Riemann-hypotesen | matematisk spørgsmål

Hvad er Riemann-hypotesen?

Hvad er Riemann-zetafunktionen?

Riemann-vetafunktionen er en slags funktion. Funktioner er ting i matematikken som ligninger. Funktioner indtager tal og giver dig andre tal tilbage. Det er ligesom den måde, hvorpå man får et svar tilbage, når man stiller et spørgsmål. Det tal, du indtaster, kaldes et "input". Det tal, du får tilbage, kaldes en "værdi". Hvert input, som du indtaster i Riemann-zetafunktionen, giver dig en særlig værdi tilbage. Du får for det meste en forskellig værdi for hvert input. Men hvert input giver dig den samme værdi, hver gang du bruger det. Både det input, du giver, og den værdi, du får fra Riemann-zeta-funktionen, er særlige tal, der kaldes komplekse tal. Et komplekst tal er et tal med to dele, en real del og en imaginær del. Den imaginære del kaldes imaginær, fordi man skal "forestille" sig et sådant tal som i {\displaystyle i} , der, når det ganges med sig selv, er lig med i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1} . Da der ifølge regnereglerne ( - ) × ( - ) = ( + ) {\displaystyle (-)\times (-)=(+)} og ( + ) × ( + ) = ( + ) {\displaystyle (+)\times (+)=(+)} ikke kan eksistere et sådant tal, må det være opfundet. Forestillede tal har stor betydning i matematikken; uden dem ville mange teknologier ikke være mulige. Som et konkret eksempel kan nævnes, at for at bruge den kvadratiske formel til at løse nogle ligninger skal svaret nogle gange være et imaginært tal, og historisk set var dette grunden til, at de imaginære tal blev opfundet.

Hvad er en ikke-trivial rod?

Nogle gange får man tallet nul tilbage, når man indtaster et input i Riemanns zetafunktion. Når dette sker, kalder man det pågældende input for en rod i Riemann-beta-funktionen. Man kalder input for en "rod", når det giver nul. Der er fundet masser af rødder. Men nogle rødder er lettere at finde end andre. Vi kalder rødderne for "trivielle" eller "ikke-trivielle" rødder. Vi kalder en rod "triviel", hvis den er let at finde. Men vi kalder en rod "ikke-triviel", hvis den er svær at finde. De trivielle rødder er tal, der kaldes "negative lige hele tal". Grunden til, at vi mener, at de er nemme, er, at de er nemme at finde. Der er nogle fine regler, der siger, hvad de trivielle rødder er. Vi ved, hvad de trivielle rødder er på grund af den ligning, som Bernhard Riemann gav os. Denne ligning blev kaldt "Riemanns funktionelle ligning".

Hvordan finder vi ikke-trivielle rødder?

De ikke-trivielle rødder er sværere at finde. De har ikke de samme pæne regler, der siger, hvad de er. Selv om de er svære at finde, er der fundet mange ikke-trivielle rødder. Husk, at værdien af Riemanns zetafunktion var en slags tal, der kaldes et komplekst tal. Og husk, at komplekse tal har to dele. Den ene af disse dele kaldes den "reelle del". Vi bemærkede en interessant ting om den reelle del af de ikke-trivielle rødder. Alle de ikke-trivielle rødder, vi fandt, har en realdel, der er det samme tal. Dette tal er 1/2, som er en brøk. Dette fører os til Riemanns store spørgsmål, som handler om, hvor store realdelene er. Spørgsmålet er "har alle de ikke-trivielle rødder realdelen 1/2?", og hypotesen siger, at svaret er ja. Vi forsøger stadig at finde ud af, om svaret er "ja" eller "nej".

Hvad ved vi indtil videre?

Vi kender endnu ikke svaret på spørgsmålet. Men vi kender nogle gode fakta. Disse kendsgerninger kan måske hjælpe os. Der er en måde, hvorpå vi kan finde fakta om de reelle dele af de ikke-trivielle rødder. Det er med Riemanns specielle ligning (Riemanns funktionsligning). Riemanns funktionsligning fortæller os om størrelsen af de reelle dele. Den siger, at alle de ikke-trivielle nulpunkter har en realdel tæt på 1/2. Den siger, hvor små realdelene kan være, og hvor store de kan være. Men den siger ikke præcis, hvad de er. Konkret siger den, at realdelene skal være større end 0. Men de skal være mindre end 1. Men vi ved stadig ikke, om der kan være en ikke-triviel rod med en realdel meget tæt på 1/2. Måske er der det, men vi har bare ikke fundet den endnu. Gruppen af komplekse tal, der har en realdel større end 0 men mindre end 1, kaldes "den kritiske stribe".

Riemann-hypotesen i et billede

Billedet i øverste højre hjørne af denne side viser Riemann-zetafunktionen. De ikke-trivielle rødder er vist med de hvide prikker. De ser ud som om de alle ligger i en linje helt ned i midten af billedet. De er ikke for langt til venstre og ikke for langt til højre. Det rigtige er, hvor langt man er fra venstre til højre. At de ligger midt i billedet betyder, at de har en rigtig del af 1/2. Så alle de ikke-trivielle rødder i billedet har en reel del på 1/2. Men vores billede viser ikke alt, fordi Riemanns zeta-funktion er for stor til at vise den. Så hvad med de ikke-trivielle rødder over og under billedet? Ville de også være i midten? Hvad hvis de bryder mønsteret med at være i midten? De kunne være lidt til venstre eller højre. Riemann-hypotesen spørger, om alle ikke-trivielle rødder (hvid prik) ville ligge på linjen ned gennem midten. Hvis svaret er nej, siger vi, at "hypotesen er falsk". Det vil betyde, at der er hvide prikker, som ikke ligger på den givne linje.