Gödels ufuldstændighedssætning

Gödels ufuldstændighedssætninger er navnet på to sætninger (sande matematiske udsagn), der blev bevist af Kurt Gödel i 1931. Det er sætninger inden for matematisk logik.

Matematikere troede engang, at alt, hvad der er sandt, har et matematisk bevis. Et system, der har denne egenskab, kaldes komplet; et system, der ikke har denne egenskab, kaldes ufuldstændigt. Desuden bør matematiske idéer ikke have modsigelser. Det betyder, at de ikke bør være sande og falske på samme tid. Et system, der ikke indeholder modsigelser, kaldes konsistent. Disse systemer er baseret på sæt af aksiomer. Aksiomer er udsagn, der accepteres som sande, og som ikke behøver beviser.

Gödel sagde, at ethvert ikke-trivielt (interessant) formelt system enten er ufuldstændigt eller inkonsekvent:

  1. Der vil altid være spørgsmål, som ikke kan besvares ved hjælp af et bestemt sæt aksiomer;
  2. Du kan ikke bevise, at et system af aksiomer er konsistent, medmindre du bruger et andet sæt aksiomer.

Disse sætninger er vigtige for matematikere, fordi de beviser, at det er umuligt at skabe et sæt aksiomer, der forklarer alt i matematikken.

Nogle relaterede emner

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Gödels ufuldstændighedssætninger?


Svar: Gödels ufuldstændighedssætninger er to sande matematiske udsagn, som Kurt Gödel beviste i 1931 inden for matematisk logik.

Spørgsmål: Hvad er et fuldstændigt system i matematik?


Svar: Et fuldstændigt system i matematik er et system, der har den egenskab, at alt, hvad der er sandt, har et matematisk bevis.

Spørgsmål: Hvad er et ufuldstændigt system i matematik?


Svar: Et ufuldstændigt system i matematik er et system, som ikke har den egenskab, at alt, hvad der er sandt, har et matematisk bevis.

Spørgsmål: Hvad er et konsistent system i matematik?


Svar: Et konsistent system i matematik er et system, der ikke indeholder modsigelser, hvilket betyder, at matematiske ideer ikke bør være sande og falske på samme tid.

Spørgsmål: Hvad er aksiomer i matematik?


A: Axiomer i matematik er udsagn, der accepteres som sande og ikke kræver beviser.

Spørgsmål: Hvad påstod Gödel om ethvert ikke-trivielt formelt system?


Svar: Gödel hævdede, at ethvert ikke-trivielt formelt system enten er ufuldstændigt eller inkonsekvent.

Spørgsmål: Hvorfor er Gödels ufuldstændighedssætninger vigtige for matematikere?


Svar: Gödels ufuldstændighedssætninger er vigtige for matematikere, fordi de beviser, at det er umuligt at skabe et sæt aksiomer, der forklarer alt i matematikken.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3