Matematisk analyse | Den ser på funktioner, sekvenser og serier

Matematisk analyse er en del af matematikken. Den forkortes ofte til analyse. Den beskæftiger sig med funktioner, sekvenser og serier. Disse har nyttige egenskaber og karakteristika, som kan bruges inden for teknik. Matematisk analyse giver et stringent logisk grundlag for beregning, som studerer kontinuerte funktioner, differentiering og integration. Matematisk analyse er en forkortelse af det gamle navn "infinitesimalanalyse", og nogle af dens vigtigste underområder omfatter realanalyse, kompleksanalyse, differentiationsligning og funktionel analyse.

Gottfried Wilhelm Leibniz og Isaac Newton udviklede det meste af grundlaget for den matematiske analyse.

Dele af matematisk analyse

Grænser

Et grundlæggende begreb i matematisk analyse er begrebet grænse. Grænser bruges til at se, hvad der sker meget tæt på ting. Grænser kan også bruges til at se, hvad der sker, når tingene bliver meget store. F.eks. er 1 n {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{n}}}} ${\tfrac {1}{n}}$ aldrig nul, men når n bliver større, kommer 1 n {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{n}}}} ${\tfrac {1}{n}}$ tættere og tættere på nul. Grænsen for 1 n {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{n}}}} ${\tfrac {1}{n}}$ er nul, efterhånden som n bliver større. Dette beskrives ved "Grænsen for 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}}} ${\tfrac {1}{n}}$ som n bliver uendelig er nul", og skrives som lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}}=0}} $\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .

Modstykket ville være 2 × n {\displaystyle {2}\ gange {n}} ${2}\times {n}$ . Når n {\displaystyle {n}}} ${n}$ bliver større, går grænsen til uendelighed. Den skrives som lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\til \infty }{2}\times {n}=\infty } $\lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty$ .

Den grundlæggende sætning i algebra kan bevises ud fra nogle grundlæggende resultater i kompleks analyse. Det siger, at ethvert polynomium f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) med reelle eller komplekse koefficienter har en kompleks rod (hvor en rod er et tal x, der opfylder ligningen f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} $f(x)=0$ , og nogle af disse rødder kan være de samme).

Differentialregning

Funktionen f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}}} $f(x)={m}{x}+{c}$ er en linje. m {\displaystyle {m}}} ${m}$ viser funktionens hældning, og c {\displaystyle {c}} ${c}$ viser funktionens placering på ordinaten. Med to punkter på linjen er det muligt at beregne hældningen m {\displaystyle {m}} ${m}$ med:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

En funktion af formen f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ , som ikke er lineær, kan ikke beregnes som ovenfor. Det er kun muligt at beregne hældningen ved hjælp af tangenter og sekanter. Sekanten går gennem to punkter, og når de to punkter kommer tættere på hinanden, bliver den til en tangent.

Den nye formel er m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Dette kaldes differencekvotient. x 1 {\displaystyle x_{1}}} $x_{1}$ kommer nu tættere på x 0 {\displaystyle x_{0}} $x_{0}$ . Dette kan udtrykkes med følgende formel:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} $f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .

Resultatet kaldes den afledte værdi eller hældningen af f i punktet x {\displaystyle {x}} ${x}$ .

Integration

Integrationen handler om beregning af arealer.

Symbolet ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

læses som "integralet af f med hensyn til x fra a til b" og henviser til arealet mellem x-aksen, grafen for funktionen f og linjerne x=a og x=b. a {\displaystyle a} er det punkt, hvor arealet skal begynde, og b {\displaystyle b} $b$ er det punkt, hvor arealet skal slutte.

Relaterede sider

Emner inden for analyse

Calculus
Kompleks analyse
Funktionel analyse
Numerisk analyse

Begreber inden for analyse

Serie
Sekvens
Derivat
Integral

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er matematisk analyse?

A: Matematisk analyse er en del af matematikken, der ser på funktioner, sekvenser og serier. Den giver et stringent logisk grundlag for beregning, som studerer kontinuerte funktioner, differentiering og integration.

Spørgsmål: Hvad er nogle af de vigtigste underområder inden for matematisk analyse?

Svar: Nogle af de vigtigste delområder inden for matematisk analyse er realanalyse, kompleks analyse, differentialligning og funktionel analyse.

Spørgsmål: Hvordan kan matematisk analyse anvendes inden for ingeniørvidenskab?

A: Matematisk analyse kan anvendes inden for ingeniørvidenskab ved at undersøge de nyttige egenskaber og karakteristika ved funktioner, sekvenser og serier.

Spørgsmål: Hvem har udviklet det meste af grundlaget for matematisk analyse?

Svar: Gottfried Wilhelm Leibniz og Isaac Newton udviklede det meste af grundlaget for matematisk analyse.

Spørgsmål: Hvad var det gamle navn for matematisk analyse?

A: Det gamle navn for matematisk analyse var "infinitesimal" eller "calculus".

Spørgsmål: Hvordan hænger calculus sammen med matematisk analyse?

A: Calculus studerer kontinuerte funktioner, differentiering og integration, som alle er relateret til det matematiske område, der kaldes matematisk analyse.