Hilberts problemer — Definition, historie og oversigt over de 23 problemer
I 1900 offentliggjorde matematikeren David Hilbert en liste over 23 uløste matematiske problemer. Listen over problemer viste sig at være meget indflydelsesrig. Efter Hilberts død blev der fundet endnu et problem i hans skrifter; dette er i dag undertiden kendt som Hilberts 24. problem. Dette problem handler om at finde kriterier til at vise, at en løsning på et problem er den enkleste mulige løsning.
Af de 23 problemer var tre uløste i 2012, tre var for vage til at blive løst, og seks kunne delvist løses. På grund af problemets indflydelse udarbejdede Clay Mathematics Institute en lignende liste, kaldet Millennium Prize Problems, i 2000.
Baggrund og betydning
Hilberts liste blev præsenteret ved den Internationale Matematikerkongres i Paris i 1900 og fungerede som en agenda for matematisk forskning i det 20. århundrede. Spørgsmålene spænder vidt — fra talteori og algebra til topologi, funktionalanalyse og grundlaget for matematikken — og flere af dem førte til udviklingen af helt nye felter eller teknikker. Hilberts tilgang var både konkret (specifikke udsagn) og programmatisk (fremme af bestemte forskningsretninger), og derfor har hans problemer haft en varig indflydelse på, hvordan matematikere prioriterer og formulerer vigtige spørgsmål.
Status for problemerne — oversigt
Status for de enkelte problemer varierer meget: nogle er løst fuldstændigt, andre er modbevist eller vist umulige i den oprindelige form, nogle er kun delvist løst, og enkelte forbliver åbne eller uklare i deres formulering. Nedenfor er en kort oversigt med eksempler på velkendte resultater og fortsat åbne spørgsmål:
- Uafgørlige eller konceptuelt løste: Hilberts 1. problem (kontinuumhypotesen) viste sig at være uafgørligt for de gængse aksiomsystemer (Gödel og Cohen viste uafhængighed af ZF), og Hilberts 2. problem (konsistensbeviser for aritmetik) blev stærkt påvirket af Gödels ufuldstændighedssætninger, som satte grænser for Hilberts oprindelige program.
- Fuldt eller væsentligt løst:
- 3. problem — Max Dehn gav en løsning vedrørende opdeling af polyedre (1900'erne).
- 5. problem — Hilberts femte problem om topologiske grupper blev løst af blandt andre Gleason, Montgomery og Zippin i 1950'erne.
- 7. problem — Gelfond–Schneider-teoremet (1934) løste spørgsmålet om transcedens i mange tilfælde.
- 10. problem — Matiyasevich (1970) viste, at der ikke findes en algoritme, der afgør løsbarheden af vilkårlige Diofantiske ligninger (negativ løsning).
- 14. problem — Zariski viste, at svaret er negativt i fulgens tilfælde ved hjælp af modeksempler (1950'erne).
- 17. problem — Artin (1927) beviste, at ethvert ikke-negativt polynomium kan skrives som sum af kvadrater af rationale funktioner.
- 19. og 20. problem — væsentlige resultater om regulæritet og eksistens for elliptiske og variationelle problemer blev etableret i midten af det 20. århundrede (De Giorgi, Nash, Lax, Milgram m.fl.).
- 18. problem — dele om krystallografiske grupper og gulv-/pakningsproblemer er løst; Keplers formodning blev formelt bevist af Hales, og senere gennembrud i sfærepakning i enkelte dimensioner (fx Viazovska i 2016) har løst specifikke tilfælde.
- Delvist løst eller nuanceret:
- 9., 11., 15., 21. og 22. problem er i flere tilfælde blevet afklaret ved udviklingen af klassefelteori, repræsentationsteori og studier af differentialligningers monodromi; nogle udsagn viste sig at kræve præcisering eller fik modeksempler.
- 13. problem — spørgsmål om repræsentation af løsning af 7.-gradsligninger blev i vid udstrækning adresseret gennem arbejder af Kolmogorov og Arnold om superpositioner (mange versioner betragtes som løst), men tekniske varianter fører stadig til forskning.
- Fortsat åbne:
- 8. problem — indeholder Riemann-hypotesen og Goldbach-formodningen; Riemann-hypotesen er stadig et af de mest berømte uløste problemer.
- 12. problem — Hilberts 12. om eksplicit klassefeltteori blev delvist løst for enkelte talfelter (fx komplekse multiplikation for imaginære kvadratiske felter), men den generelle form af Hilberts erklærede mål er stadig uopfyldt.
- 16. problem — om placeringen og antallet af ovale kurver for reelle algebraiske planprojektioner er fortsat uafsluttet i sin fulde generalitet.
