Zermelo-Fraenkel mængdelære

Zermelo-Fraenkel mængdelære (forkortet ZF) er et system af aksiomer, der bruges til at beskrive mængdelære. Når valgaxiomet tilføjes til ZF, kaldes systemet ZFC. Det er det system af aksiomer, der anvendes i mængdelære af de fleste matematikere i dag.

Efter at Russells paradoks blev fundet i 1901, ønskede matematikere at finde en måde at beskrive mængdelæren på, som ikke indeholdt modsigelser. Ernst Zermelo foreslog en teori om mængdelære i 1908. I 1922 foreslog Abraham Fraenkel en ny version baseret på Zermelos arbejde.

 

Aksiomer

Et aksiom er et udsagn, som accepteres uden spørgsmål, og som ikke har noget bevis. ZF indeholder otte aksiomer.

  1. Udvidelsesaksiomet siger, at to mængder er lige store, hvis og kun hvis de har de samme elementer. For eksempel er mængden { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}}{\displaystyle \{1,3\}} og mængden { 3 , 1 } {\displaystyle \{3,1\}}{\displaystyle \{3,1\}} er lige store.
  2. Grundlæggende aksiom siger, at ethvert sæt S {\displaystyle S} {\displaystyle S}(bortset fra den tomme mængde) indeholder et element, der er disjoint (ikke har nogen medlemmer til fælles) med S {\displaystyle S} {\displaystyle S}.
  3. Specifikationsaksiomet siger, at givet et sæt S {\displaystyle S} {\displaystyle S}og et prædikat F {\displaystyle F}F (en funktion, der enten er sand eller falsk), at der findes en mængde, der indeholder præcis de elementer af S {\displaystyle S}{\displaystyle S} , hvor F {\displaystyle F}F er sand. F.eks. hvis S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}, og F {\displaystyle F}F er "dette er et lige tal", så siger aksiomet, at mængden { 2 , 6 } {\displaystyle \{2,6\}}{\displaystyle \{2,6\}} eksisterer.
  4. Parringsaksiomet siger, at der, når to mængder er givet, findes en mængde, hvis medlemmer er præcis de to givne mængder. Så, givet de to mængder { 0 , 3 } {\displaystyle \{{0,3\}}}{\displaystyle \{0,3\}} og { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}} {\displaystyle \{2,5\}}siger dette aksiom, at mængden { { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{{{{0,3\},\{2,5\}}}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} eksisterer.
  5. Foreningsaksiomet siger, at der for enhver mængde findes en mængde, som kun består af elementerne af elementerne i denne mængde. For eksempel, givet mængden { { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}siger dette aksiom, at mængden { 0 , 3 , 2 , 5 } {\displaystyle \{0,3,2,5\}}}{\displaystyle \{0,3,2,5\}} eksisterer.
  6. Udskiftningsaksiomet siger, at for ethvert sæt S {\displaystyle S}{\displaystyle S} og en funktion F {\displaystyle F} F, at der findes en mængde bestående af resultaterne af at kalde F {\displaystyle F}F på alle medlemmer af S {\displaystyle S}{\displaystyle S} . F.eks. hvis S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}{\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} og F {\displaystyle F}F er "tilføj ti til dette tal", så siger aksiomet, at mængden { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}}{\displaystyle \{11,12,13,15,16\}} eksisterer.
  7. Uendelighedsaksiomet siger, at mængden af alle hele tal (som defineret ved Von Neumann-konstruktionen) eksisterer. Dette er mængden { 0 , 1 , 2 , 2 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}} {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
  8. Axiomet om potensmængden siger, at der findes en potensmængde (mængden af alle delmængder) af en hvilken som helst mængde. F.eks. er der en potensmængde af { 2 , 5 } {\displaystyle \{2,5\}}{\displaystyle \{2,5\}} er { { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}
 

Axiom om valgfrihed

Valgaxiomet siger, at det er muligt at tage et objekt ud af hvert af elementerne i en mængde og lave en ny mængde. For eksempel, givet mængden { { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}vil valgaxiomet vise, at en mængde som { 3 , 5 } {\displaystyle \{3,5\}}}{\displaystyle \{3,5\}} findes. Dette aksiom kan bevises ud fra de andre aksiomer for begrænsede mængder, men ikke for uendelige mængder.

 

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3