Antidifferentiering (også kaldet ubestemt integration) er processen med at finde en funktion i regning, som differentiering vender tilbage til en given funktion. Det er det modsatte af differentiering. Ved antidifferentiering søger man en funktion (eller en klasse af funktioner), som kaldes en antiderivativ eller en stamfunktion. Antidifferentiation svarer til integration - men uden grænser, derfor kaldes det ubestemt integration. Når antiderivativet skrives med et enkelt bogstav, bruges ofte store bogstaver som f.eks. .eks. F og {\displaystyle G}.

Generelt skrives en antiderivativ på formen {\displaystyle \int f(x)\ dx}, hvor man søger en funktion F(x) sådan at F'(x) = f(x).

Vigtige begreber

  • Stamfunktion / antiderivativ: En funktion F(x) med F'(x) = f(x).
  • Hel familie: Hvis F er en stamfunktion til f, så er alle stamfunktioner givet ved F(x) + C, hvor C er en konstant (kaldet integrationskonstanten).
  • Ubestemt vs. bestemt integral: Ubestemt integral angiver en familie af funktioner (ingen grænser). Bestemt integral har øvre og nedre grænser og giver et tal (areal) — de to begreber er nært beslægtede gennem hovedsætningen i integralregning.

Grundlæggende regler og formler

  • Lineæritet: ∫[a f(x) + b g(x)] dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx, hvor a og b er konstante.
  • Potensregel (n ≠ −1): ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C.
  • Særlig case n = −1: ∫ x^(−1) dx = ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
  • Eksponentialfunktion: ∫ e^x dx = e^x + C. For konstant a: ∫ e^{ax} dx = (1/a) e^{ax} + C.
  • Trigonometriske funktioner:
    • ∫ sin x dx = −cos x + C
    • ∫ cos x dx = sin x + C
    • ∫ sec^2 x dx = tan x + C
    • ∫ 1/(1+x^2) dx = arctan x + C
  • Hyperbolske funktioner: ∫ sinh x dx = cosh x + C, ∫ cosh x dx = sinh x + C.

Metoder

  • Substitution (u-sub): Bruges når integranden indeholder en sammensætning f(g(x))·g'(x). Man sætter u = g(x) og omskriver dx i form af du. Eksempel:
    ∫ 2x (x^2 + 1)^3 dx. Sæt u = x^2 + 1 => du = 2x dx. Da bliver integralet ∫ u^3 du = u^4/4 + C = (x^2 + 1)^4/4 + C.
  • Partiel integration: Bruges når integranden er produkt af funktioner, hvor man kan reducere kompleksiteten: ∫ u dv = u v − ∫ v du.
    Eksempel: ∫ x e^x dx. Vælg u = x (så du = dx) og dv = e^x dx (så v = e^x). Dermed ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = e^x(x − 1) + C.
  • Delvis brudt rationalfunktion / partialbrøksopløsning: For rationelle funktioner (polynomium/polynomium) kan man ofte bruge polynomdivision og derefter partialbrøksopløsning, før man integrerer.
  • Trigonometriske substitutioner: Bruges for integrander med udtryk som √(a^2 − x^2), √(a^2 + x^2) eller √(x^2 − a^2).

Eksempler med trin

  • Eksempel 1 — Potensregel:
    ∫ x^2 dx = x^3/3 + C.
  • Eksempel 2 — Logaritme:
    ∫ 1/x dx = ln|x| + C (for x ≠ 0).
  • Eksempel 3 — Substitution (se ovenfor):
    ∫ 2x (x^2 + 1)^3 dx = (x^2 + 1)^4/4 + C.
  • Eksempel 4 — Partiel integration (se ovenfor):
    ∫ x e^x dx = e^x(x − 1) + C.

Tips til kontrol

  • Kontroller ved differentiering: Differentier din fundne stamfunktion F(x). Hvis F'(x) = f(x), så er F korrekt (op til en konstant).
  • Unikhed: To stamfunktioner til samme f adskiller sig altid kun med en konstant: hvis F og G er stamfunktioner, så er F(x) − G(x) = C (konstant).

Afsluttende bemærkning: Antidifferentiering er et essentielt værktøj i matematik og anvendes blandt andet til at bestemme arealer, løse differentialligninger og beskrive akkumulerede størrelser. Jo flere teknikker (substitution, partiel integration, partialbrøksopløsning osv.) du lærer, desto flere typer integraler kan du løse.