David Hilbert — Indflydelsesrig tysk matematiker, logiker og matematisk filosof

David Hilbert — banebrydende tysk matematiker og logiker; grundlægger af moderne aksiomatisk matematik, Hilbert-rum og bevisteori med afgørende indflydelse på fysik.

David Hilbert (Königsberg, Preussen, 23. januar 1862 -Göttingen, Tyskland, 14. februar 1943) var en tysk matematiker, logiker og matematisk filosof. Han anses af mange for at være en af de mest indflydelsesrige og største matematikere i det 19. og 20. århundrede.

Hilbert opdagede og udviklede en række grundlæggende idéer på mange områder. Han arbejdede med invariantteori, aksiomisering af geometri og begrebet Hilbert-rum. Dette er et af fundamenterne for funktionel analyse. Hilbert og hans studerende leverede en stor del af den matematik, der var nødvendig for kvantemekanikken og den generelle relativitetsteori. Han var en af grundlæggerne af bevisteori og matematisk logik. Han var også en af de første til at skelne mellem matematik og metamatematik, og han forsvarede varmt Georg Cantors mængdelære og transfinitte tal.

Liv og faglig karriere

Hilbert blev født i Königsberg og studerede matematik ved universitetet i sin hjemby og i Berlin. Efter sin doktorgrad og tidlige arbejde blev han i slutningen af 1880'erne udnævnt til professor. I 1895 kom han til Göttingen, som på den tid var Verdens førende center for matematisk forskning. I Göttingen opbyggede Hilbert en stærk forskningsgruppe og vejledede mange fremtrædende matematikere. Han virkede som en central figur i den matematiske verden frem til sin død i 1943. I de sidste årtier af sit liv oplevede han, ligesom mange kolleger, den dramatiske tilbagegang i Göttingens forskningsmiljø under nazismen og de antisemitiske udrensninger af universiteterne.

Vigtigste videnskabelige bidrag

• Aksiomatisering af geometri: I værket Grundlagen der Geometrie (1899) gav Hilbert en systematisk aksiomatisering af euklidisk geometri, hvor han præsenterede et konsistent og logisk klart aksiomsystem, som stadig bruges som reference for moderne aksiomatisk metode.
• Hilbert-rum og funktionel analyse: Begrebet Hilbert-rum — et fuldt indreprodukt-rum — er centralt i funktionel analyse og udgør den matematiske ramme for kvantemekanikken og spektralteori for operatorer.
• Algebraisk geometri og kommutativ algebra: Hilbert formulerede og beviste bl.a. Hilberts nulstedsætning (Nullstellensatz) og Hilberts basis-sætning (Hilbert's basis theorem), som er grundlæggende i moderne algebraisk geometri og kommutativ algebra.
• Invariantteori, integral ligninger og spektralteori: Hans arbejde med invariantteori og løsning af integral- og differentialligninger bidrog til udviklingen af spektralteori og anvendt analyse.
• Matematisk logik og bevisteori: Hilbert var en pioner i formaliseringen af matematikken og grundlæggeren af det såkaldte Hilberts program — et forsøg på at give matematikken et fuldstændigt, formelt og konsistent grundlag.

Hilberts program og konsekvenser

Hilberts program fra begyndelsen af 1900-tallet havde til formål at formulere al matematik på et aksiomatisk grundlag og derefter give finitære konsistensbeviser for disse aksiomsystemer. Målet var at sikre matematikken mod paradokser og tvetydigheder ved at vise, at de formelle systemer var frie for selvmotsigelser. Programmet førte til udviklingen af bevisteori og metamatematik som selvstændige discipliner.

I 1931 viste Kurt Gödel med sine ufuldstændighedssætninger, at ethvert tilstrækkeligt kraftigt aksiomatisk system, som er konsistent, ikke kan bevise sin egen konsistens, og at der findes sande udsagn i systemet, som ikke kan bevises inden for systemet. Resultaterne betød, at Hilberts oprindelige ambition om fuldstændige finitære konsistensbeviser ikke kunne gennemføres i den forventede form, men arbejdet stimulerede i stedet udviklingen af moderne logik og teori om beregnelighed.

Hilberts 23 problemer

Ved Den Internationale Matematikerkongres i Paris i 1900 fremlagde Hilbert en berømt liste over 23 fundamentale matematiske problemer, som han mente ville styre den kommende forskning inden for matematikkens forskellige grene. Listen blev et fyrtårn for 20. århundredes matematik og inspirerede generationer af matematikere. Problemerne spænder fra talteori og algebra til topologi og analyse; nogle er siden løst, andre har ført til nye teorier, og enkelte er fortsat genstand for aktiv forskning.

Indflydelse og arv

Hilberts indflydelse mærkes i dag overalt i moderne matematik og teoretisk fysik. Mange begreber bærer hans navn: Hilbert-rum, Hilberts basis-sætning, Hilberts nulstedsætning, Hilberts problemer, Hilberts aksiomer med videre. Hans undervisning og ledelse i Göttingen skabte et internationalt centrum for matematisk forskning, og hans vejledere og elever fortsatte arbejdet i nye retninger.

Ud over den tekniske arv huskes Hilbert for sin klare vægt på stringens og klarhed i matematikken og for sin stærke tro på, at matematikken kan formaliseres og forstås dybt. Et kendt citat, som ofte tilskrives ham fra et foredrag i 1930, lyder på tysk: "Wir müssen wissen — wir werden wissen." (Vi må vide — vi vil vide.), et udsagn om matematikkens og videnskabens fortsatte søgen efter viden.

Afsluttende bemærkning

David Hilbert var en af de mest produktive og indflydelsesrige matematikere i nyere tid. Hans arbejde har formet store dele af moderne matematik og teoretisk fysik, og hans idéer om aksiomatisering og formalitet danner stadig grundlag for forskning i logik, algebra, analyse og geometri.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvem er David Hilbert?

Q: Hvad er David Hilbert berømt for?

Spørgsmål: Hvad er Hilbert-rum?

Spørgsmål: Hvilket bidrag ydede Hilbert til kvantemekanikken og den generelle relativitetsteori?

Spørgsmål: Hvad er bevisteori?

Spørgsmål: Hvad er forskellen mellem matematik og metamatematik?

Spørgsmål: Hvad var Hilberts holdning til Georg Cantors mængdelære og transfinitte tal?

Søg efter bogstav