Tilfældighed - definition, matematik, sandsynlighed og eksempler

Forstå tilfældighed: definition, matematisk sandsynlighed, eksempler og forskel på ægte vs. tilsyneladende tilfældighed — klar, praktisk forklaring for studerende og nysgerrige.

Tilfældighed er et begreb, der bruges i matematik og i daglig tale om noget, hvor man ikke på pålidelig vis kan forudsige resultatet eller finde et mønster. Når noget vælges tilfældigt, er det ikke valgt af nogen bevidst grund og opfattes derfor som rent tilfældigt. Et klassisk eksempel på en tilfældig begivenhed er at vinde i lotto.

Hvad menes med tilfældighed?

Tilfældighed kan forstås på to måder:

• Epistemisk tilfældighed — begrundet i vores manglende viden: noget virker tilfældigt, fordi vi ikke kender alle påvirkende faktorer eller ikke kan måle dem nøjagtigt.
• Ontologisk tilfældighed — grundlæggende uforudsigelighed i naturen, som i visse fortolkninger af kvantemekanikken, hvor udfaldet af enkelte begivenheder er virkelig tilfældigt.

Tilfældighed i matematik og sandsynlighed

I matematisk forstand beskrives tilfældige fænomener ved hjælp af sandsynlighedsmodeller. Centrale begreber er blandt andre:

• Sandsynlighed — et tal mellem 0 og 1, der angiver, hvor sandsynligt et givent udfald er.
• Tilfældig variabel — en matematisk model for et målbart udfald (fx resultatet af et terningkast).
• Uafhængighed — to begivenheder er uafhængige, hvis viden om den ene ikke ændrer sandsynligheden for den anden.
• Forventningsværdi — det gennemsnitlige udfald, man kan forvente over mange gentagelser.

Der findes også stærke sætninger, der knytter tilfældighed til observerbare mønstre over mange gentagelser, fx lov om store tal (gennemsnit konvergerer mod den sande forventning) og centrale grænseværdi (sum af mange uafhængige tilfældige variable nærmer sig en normalfordeling).

Tilfældighed i computere

En computer kan generere lister med tilsyneladende tilfældige tal. Ofte bruger man algoritmer kaldet pseudo-random number generators (PRNG), som er deterministiske, men som producerer tal, der ser tilfældige ud, hvis man ikke kender startværdien (kaldet et seed). For kritiske anvendelser — fx kryptografi — er det vigtigt at få ægte tilfældighed fra naturlige entropikilder (f.eks. målinger af fysisk støj).

Mennesker er generelt dårlige til at frembringe ægte tilfældige sekvenser, fordi hjernen søger efter og skaber mønstre. Hvis en person bliver bedt om gentagne gange at sige "plat" eller "krone" tilfældigt, kan en observatør eller en korrekt programmeret computer ofte udlede mønstre og forudsige næste valg mere præcist, end tilfældighed ville tillade.

Praktiske anvendelser

• Spil og lotterier: Sikre fair udfald (fx lotto, terningkast).
• Simuleringer og statistik: Monte Carlo-metoder til numerisk integration og modelestimering.
• Kryptografi: Nøglegenerering kræver høj kvalitet af tilfældighed for at være sikker.
• Videnskab: Stokastiske modeller i fysik, biologi og økonomi beskriver usikre processer.

Eksempler og hverdag

På et websted som f.eks. den engelske Wikipedia kan brugeren klikke på "Random page" for at få en tilfældig artikel. Chancen for, at en bestemt side vises, er nøjagtig den samme som for enhver anden side — forudsat at valget er ægte tilfældigt og alle sider er ligevægtede i systemet.

Nogle hjemmesider viser tilfældige vittigheder; det betyder oftest blot, at de trækker én fra en samling af vitser uden særlig prioritering. I dagligdags tale bruges ordet "tilfældig" også ofte mere løst: unge beskriver noget, der virker mærkeligt eller ulogisk, som "tilfældigt". Eksempler på sætninger, der omtales som "tilfældige", kan være: "den skimmelsvampede ost er ved at slippe ud" eller "jeg kan godt lide tærte og spam" — dette er ikke den tekniske definition, men viser sprogets udvikling.

