Brownsk bevægelse er den tilfældige bevægelse af partikler i en væske eller en gas. Bevægelsen skyldes hurtigt bevægende atomer eller molekyler, der rammer partiklerne. Brownianbevægelsen blev opdaget i 1827 af botanikeren Robert Brown. Da han i 1827 gennem et mikroskop så på partikler fanget i hulrum inde i pollenkorn i vand, bemærkede han, at partiklerne bevægede sig gennem vandet; men han var ikke i stand til at finde ud af, hvad der forårsagede denne bevægelse. Brown konstaterede senere, at samme type bevægelse forekom for ikke-biologiske små partikler, så bevægelsen måtte skyldes en fysisk proces og ikke "liv".

Fysisk forklaring

Brownsk bevægelse opstår, fordi de usynlige molekyler i væsken eller gassen konstant kolliderer med de synlige partikler (fx pollen, støv eller kolloidpartikler). Kraften fra disse kollisioner varierer i både størrelse og retning, og på grund af de mange, tilfældige påvirkninger bliver partiklens samlede bevægelse tilsyneladende tilfældig. På meget korte tidsskalaer kan bevægelsen være ballistisk (partiklen bevæger sig næsten frit mellem kollisioner), mens den på længere tidsskalaer bliver diffust, hvilket beskrives som en tilfældig vandring med en gennemsnitlig kvadreret forskydning proportional med tiden.

Den kvantitative forbindelse til diffusion gives ofte ved middelværdien af kvadreret forskydning: ⟨x^2⟩ = 2 D t i én dimension og ⟨r^2⟩ = 6 D t i tre dimensioner, hvor D er diffusionskoefficienten og t er tiden. For små sfæriske partikler i en væske forbinder Stokes–Einstein-relationen D med temperatur T, væskens viskositet η og partiklens radius a: D = k_B T / (6 π η a), hvor k_B er Boltzmanns konstant. Denne relation viser, at højere temperatur eller mindre partikelstørrelse øger diffusionshastigheden, mens større viskositet mindsker den.

Historik og eksperimentel bekræftelse

Atomer og molekyler havde længe været teoretiseret som de vigtigste bestanddele af stof, men deres eksistens var ikke universelt accepteret i begyndelsen af 1900-tallet. I 1905 offentliggjorde Albert Einstein en artikel, der i detaljer forklarede, hvordan den bevægelse, som Brown havde observeret, kunne forklares ved kollisioner med individuelle vandmolekyler. Einsteins teoretiske arbejde forbandt makroskopiske observabler (som diffusionskoefficienten) med mikroskopiske egenskaber (som Avogadros tal), og det styrkede atomteorien markant.

Det blev yderligere bekræftet eksperimentelt af Jean Perrin i 1908, som målte partiklens bevægelser i væsker og bestemte Avogadros tal ud fra de observerede udsving. Perrin fik Nobelprisen i fysik i 1926 "for sit arbejde om stoffets diskontinuerte struktur". Disse eksperimenter gav et af de mest håndgribelige beviser for stofs atomare natur.

Matematiske og statistiske modeller

Der er for mange molekylære påvirkninger, der skaber det browniske mønster, så ingen deterministisk model kan tage højde for dem alle. Derfor anvendes probabilistiske modeller til at beskrive bevægelsen. To tidlige og centrale teoretiske beskrivelser i statistisk mekanik, der er udarbejdet af Einstein og af Marian Smoluchowski, førte til udtryk for diffusionskoefficienten og fordeling af partikelbevægelser.

En mere fysisk dynamisk tilgang er Langevin-ligningen, hvor partiklens bevægelse beskrives af Newtons anden lov med et friktionsled og et tilfældigt støjled: m dv/dt = -γ v + ξ(t). Her repræsenterer -γ v den systematiske dæmpning (friktion), og ξ(t) er en stokastisk kraft med passende statistiske egenskaber, som repræsenterer molekylære kollisioner.

En anden, rent probabilistisk type modeller er modeller for stokastiske processer. Et vigtigt matematisk objekt er Wiener-processen (også kaldet standard Brownsk bevægelse), som blev formaliseret af Norbert Wiener. Wiener-processen har kontinuerte, men næsten sikkert ikke-differentiable baner, Gaussianiske inkrementer med middelværdi nul og varians proportional med tidsintervallet. Simpeltere diskrete modeller som random walk fører i en grænseproces (Donskers sætning) til Wiener-processen, så stokastiske trinsmodeller kan vise den samme makroskopiske diffusive adfærd som kontinuerte modeller.

Betydning og anvendelser

  • Fundamentalt bevis for atomers og molekylers eksistens — et af de historisk vigtigste eksperiment-teori-samarbejder i fysik.
  • Beskrivelse af diffusion i kemi, biologi og materialefysik: transport af næringsstoffer i celler, spredning af forurening i luft og vand, stabilitet af kolloider osv.
  • Teknologi og nanovidenskab: forståelse af termisk støj og partikelbevægelser er nødvendig ved design af følsomme instrumenter og nanostrukturer.
  • Matematisk modellering og finans: Brownsk bevægelse er grundstenen i stokastisk kalkulus og bruges i modeller for aktiepriser og optionsteori (fx Black–Scholes-modellen).

Praktiske observationer og tidsskalaer

I praksis afhænger observeret brownsk bevægelse af partikelstørrelse, væskens viskositet og temperaturen. Små partikler i tynd væske ved høj temperatur bevæger sig meget hurtigere end store partikler i tyktflydende væsker ved lav temperatur. På meget korte tidsskalaer (mindre end den gennemsnitlige tid mellem kollisioner) vil bevægelsen være næsten lineær (ballistisk), mens den på længere tidsskalaer kan beskrives som diffusion, hvor middelkvadreret forskydning vokser lineært med tiden.

Til videre læsning

For en dybere matematisk behandling findes der omfattende litteratur om stokastiske differentialligninger, Langevin- og Fokker–Planck-ligninger, samt bøger om statistisk mekanik, der forklarer overgangen fra mikroskopiske kollisioner til makroskopisk diffusionsadfærd. Historiske gennemgange af Einsteins og Perrins arbejde giver også værdifuld indsigt i, hvordan eksperiment og teori sammen afdækkede stoffets atomare struktur.