- Programmatisk eller vagt formulerede: Hilberts 6., 23. og i nogen grad 24. problem er mere programmatisk eller metodologiske end enkelte, knappe udsagn. De har i stedet inspireret til lange forskningsprogrammer (axiomatisering af fysik, udvikling af variationskalkyle, kriterier for enkelhed i beviser osv.).
Eksempler på vigtige løsninger og personer
- Max Dehn — løsning af 3. problem om polyedres dekomposition.
- Gelfond & Schneider — store fremskridt på 7. problem omkring transcendens.
- Emil Artin — løsning af 17. problem (repræsentation som sum af kvadrater af rationale funktioner).
- Yuri Matiyasevich — afsluttede Hilberts 10. problem ved at vise ikke-eksistensen af en generel sådan algoritme (1970).
- John von Neumann, Kurt Gödel m.fl. — deres arbejder om logik og grundlag viste begrænsninger og konsekvenser for Hilberts program (især for 2. problem).
- Thomas Hales, Maryna Viazovska og andre — moderne resultater på pakningsproblemer, som berører 18. problem.
Hilberts 24. problem og eftermæle
Hilberts 24. problem fremkom først i hans private noter og omhandler ønsket om kriterier til at vurdere, hvornår en løsning eller et bevis er "simpelt" eller "mest elegant". Dette emne er blevet genstand for forskning i logik, proof theory og automatiseret beviskontrol, især i forbindelse med udviklingen af computersystemer til formelle beviser.
Samlet set har Hilberts problemer været en kraftfuld inspirationskilde. Nogle problemer blev afsluttet hurtigt, andre førte til dybe teorier, og flere forbliver drivkraft for aktuel forskning. Hilberts liste illustrerer, hvordan velvalgte spørgsmål kan forme matematikudviklingen i generationer — det er også baggrunden for at institutioner som Clay Mathematics Institute senere udpegede egne store åbne problemer (Millennium Prize Problems) med lignende ambition: at fokusere forskning på centrale, svære spørgsmål.
Resumé
Visse problemer er bedre formuleret end andre. Af de rent formulerede Hilbert-problemer har problem 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 og 21 en løsning, der er accepteret i enighed. På den anden side har problemerne 1, 2, 5, 9, 15, 18+ og 22 løsninger, der er delvist accepteret, men der er uenighed om, hvorvidt det løser problemet.
Løsningen på problem 18, Kepler-konjekturen, er et computerassisteret bevis. Dette er kontroversielt, fordi en menneskelig læser ikke er i stand til at verificere beviset på rimelig tid.
Dermed er der 16, 8 (Riemann-hypotesen) og 12 uopklarede. I denne klassifikation er 4, 16 og 23 for vage til nogensinde at blive beskrevet som løst. Den tilbagetrukne 24 ville også være i denne klasse. 6 betragtes som et problem inden for fysik snarere end inden for matematik.
Tabel over problemer
Hilberts treogtyve problemer er:
| Problem | Kort forklaring | Status | År løst |
| 1. | Kontinuumshypotesen (dvs. at der ikke findes nogen mængde, hvis kardinalitet ligger strengt mellem de hele tal og de reelle tal) | Det har vist sig umuligt at bevise eller modbevise inden for Zermelo-Fraenkel mængdelæren med eller uden valgaxiomet (forudsat at Zermelo-Fraenkel mængdelæren med eller uden valgaxiomet er konsistent, dvs. at den ikke indeholder to sætninger, hvor den ene er en negation af den anden). Der er ikke enighed om, hvorvidt dette er en løsning på problemet. | 1963 |
| 2. | Bevis, at de aritmetiske aksiomer er konsistente. | Der er ikke enighed om, hvorvidt Gödels og Gentzens resultater giver en løsning på det problem, som Hilbert har beskrevet. Gödels anden ufuldstændighedssætning, der blev bevist i 1931, viser, at der ikke kan føres bevis for dens konsistens inden for selve aritmetikken. Gentzens konsistensbevis (1936) viser, at konsistensen af aritmetikken følger af ordinalen ε0 s velbegrundethed. | 1936? |
| 3. | Er det altid muligt at skære det første af to polyedre af samme volumen i endeligt mange polyedre stykker, som kan samles igen for at give det andet? | Løst. Resultat: nej, bevist ved hjælp af Dehn-invarianter. | 1900 |
| 4. | Konstruere alle metriske størrelser, hvor linjerne er geodætiske linjer. | For vagt til at kunne fastslå, om det er løst eller ej. | - |
