlen på Isaac Newtons bog?

Spørgsmål: Hvem skrev Principia Mathematica?

Spørgsmål: Hvornår blev Principia Mathematica udgivet?

Spørgsmål: Hvad mente forfatterne, at de kunne gøre med bogen?

Spørgsmål: Hvordan beviste Gödels ufuldstændighedsteorem, at dette mål var umuligt?

Spørgsmål: Hvem inspirerede og motiverede PM?

Spørgsmål: Hvordan adskiller PM sig fra Russells Principles of Mathematics fra 1903?

Søg efter bogstav