Stamfunktion | processen med at finde en bestemt funktion i beregning

Antidifferentiering (også kaldet ubestemt integration) er processen med at finde en bestemt funktion i regning. Det er det modsatte af differentiering. Det er en måde at behandle en funktion på for at give en anden funktion (eller en klasse af funktioner), der kaldes en antiderivativ. Antidifferentiation er som integration - men uden grænser. Det er derfor, den kaldes ubestemt integration. Når de repræsenteres som enkeltbogstaver, har antiderivativer ofte form af store romerske bogstaver som f.eks. F {\displaystyle F} og G {\displaystyle G} $G$ .

Generelt skrives en antiderivativ på formen ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\ dx} $\int f(x)\ dx$ , hvor:

Simpel antidifferentiering

En funktion af formen a x n {\displaystyle ax^{n}}} $ax^{n}$ kan integreres (antidifferentieres) på følgende måde:

Tilføj 1 til potensen n {\displaystyle n} , så a x n {\displaystyle ax^{n}}} $ax^{n}$ er nu a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}} $ax^{n+1}$ .
Divider alt dette med den nye potens, så det nu er a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}}} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}$ .
Tilføj konstanten c {\displaystyle c} $c$ , så det nu er a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$ .

Dette kan vises som:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\\ dx={\frac {ax^{n+1}}}{n+1}}+c} $\int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$ (også kendt som potensreglen for integral)

Når der er mange termer, kan vi integrere hele funktionen ved at integrere dens komponenter en efter en:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 7 - 5 x 5 5 5 5 + c = 2 7 x 7 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}}+c={\frac {2}{7}}}x^{7}-x^{5}+c} $\int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c$

(Dette virker kun, hvis der tilføjes eller fjernes dele.)

Eksempler

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={{\frac {3x^{5}}}{5}}}+c} $\int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c$

∫ x + x 2 + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 2 + x 3 3 3 + x 4 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}}+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {x^{4}}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}}+c} $\int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c$

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {\frac {1}{x+4}}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c} $\int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c$

Det er nemmere at ændre brøker og rødder til potenser ved at omdanne dem til potenser:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 2 + c {\displaystyle \int {\frac {\frac {1}{x^{3}}}}\ dx=\int x^{-3}}\ dx={\frac {x^{-2}}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}}}+c} $\int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c$

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 5 2 + c = 2 5 x 5 5 2 + c = 2 5 x 5 5 2 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}}\ dx=\int x^{\{\frac {3}{2}}}\ dx={\frac {x^{{\frac {5}{2}}}}{\frac {5}{2}}}}+c={\frac {2}{5}}}x^{{\frac {5}{2}{2}}}+c={\frac {2}{5}}}{\sqrt {x^{5}}}}+c} $\int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c$

Integrering af en parentes ("kæderegel")

For at integrere en parentes som ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} $(2x+4)^{3}$ er der brug for en anden metode. Den kaldes kædereglen. Det er ligesom simpel integration, men den virker kun, hvis x {\displaystyle x} i parentesen er lineær (har en potens af 1), som f.eks. x {\displaystyle x} eller 5 x {\displaystyle 5x} $5x$ -men ikke x 5 {\displaystyle x^{{5}}} $x^{5}$ eller x - 7 {\displaystyle x^{-7}} $x^{-7}$ .

For eksempel kan ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} $\int (2x+4)^{3}\ dx$ bestemmes i følgende trin:

Læg 1 til potensen 3 {\displaystyle 3} $3$ , så det nu er ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}} $(2x+4)^{4}$
Divider alt dette med den nye potens for at få ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}}{4}}}} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4}}$
Divider alt dette med den afledte af parentesen ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} $\left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)$ for at få ( 2 x + 4 ) 4 4 4 ⋅ 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}}{4\cdot 2}}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}$
Tilføj konstanten c {\displaystyle c} $c$ for at få 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}+c} ${\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c$

Eksempler

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 6 × 1 + c = 1 6 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ $\int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)$

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ $\int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)$

Relaterede sider

Grundlæggende sætning i regning
Integral
Numerisk integration
Delvis nedbrydning af brøkdele

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er antidifferentiering?

A: Antidifferentiering (også kaldet ubestemt integration) er processen til at finde en bestemt funktion i regnearket. Det er det modsatte af differentiering og indebærer, at en funktion bearbejdes til en anden funktion (eller en klasse af funktioner), der kaldes en antiderivativ.

Spørgsmål: Hvordan repræsenteres det?

Svar: Når antiderivativer repræsenteres som enkeltbogstaver, har antiderivativer ofte form af store romerske bogstaver som F og G. Generelt skrives en antiderivativ på formen ∫f(x) dx.

Spørgsmål: Hvad indebærer antidifferentiation?

Svar: Antidifferentiering indebærer behandling af en funktion for at give en anden funktion (eller en klasse af funktioner), der kaldes en antiderivativ.

Spørgsmål: Hvordan adskiller den sig fra integration?

Svar: Antidifferentiering adskiller sig fra integration ved ikke at involvere grænser - det er derfor, den kaldes ubestemt integration.

Spørgsmål: Hvad er nogle eksempler på, hvordan antidifferentiation kan udtrykkes?

A: Eksempler på, hvordan antidifferentiation kan udtrykkes, er F og G, når de er repræsenteret som enkeltbogstaver, eller ∫f(x) dx, når de er skrevet i generel form.

Stamfunktion | processen med at finde en bestemt funktion i beregning

Simpel antidifferentiering

Eksempler

Integrering af en parentes ("kæderegel")

Eksempler

Relaterede sider

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er antidifferentiering?

Spørgsmål: Hvordan repræsenteres det?

Spørgsmål: Hvad indebærer antidifferentiation?

Spørgsmål: Hvordan adskiller den sig fra integration?

Spørgsmål: Hvad er nogle eksempler på, hvordan antidifferentiation kan udtrykkes?

Søg efter bogstav