| 5. | Er kontinuerlige grupper automatisk differentielle grupper? | Løst af Andrew Gleason eller Hidehiko Yamabe, afhængigt af hvordan den oprindelige erklæring fortolkes. Hvis det imidlertid forstås som en ækvivalent til Hilbert-Smiths formodning, er det stadig uløst. | 1953? |
| 6. | Axiomatiserer hele fysikken | Delvist løst. | - |
| 7. | Er a btranscendentalt for algebraisk a ≠ 0,1 og irrationelt algebraisk b ? | Løst. Resultat: Ja, illustreret ved Gelfond-sætningen eller Gelfond-Schneider-sætningen. | 1934 |
| 8. | Riemann-hypotesen ("den reelle del af ethvert ikke-trivielt nulpunkt i Riemanns zeta-funktion er ½") og andre primtalsproblemer, bl.a. Goldbachs formodning og den dobbelte primtalformodning | Uopklaret. | - |
| 9. | Find den mest generelle lov for gensidighedssætningen i ethvert algebraisk talfelt | Delvist løst. | - |
| 10. | Find en algoritme til at bestemme, om en given diophantinsk polynomiel ligning med heltals koefficienter har en heltalsløsning. | Løst. Resultat: umuligt, Matiyasevichs sætning indebærer, at der ikke findes en sådan algoritme. | 1970 |
| 11. | Løsning af kvadratiske former med algebraiske numeriske koefficienter. | Delvist løst. [] | - |
| 12. | Udvid Kronecker-Weber-sætningen om abelske udvidelser af de rationelle tal til et hvilket som helst grundtalsfelt. | Delvis løst ved hjælp af klassefeltteori, selv om løsningen ikke er så eksplicit som Kronecker-Weber-sætningen. | - |
| 13. | Løsning af ligninger af 7. grad ved hjælp af kontinuerte funktioner med to parametre. | Uopklaret. Problemet blev delvist løst af Vladimir Arnold på grundlag af Andrey Kolmogorovs arbejde. | 1957 |
| 14. | Er ringen af invarianter af en algebraisk gruppe, der handler på en polynomialring, altid endeligt genereret? | Løst. Resultat: nej, modeksemplet blev konstrueret af Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15. | Stramt grundlag for Schuberts enumerativ beregning. | Delvist løst. [] | - |
| 16. | Beskrive relative positioner af ovaler, der stammer fra en reel algebraisk kurve og som grænsecyklusser af et polynomisk vektorfelt i planen. | Uopklaret. | - |
| 17. | Udtryk for en bestemt rationel funktion som kvotient af kvadratsummene | Besluttet af Emil Artin og Charles Delzell. Resultat: Der blev fastsat en øvre grænse for det nødvendige antal kvadrattermer. Det er stadig et åbent problem at finde en nedre grænse. | 1927 |
| 18. | (a) Findes der et polyeder, som kun tillader en anisoedrisk flisebelægning i tre dimensioner? | (a) Besluttet. Resultat: ja (af Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | Er Lagrangians løsninger altid analytiske? | Løst. Resultat: Ja, bevist af Ennio de Giorgi og, uafhængigt af hinanden og med forskellige metoder, af John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Har alle variationsproblemer med visse randbetingelser løsninger? | Løst. Et vigtigt forskningsemne i hele det 20. århundrede, som kulminerede med løsninger[] for det ikke-lineære tilfælde. | - |
| 21. | Bevis for eksistensen af lineære differentialligninger med en foreskrevet monodromisk gruppe | Løst. Resultat: Ja eller nej, afhængigt af mere præcise formuleringer af problemet. [] | - |
| 22. | Uniformisering af analytiske relationer ved hjælp af automorfe funktioner | Løst. [] | - |
| 23. | Videreudvikling af variationsregning | Uopklaret. | - |
Spørgsmål og svar
Q: Hvem udgav en liste over 23 uløste matematiske problemer i 1900?
A: David Hilbert udgav en liste over 23 uløste matematiske problemer i 1900.
Q: Var Hilberts 24. problem en del af den oprindelige liste?
A: Nej, Hilberts 24. problem blev fundet i Hilberts skrifter efter hans død.
Q: Hvad handler Hilberts 24. problem om?
A: Hilberts 24. problem handler om at finde kriterier til at vise, at en løsning på et problem er den simplest mulige.
Q: Blev alle 23 problemer på Hilberts liste løst i 2012?
A: Nej, tre af de 23 problemer på Hilberts liste var uløste i 2012.
Q: Var nogle af problemerne på Hilberts liste for vage til at blive løst?
A: Ja, tre af problemerne på Hilberts liste var for vage til at blive løst.
Q: Hvor mange af problemerne på Hilberts liste kunne løses delvist?
A: Seks af problemerne på Hilberts liste kunne løses delvist.
Q: Har Clay Mathematics Institute lavet en lignende liste som Hilberts problemer?
A: Ja, Clay Mathematics Institute lavede en lignende liste kaldet Millennium Prize Problems i 2000.
