Hilberts problemer

Problem

Kort forklaring

Status

År løst

1.

Kontinuumshypotesen (dvs. at der ikke findes nogen mængde, hvis kardinalitet ligger strengt mellem de hele tal og de reelle tal)

Det har vist sig umuligt at bevise eller modbevise inden for Zermelo-Fraenkel mængdelæren med eller uden valgaxiomet (forudsat at Zermelo-Fraenkel mængdelæren med eller uden valgaxiomet er konsistent, dvs. at den ikke indeholder to sætninger, hvor den ene er en negation af den anden). Der er ikke enighed om, hvorvidt dette er en løsning på problemet.

1963

2.

Bevis, at de aritmetiske aksiomer er konsistente.

Der er ikke enighed om, hvorvidt Gödels og Gentzens resultater giver en løsning på det problem, som Hilbert har beskrevet. Gödels anden ufuldstændighedssætning, der blev bevist i 1931, viser, at der ikke kan føres bevis for dens konsistens inden for selve aritmetikken. Gentzens konsistensbevis (1936) viser, at konsistensen af aritmetikken følger af ordinalen ε₀ s velbegrundethed.

1936?

3.

Er det altid muligt at skære det første af to polyedre af samme volumen i endeligt mange polyedre stykker, som kan samles igen for at give det andet?

Løst. Resultat: nej, bevist ved hjælp af Dehn-invarianter.

1900

4.

Konstruere alle metriske størrelser, hvor linjerne er geodætiske linjer.

For vagt til at kunne fastslå, om det er løst eller ej.

-

5.

Er kontinuerlige grupper automatisk differentielle grupper?

Løst af Andrew Gleason eller Hidehiko Yamabe, afhængigt af hvordan den oprindelige erklæring fortolkes. Hvis det imidlertid forstås som en ækvivalent til Hilbert-Smiths formodning, er det stadig uløst.

1953?

6.

Axiomatiserer hele fysikken

Delvist løst.

-

7.

Er a  ^btranscendentalt for algebraisk a ≠ 0,1 og irrationelt algebraisk b ?

Løst. Resultat: Ja, illustreret ved Gelfond-sætningen eller Gelfond-Schneider-sætningen.

1934

8.

Riemann-hypotesen ("den reelle del af ethvert ikke-trivielt nulpunkt i Riemanns zeta-funktion er ½") og andre primtalsproblemer, bl.a. Goldbachs formodning og den dobbelte primtalformodning

Uopklaret.

-

9.

Find den mest generelle lov for gensidighedssætningen i ethvert algebraisk talfelt

Delvist løst.

-

10.

Find en algoritme til at bestemme, om en given diophantinsk polynomiel ligning med heltals koefficienter har en heltalsløsning.

Løst. Resultat: umuligt, Matiyasevichs sætning indebærer, at der ikke findes en sådan algoritme.

1970

11.

Løsning af kvadratiske former med algebraiske numeriske koefficienter.

Delvist løst. ^[]

-

12.

Udvid Kronecker-Weber-sætningen om abelske udvidelser af de rationelle tal til et hvilket som helst grundtalsfelt.

Delvis løst ved hjælp af klassefeltteori, selv om løsningen ikke er så eksplicit som Kronecker-Weber-sætningen.

-

13.

Løsning af ligninger af 7. grad ved hjælp af kontinuerte funktioner med to parametre.

Uopklaret. Problemet blev delvist løst af Vladimir Arnold på grundlag af Andrey Kolmogorovs arbejde.

1957

14.

Er ringen af invarianter af en algebraisk gruppe, der handler på en polynomialring, altid endeligt genereret?

Løst. Resultat: nej, modeksemplet blev konstrueret af Masayoshi Nagata.

1959

15.

Stramt grundlag for Schuberts enumerativ beregning.

Delvist løst. ^[]

-

16.

Beskrive relative positioner af ovaler, der stammer fra en reel algebraisk kurve og som grænsecyklusser af et polynomisk vektorfelt i planen.

Uopklaret.

-

17.

Udtryk for en bestemt rationel funktion som kvotient af kvadratsummene

Besluttet af Emil Artin og Charles Delzell. Resultat: Der blev fastsat en øvre grænse for det nødvendige antal kvadrattermer. Det er stadig et åbent problem at finde en nedre grænse.

1927

18.

(a) Findes der et polyeder, som kun tillader en anisoedrisk flisebelægning i tre dimensioner?
(b) Hvad er den tætteste kuglepakning?

(a) Besluttet. Resultat: ja (af Karl Reinhardt).
(b) Løst af Thomas Callister Hales ved hjælp af computerstøttet bevisførelse. Resultat: kubisk tæt pakning og hexagonal tæt pakning, som begge har en tæthed på ca. 74 %.

(a) 1928
(b) 1998

19.

Er Lagrangians løsninger altid analytiske?

Løst. Resultat: Ja, bevist af Ennio de Giorgi og, uafhængigt af hinanden og med forskellige metoder, af John Forbes Nash.

1957

20.

Har alle variationsproblemer med visse randbetingelser løsninger?

Løst. Et vigtigt forskningsemne i hele det 20. århundrede, som kulminerede med løsninger^[] for det ikke-lineære tilfælde.

-

21.

Bevis for eksistensen af lineære differentialligninger med en foreskrevet monodromisk gruppe

Løst. Resultat: Ja eller nej, afhængigt af mere præcise formuleringer af problemet. ^[]

-

22.

Uniformisering af analytiske relationer ved hjælp af automorfe funktioner

Løst. ^[]

-

23.

Videreudvikling af variationsregning

Uopklaret.

-