Kontinuumhypotesen
Kontinuumshypotesen er en hypotese om, at der ikke findes noget sæt, der både er større end de naturlige tal og mindre end de reelle tal. Georg Cantor opstillede denne hypotese i 1877.
Der er uendeligt mange naturlige tal, kortheden af mængden af naturlige tal er uendelig. Dette gælder også for mængden af reelle tal, men der er flere reelle tal end naturlige tal. Vi siger, at de naturlige tal har uendelig kardinalitet, og at de reelle tal har uendelig kardinalitet, men kardinaliteten af de reelle tal er større end kardinaliteten af de naturlige tal.
Denne hypotese er det første problem på den liste over 23 problemer, som David Hilbert offentliggjorde i 1900. Kurt Gödel viste i 1939, at hypotesen ikke kan falsificeres ved hjælp af Zermelo-Fraenkelmængdelære. Zermelo-Fraenkel mængdelære er den mængdelære, der almindeligvis anvendes i matematik. Paul Cohen viste i 1960'erne, at Zermelo-Fraenkel mængdelære heller ikke kan bruges til at bevise kontinuumshypotesen. Cohen blev for dette belønnet med Fields Medaljen.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er kontinuumshypotesen?
Svar: Kontinuumshypotesen er en hypotese om, at der ikke findes nogen mængde, der både er større end de naturlige tal og mindre end de reelle tal.
Spørgsmål: Hvem har opstillet kontinuumshypotesen og hvornår?
Svar: Georg Cantor opstillede kontinuumshypotesen i 1877.
Spørgsmål: Er der uendeligt mange naturlige tal?
Svar: Ja, der findes uendeligt mange naturlige tal.
Spørgsmål: Hvad er kardinaliteten af mængden af naturlige tal?
Svar: De naturlige tals kardinalitet er uendelig.
Spørgsmål: Er der flere reelle tal end naturlige tal?
Svar: Ja, der er flere reelle tal end naturlige tal.
Spørgsmål: Kan kontinuumshypotesen falsificeres ved hjælp af Zermelo-Fraenkel-mængdelæren?
Svar: Kurt Gödel viste i 1939, at hypotesen ikke kan falsificeres ved hjælp af Zermelo-Fraenkel mængdelære.
Spørgsmål: Hvem viste, at Zermelo-Fraenkel-mængdelæren ikke kan bruges til at bevise kontinuumshypotesen?
Svar: Paul Cohen viste i 1960'erne, at Zermelo-Fraenkel-teorien ikke kan bruges til at bevise kontinuumshypotesen.
