I 1900 offentliggjorde matematikeren David Hilbert en liste over 23 uløste matematiske problemer. Listen over problemer viste sig at være meget indflydelsesrig. Efter Hilberts død blev der fundet endnu et problem i hans skrifter; dette er i dag undertiden kendt som Hilberts 24. problem. Dette problem handler om at finde kriterier til at vise, at en løsning på et problem er den enkleste mulige løsning.

Af de 23 problemer var tre uløste i 2012, tre var for vage til at blive løst, og seks kunne delvist løses. På grund af problemets indflydelse udarbejdede Clay Mathematics Institute en lignende liste, kaldet Millennium Prize Problems, i 2000.

Baggrund og betydning

Hilberts liste blev præsenteret ved den Internationale Matematikerkongres i Paris i 1900 og fungerede som en agenda for matematisk forskning i det 20. århundrede. Spørgsmålene spænder vidt — fra talteori og algebra til topologi, funktionalanalyse og grundlaget for matematikken — og flere af dem førte til udviklingen af helt nye felter eller teknikker. Hilberts tilgang var både konkret (specifikke udsagn) og programmatisk (fremme af bestemte forskningsretninger), og derfor har hans problemer haft en varig indflydelse på, hvordan matematikere prioriterer og formulerer vigtige spørgsmål.

Status for problemerne — oversigt

Status for de enkelte problemer varierer meget: nogle er løst fuldstændigt, andre er modbevist eller vist umulige i den oprindelige form, nogle er kun delvist løst, og enkelte forbliver åbne eller uklare i deres formulering. Nedenfor er en kort oversigt med eksempler på velkendte resultater og fortsat åbne spørgsmål:

  • Uafgørlige eller konceptuelt løste: Hilberts 1. problem (kontinuumhypotesen) viste sig at være uafgørligt for de gængse aksiomsystemer (Gödel og Cohen viste uafhængighed af ZF), og Hilberts 2. problem (konsistensbeviser for aritmetik) blev stærkt påvirket af Gödels ufuldstændighedssætninger, som satte grænser for Hilberts oprindelige program.
  • Fuldt eller væsentligt løst:
    • 3. problem — Max Dehn gav en løsning vedrørende opdeling af polyedre (1900'erne).
    • 5. problem — Hilberts femte problem om topologiske grupper blev løst af blandt andre Gleason, Montgomery og Zippin i 1950'erne.
    • 7. problem — Gelfond–Schneider-teoremet (1934) løste spørgsmålet om transcedens i mange tilfælde.
    • 10. problem — Matiyasevich (1970) viste, at der ikke findes en algoritme, der afgør løsbarheden af vilkårlige Diofantiske ligninger (negativ løsning).
    • 14. problem — Zariski viste, at svaret er negativt i fulgens tilfælde ved hjælp af modeksempler (1950'erne).
    • 17. problem — Artin (1927) beviste, at ethvert ikke-negativt polynomium kan skrives som sum af kvadrater af rationale funktioner.
    • 19. og 20. problem — væsentlige resultater om regulæritet og eksistens for elliptiske og variationelle problemer blev etableret i midten af det 20. århundrede (De Giorgi, Nash, Lax, Milgram m.fl.).
    • 18. problem — dele om krystallografiske grupper og gulv-/pakningsproblemer er løst; Keplers formodning blev formelt bevist af Hales, og senere gennembrud i sfærepakning i enkelte dimensioner (fx Viazovska i 2016) har løst specifikke tilfælde.
  • Delvist løst eller nuanceret:
    • 9., 11., 15., 21. og 22. problem er i flere tilfælde blevet afklaret ved udviklingen af klassefelteori, repræsentationsteori og studier af differentialligningers monodromi; nogle udsagn viste sig at kræve præcisering eller fik modeksempler.
    • 13. problem — spørgsmål om repræsentation af løsning af 7.-gradsligninger blev i vid udstrækning adresseret gennem arbejder af Kolmogorov og Arnold om superpositioner (mange versioner betragtes som løst), men tekniske varianter fører stadig til forskning.
  • Fortsat åbne:
    • 8. problem — indeholder Riemann-hypotesen og Goldbach-formodningen; Riemann-hypotesen er stadig et af de mest berømte uløste problemer.
    • 12. problem — Hilberts 12. om eksplicit klassefeltteori blev delvist løst for enkelte talfelter (fx komplekse multiplikation for imaginære kvadratiske felter), men den generelle form af Hilberts erklærede mål er stadig uopfyldt.
    • 16. problem — om placeringen og antallet af ovale kurver for reelle algebraiske planprojektioner er fortsat uafsluttet i sin fulde generalitet.
  • Programmatisk eller vagt formulerede: Hilberts 6., 23. og i nogen grad 24. problem er mere programmatisk eller metodologiske end enkelte, knappe udsagn. De har i stedet inspireret til lange forskningsprogrammer (axiomatisering af fysik, udvikling af variationskalkyle, kriterier for enkelhed i beviser osv.).

Eksempler på vigtige løsninger og personer

  • Max Dehn — løsning af 3. problem om polyedres dekomposition.
  • Gelfond & Schneider — store fremskridt på 7. problem omkring transcendens.
  • Emil Artin — løsning af 17. problem (repræsentation som sum af kvadrater af rationale funktioner).
  • Yuri Matiyasevich — afsluttede Hilberts 10. problem ved at vise ikke-eksistensen af en generel sådan algoritme (1970).
  • John von Neumann, Kurt Gödel m.fl. — deres arbejder om logik og grundlag viste begrænsninger og konsekvenser for Hilberts program (især for 2. problem).
  • Thomas Hales, Maryna Viazovska og andre — moderne resultater på pakningsproblemer, som berører 18. problem.

Hilberts 24. problem og eftermæle

Hilberts 24. problem fremkom først i hans private noter og omhandler ønsket om kriterier til at vurdere, hvornår en løsning eller et bevis er "simpelt" eller "mest elegant". Dette emne er blevet genstand for forskning i logik, proof theory og automatiseret beviskontrol, især i forbindelse med udviklingen af computersystemer til formelle beviser.

Samlet set har Hilberts problemer været en kraftfuld inspirationskilde. Nogle problemer blev afsluttet hurtigt, andre førte til dybe teorier, og flere forbliver drivkraft for aktuel forskning. Hilberts liste illustrerer, hvordan velvalgte spørgsmål kan forme matematikudviklingen i generationer — det er også baggrunden for at institutioner som Clay Mathematics Institute senere udpegede egne store åbne problemer (Millennium Prize Problems) med lignende ambition: at fokusere forskning på centrale, svære spørgsmål.