Hvordan tester man tilfældighed?

Der findes statistiske tests, som vurderer om en sekvens virker tilfældig, fx:

• Frekvenstest (fordeling af 0/1 eller forskellige udfald)
• Runs-test (antal skift mellem forskellige symboler)
• Autokorrelationstest (hvor meget et udfald ligner tidligere udfald)
• Avancerede testpakker (fx Diehard-tests og NIST-suiter)

Ingen test kan bevise absolut tilfældighed — de kan kun afsløre tegn på ikke-tilfældighed eller manglende egenskaber, som man forventer af en tilfældig sekvens.

Afsluttende bemærkninger

Tilfældighed er et centralt begreb både i teori og praksis. Det forbinder matematik, statistik, computation og filosofiske spørgsmål om forudsigelighed. I praksis er det vigtigt at skelne mellem det, der er tilfældigt på grund af manglende viden, og det, der er grundlæggende uforudsigeligt; desuden er kvaliteten af tilfældighed afgørende i mange tekniske anvendelser såsom sikker kommunikation og pålidelige simuleringer.

Fremstilling af tilfældige tal

Der er flere måder, hvorpå en proces eller et system kan betragtes som tilfældigt:

1. Tilfældighed, der kommer fra omgivelserne (f.eks. Brownsk bevægelse, men også hardware tilfældige talgeneratorer).
2. Tilfældighed som følge af startbetingelserne. Dette aspekt undersøges i kaosteori. Det kan observeres i systemer, der er meget afhængige af forskelle i startbetingelserne. Eksempler på sådanne systemer er pachinko eller terninger.
3. Tilfældighed, der genereres af systemet selv. Dette kaldes også pseudotilfældig tilfældighed og er den type, der anvendes i pseudotilfældige talgeneratorer. Der findes mange algoritmer (baseret på aritmetik eller cellulære automater) til at generere pseudo-tilfældige tal. Opførslen af et sådant system kan forudsiges, hvis det tilfældige frø og algoritmen er kendt. Disse metoder er hurtigere end at få "ægte" tilfældighed fra omgivelserne.

Der er mange anvendelsesmuligheder for tilfældige tal. Behovet har ført til metoder til at generere data, der er mere eller mindre tilfældige (pseudorandom). Disse metoder varierer med hensyn til, hvor uforudsigelige (statistisk tilfældige) de er, og hvor hurtigt de kan generere tilfældige tal.

Der findes beregningsmæssige tilfældige talgeneratorer, der genererer store mængder af tilstrækkeligt tilfældige tal. Før da blev tabellerne offentliggjort som pseudo-tilfældige taltabeller.

Der er to måder, hvorpå computere kan lave noget, der ser ud til at være tilfældige tal.

• Der findes forskellige algoritmer til at lave tilfældige tal. Dette gør det muligt at modellere visse aspekter af tilfældighed, f.eks. fordelingen af de genererede tal. Tal, der genereres på denne måde, vil dog altid følge et mønster. Med et eller nogle få af dem kan en computer beregne det næste tilfældige tal. Derfor kaldes sådanne tal pseudorandomme.
• Ægte tilfældige tal genereres ved at observere et ikke-deterministisk eksperiment. Tallet beregnes derefter på grundlag af resultatet af eksperimentet. Et eksempel kunne være at koble en Geigertæller til en computer for at generere tallet.

Kuglen i en roulette kan bruges som en kilde til tilfældighed, fordi dens adfærd er meget følsom over for startbetingelserne.

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er definitionen på tilfældig?

Q: Hvad betyder det, når noget er tilfældigt valgt?

Q: Kan en computer lave lister med tilsyneladende tilfældige tal?

Spørgsmål: Hvorfor er mennesker ikke i stand til at lave lister med tilsyneladende tilfældige tal?

Q: Hvad er et eksempel på en tilfældig begivenhed?

Q: Hvad sker der, hvis man beder nogen om at blive ved med at sige "plat" eller "krone" tilfældigt?

Q: Hvad er den nuværende brug af ordet "tilfældig" blandt unge mennesker?

Søg efter bogstav